数列收敛性的判别准则PPT课件

1、1第2节 数列的极限 2.1 数列极限的概念 2.2 2.2 收敛数列的性质 2.32.3数列收敛性的判别准则第1页/共42页2数列极限的两大问题数列极限的两大问题n数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题）n数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）第2页/共42页3几种证明极限存在的方法：几种证明极限存在的方法：n按照数列极限的定义证明。n利用夹逼性证明。最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性第3页/共42页4n（1）单调有界准则n（2） 数列极限的归并原理n（3） Weierstrass(维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯)定理n（4） 柯西(Cauchy)收敛原理2

2、.3 2.3 数列极限存在的判别准则数列极限存在的判别准则第4页/共42页5（1 1）单调有界准则）单调有界准则x1a2a3a1na nana如果数列满足条件如果数列满足条件121,nnaaaa 单调增加121,nnaaaa 单调减少单调数列定理定理 2.6 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 几何解释:aM更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.用确界定理证明第5页/共42页6几点说明： 定理中 an 的单调性只要从某一项之后满足即可. .这是因为数列的敛散性与前有限项无关。 此定理的条件为充分但非必要条件。 ,.2 , 1,1)1( nnann 本

3、定理只是证明了存在性。第6页/共42页7例例6 6333().nan证明数列重根证明数列重根式 的极限存在式 的极限存在证证21,aa 然然( (显显1)1) ;na故是单调递增的故是单调递增的133,a （2 2又又）3,ka 假定假定13kkaa 33 , 3 ;na是有界的是有界的上上lim.nna存在存在13,nnaa 213,nnaa 21limlim(3),nnnnaa 23,aa113113,22aa解得解得(舍去)113lim.2nna lim.nnaa （3）设（3）设1,kkaa 所以所以1,kkaa 设设13,kkaa 则3+则3+13,kkaa 3+3+第7页/共42页

4、8.11lim存在存在nnn 1(1)nnan 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 证明用单调有界准则证明.用单调有界准则证明.例例7证证00(1)()111!nniiiinin nnniinCn 第8页/共42页91(1)nnan).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 11111(1)11(1)12!11121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1).(1)!111nnannnnnnnnnnnn 1,nnaa 显然显然 ;na是单调递增的是单调递增的正的第9页/共

5、42页1011112!nan 1212111 n1213 n, 3 ;na是有界的是有界的lim.nna存在存在ennn 11lim记为记为(2.718281828459045)e na是是单单调调递递增增的的有有界界数数列列1(1)nnan).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 第10页/共42页1123lim() .2nnnn 求求EXEX22 24311lim()lim(1) (1)222nnnxnnnn 解解.2e 1lim(1) .nnn 求求111lim(1)lim(1)1111lim(1)(1)11nnnnnnnnnn .1e 解解EX 设其中 ，证明 收

6、敛。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 na第11页/共42页12证明：证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： EX 设其中 ，证明 收敛。,.2 , 1,1.31211 nnan 2 nana2221.31211nan nn )1(1.3212111 1 2,nNn 第12页/共42页13分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法lim02nnn 证明证明进一步考虑lim0(1)nnnaa证明证明Z 思考思考第13页/共42页14 nnnnnnnn 32!321!2111)1(0lim aannn证证明明)(N找找用用定定义义证证EX.证法1证法20lim nnan故由夹逼性得故

7、由夹逼性得 )(1(01202 nnnnnann 01 a第14页/共42页15.,.1,11nnnnxxeixxNnN 有有011111 lallnxnnannaananxnnnn令令 有极限有极限且且nnnxxNnx 0),(证法3111, nnnnanxanx)( 111111 naannnaanxxnnnnlxlxnnnn 1limlim设设第15页/共42页16 子数列概念及其收敛性子数列概念及其收敛性定义+,N,nkan设设为为数数列列为为的的无无限限子子集集 且且12,knnn则则数数列列12,knnnaaa,.knnaa称称为为的的子子列列 简简记记为为注,knnnaaa由由定

8、定义义的的子子列列的的各各项项均均选选自自knnaa且且保保持持这这些些项项在在中中的的先先后后次次序序. .中中的的第第,.nkkkannk项项是是中中的的第第项项 故故总总有有（2 2） 数列极限的归并原理数列极限的归并原理第16页/共42页17数列收敛与其子数列收敛的密切联系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：定理 2.7 (数列极限的归并原理)limlim.kknnnnnkaaaaaa对于的任意子列都有对于的任意子列都有lim.0,.nnnaaNNnN aa设设则则当当 .,knnkaank设设是是的的任任意意一一个个子子列列 由由于于因因此此,.kknkNnkNaa 时时亦亦有有这这就

9、就证证明明了了lim.knkaa 证明：必要性证明：必要性充分性，充分性，注意到 是其自身的子数列！na第17页/共42页18推论推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。注意注意 该推论是证明数列发散的很好的工具。1( 1).n E EX X证证明明数数列列 . .是是发发散散的的 第18页/共42页19例8limnnaa求求证证的的充充要要条条件件是是212limlim.kkkkaaa 证明 ( (必要性) ) 由定理2.72.7212()limlim,0,kkkkaaaKN充分性 设则充分性 设则 kK当时，当时，12k+|aa | ，2k|aa |. 2,NKn

10、N令令当当时时, ,则则有有|,naa lim.nnaa 所所以以第19页/共42页20数列收敛与其子数列收敛的密切联系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：n1 若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）n2 若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限第20页/共42页21证明提示：na的任意子数列收敛的任意子数列收敛na数列收敛数列收敛C.6236321362636321633221limlim;limlim;limlim;limlimlimlim:kkkkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaa是，的子数列；是，的子数列；是，的子数列是，的子

11、数列由例8得,limnaa隐藏第21页/共42页22（3） Weierstrass定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界收敛数列一定有界有界数列未必收敛有界数列未必收敛定理定理2.8(Weierstrass定理定理) ) 有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列用单调有界准则证明！引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可取出一个单调的子数列子数列先给出以下引理证明：设an 是有界数列，由引理从中可取出一个单调的子数列ank ,它显然是有界的，由单调有界准则得ank是收敛的。引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可

12、取出一个单调的子数列子数列第22页/共42页23引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可取出一个单调的子数列子数列（2）若数列中只有有限多项可作为“龙头”，这时取最后一个“龙头”的下一项，记作an1，由于an1不是“龙头”，在它的后边必有一项an2（n2n1)满足an1 an2，如此进行下去就得到一个子列ank,它是一个严格递增子列。证明 先引进一个定义：若数列中的一项大于等于在这项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。 分二种情况讨论。（1）若数列中存在着无穷多个“龙头”，那么把这些可作为“龙头”的项依次地取下来，显然得到一个递减的数列。第23页/共42页242.数列的任

13、意收敛子数列的极限称为该数列的极限点,也称为聚点. .说明1.定理2.8也称为致密性定理 ; ;数列的聚点原理.定理定理2.8(Weierstrass定理定理) ) 有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列10n比如: 是的一个聚点;比如: 是的一个聚点; 11, 1( 1).nn是的两个聚点是的两个聚点1( 1)n 1 1和和- -1 1均均是是数数列列 的的聚聚点点。注意：聚点可以属于数列中的点也可以不属于！第24页/共42页25（4 4） 柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)收敛原理收敛原理1）Cauchy数列（基本数列）: Cauchyna则则称称数数列列（基基本本数数列列）是

14、定义定义2.2 如果对|,nmaa 0,NNn mN ，使得，na为基本数列为基本数列nana有界有界思考:证明证明第25页/共42页26na设是基本列设是基本列na有界有界0+1,N , ,NnN 取取, 101 Nnaa11 NNnnaaaa11 NNnaaa11 Na ,1 ,max121 NNaaaaM取取,.nnNaM 则对有则对有补充：证明证2）柯西收敛原理定理定理 2.92.9 ( (柯西收敛原理) )收敛收敛为基本数列，简称基本列。为基本数列，简称基本列。nana第26页/共42页27 定理定理2.92.9 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西收敛原理柯西收敛原理)数列数列

15、na极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是:,0存在正整数存在正整数 N ,使当使当NnNm,时时,nmaa 证明证明: : “必要必要性性”.设设lim,nnaa 则则,0NnNm,时时, 有有 使当使当,2naa 2maa 因此因此nmaa()()nmaaaanaamaa ,N有有第27页/共42页28“充分性充分性”为基本数列为基本数列nana有界有界由定理由定理2.8， limkknnkaaa 0 , KN 使当使当kK 时时, 有有 .2knaa 另一方面，另一方面，1,NN 为基本数列为基本数列, ,na由由使当使当11,mNnN时时, 有有 2mnaa 取取1max,NK N

16、使当使当nN 时时, 有有 11NNnnnnaaaaaa limnnaa1()NnN 第28页/共42页29柯西(Cauchy)收敛原理 na数数列列收收敛敛0,mnNNm nN aa 使得0,N ,npnNNnNpaa 及使得第29页/共42页301111.,2,1,2,.23nann 例9 .na证明收敛证明收敛111 , n pNnnpn 2211.(1)()11.(1)()npnaannpnnp 111 .(1)(1) (2)(1) ()nnnnnpnp1 N 取分析第30页/共42页31证明+10, ,N ,NnNp 取，则对取，则对110(1)()npnaannp 2211(1)(

17、)nnp)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn )111()2111()111(pnpnnnnn npnn111 , . npnaa即即第31页/共42页32例10 1111( 1)1,.234nnnaan 设证明收敛,npN ，111( 1)12pnpnaannnp 证明：1111)()0121pnnnpnp当 为偶数时，当 为偶数时，( (11)12111()021pnnnpnpnp当 为奇数时，(当 为奇数时，(）2111( 1)111231pnnnnpnn （）（）第32页/共42页33柯西(Cauchy)收敛准则的意义n收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。n判

18、别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。n把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。 na第33页/共42页34柯西(Cauchy)收敛原理 na数数列列不不收收敛敛000,mnNNm nNaa 使得000000,N ,使得npnNNnNpaa 0,mnNNm nN aa 使得0,N ,npnNNnNpaa 及使得第34页/共42页35例11 1111,1,.23nnaan 设证明发散 na数数列列发发散散利用：取：012pn ，111(1)(2)()npnaannnp ,111pnppnn +201N ,=2nnnNnNpn aann对对取取 0000

19、00,N ,使得npnNNnNpaa 第35页/共42页36注意： 确界存在定理单调有界准则 Weierstrass 定理 Cauchy收敛定理区间套定理第36页/共42页37故极限存在，故极限存在，1.1.设设 11()2nnnaxxx ),2,1(n0 ,a 10 ,x , 且且求求.limnnx解解：设设Axnnlim则由递推公式有则由递推公式有)(21AaAAaA11()2nnnaxxx nxnax a nnxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01x故故axnnlim利用极限存在准则利用极限存在准则,0nx第37页/共42页38 2. 设设

20、, ),2, 1(0iai证证: 显然显然,1nnxx证明下述数列有极限证明下述数列有极限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即即nx单调增单调增, 又又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在存在“拆项相消拆项相消” 法法第38页/共42页39内容小结内容小结1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用用2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性; 保

21、不等式性保不等式性; 四则运算法则四则运算法则;夹逼性夹逼性3. 数列收敛性（极限存在）判别准则数列收敛性（极限存在）判别准则:单调有界准则单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则数列极限的归并原理数列极限的归并原理Weierstrass(维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯)定理定理.11lim存在存在nnn 212limlimlim.nkknkkaaaaa第39页/共42页40维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯 (Weierstrass 1815 1897)德国数学家德国数学家. 他的主要贡献是在分他的主要贡献是在分析学方面析学方面. 1854年他解决了椭圆积分年他解决了椭圆积分 还建立了椭圆函数的新还建立了椭圆函数的新 结构结构. 他在分析学中建立了实数理论他在分析学中建立了实数理论, 引进了极限的