卷积积分Convolution

1、5.4 电路系统对任意激励电路系统对任意激励的零状态响应卷积积分的零状态响应卷积积分1.卷积积分定理：任一卷积积分定理：任一LTIS对任意激励信号对任意激励信号f(t)的零状态响应的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分。即:)()()()()()()(00thtfdhtfdthftyttttzs5.4.1 卷积积分定理：卷积积分定理：0( )lim( )ntP t )()(thtPnn)(lim)(ththnn0Pn(t)tLTISthn(t)1证明：因为任意信号证明：因为任意信号f(t)可以分解为宽度为可以分解为宽度为 的

2、无穷多个窄脉的无穷多个窄脉冲信号的迭加冲信号的迭加( )()()() ()nnnknf tf kP tkf kP tk ( )()()() ()nnnkny tf kh tkf kh tk , ,dkd 积分求和任意信号：任意信号：dtftf)()()(任意信号产生的零状态响应：任意信号产生的零状态响应：dthftyzs)()()(响应迭加：响应迭加：当当 时，时，)0(因为对于一切物理可实现系统（因果系统），因为对于一切物理可实现系统（因果系统），t0时，时，h(t)=0，而由于，而由于 时，时， 。所以积分上限应为。所以积分上限应为t；又如果输入的信号是单边又如果输入的信号是单边 的，则积

3、分下限应为的，则积分下限应为t0（或（或0）。）。t0)(thttzsdthfty0)()()(2.物理意义：物理意义： LTIS在任意时刻在任意时刻t对任意激励的零状态响应等于从激励函对任意激励的零状态响应等于从激励函数开始作用的时刻（数开始作用的时刻（ ）到指定时刻（）到指定时刻（ ）区间内，无）区间内，无穷多个幅度不同，连续出现的冲击响应的总和。穷多个幅度不同，连续出现的冲击响应的总和。0tt这就是说，输入这就是说，输入f(t)从从t=t0到到t 这段时间内电路的连续作用，这段时间内电路的连续作用，可以用一序列冲击信号对电路激励去等效，每个冲击信号可以用一序列冲击信号对电路激励去等效，每

4、个冲击信号)()(ktkf的强度为的强度为 ，相应的响应，相应的响应)()(fkf为为 ， 就是输入冲击信号的瞬间，而就是输入冲击信号的瞬间，而t可以理解可以理解为观察这个输入作用引起响应的瞬间。因为为观察这个输入作用引起响应的瞬间。因为 时刻作用的信时刻作用的信号，到号，到t时刻才观察到输出，这之间时间差值即为时刻才观察到输出，这之间时间差值即为 。 即即 可以理解电路对输入作用的记忆时间。可以理解电路对输入作用的记忆时间。 因为因为 不能为负，所以积分上限只能取到不能为负，所以积分上限只能取到t，而不能到，而不能到。其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例，。其实电路上的这种卷积积

5、分只不过是数学上卷积的特例，并赋予物理意义。并赋予物理意义。)()(thf0ttt2.利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法：利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法： 方法步骤方法步骤: （1）求出系统的冲击响应）求出系统的冲击响应h(t) （2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs(t)解解: 1.: 1.（1 1）求得电路的冲击响应：）求得电路的冲击响应：因为电路因为电路KCLKCL：)(3)()()()()(3tUetUeLRthttidttdiRLttLRLL例例1：已知图示电路，（：已知图示电路，（1）输入为）输入为 A电流，求响应

6、电流，求响应 iL(t)。（。（2）输入为）输入为 A电流，求响应电流，求响应iL(t)2( )te U t)2(2)2(tUet)()(3) 1(3216632)()()(32020203)(0tUeeeeeedeedeedhtftitttttttttttL2.)2()(3)()2(3)2(tUeetittL例2. 已知一LTI网络，冲击响应为 ，求当输入 信号为矩形波时的零状态响应。11f(t)t()100( )( ) ()1(1) ( )ttttzsytfh tdedeU t （2）求U(t-1)激励时的响应： 根据延时不变性可得：) 1()1 ()()1(2tUetytzs)()(tU

7、etht（3）求f(t)激励时的响应： 根据LTIS的线性性：) 1()1 ()()1 ()()()()1(21tUetUetytytyttzszszs3.LTIS的完全响应： 利用卷积求得系统零状态响应，再与系统零输入响应叠加，即求得系统的完全响应为： （设系统特征根互异）nittzpszzpdthfeAtytytyi10)()()()()(4.卷积的图形解法(1). 卷积的图形解释： 卷积实际上是一种数学工具，我们可以用图解法来清楚的说明其含义。设：（1）褶叠： （将横轴t ， 对褶过去）（2）平移（3）相乘积分)(h(2). 卷积积分积分限的确定原则： 若函数 的非零值左边界（即函数不为

8、0的最小 值）分别为tl1和tl2，其非零值右边界（即最大的 值）分别为tr1和tr2，则积分下限为maxtl1,tl2，上限为mintr1,tr2。即积分下限取它们左边界的最大者，而积分上限取它们右边界中的最小者。)()(21tff和tttdtthtf21216144)(211)()(112133( )( )1()2416tf th ttd1224324)(211)()(tttdtthtf0)()(thtf( )( )0f th t(a)(b)(c)(d)(e)( )00( )tAf th tBe其余例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。解： （1）写出表达式：t00t

9、aAaf(t)t00h(t)tBBe-t(a)（b）Aaf(t)0Aaf(t)0t(C)（d）（2）计算卷积积分：Aaf(t)t00h(t)tBBe-t(a)（b）Aaf(t)0Aaf(t)0t(C)（d）)(*)()(thtfty.t0， 无重叠。.0ta，tl1=0, tl2=-,选tr1=a, tr2=t)()(thf和0()0( )( ) ()(1)tttty tfh tdABABede . ta ，tl1=0, tl2=-，tr1=a, tr2=t 选tl1=0, tr=0)(0)()1 ()(ataateeABdABety一一.卷积代数卷积代数1.交换律：交换律：)()()()(1

10、221tftftftf1212 ( )( )( )()f tf tff tdddt则令t2121 ( )( )() ( )( )f tff tdf tf t证明：证明：)()()()()()(321321tftftftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf3.3.结合律：结合律：证明：证明：)()()()()()()()()()()()()()()(321321321321321tftftfddtfffddtfffdtfdfftftftf 二二.卷积的微分和积分：卷积的微分和积分：1.微分：微分：)()()()()()(212121tfdttdfdtt

11、dftftftfdtddttdftfddttdffdtffdtdtftfdtd)()()()()()()()(21212121证明：同理可证第二等式2.积分tttdftfdftfdff )()()()()()(122121 ttttttdftfddffddffdff )()()( )()()()()(11212121证明：3. 高阶导数和多重积分高阶导数和多重积分设：设：)()()(21tftfty则有：)()()()(2)(1)(tftftyjiji推论：tdfdttdftftfty 2121)()()()()(例：例：tttUttUtdttUdttdtUtU)()(*)()(*)()(*)

12、(三、与冲击函数或阶跃函数的卷积1、与冲击函数的卷积：)()(*)(tfttf证明：)()()()()()()(tfdtfdtfttf或写为)()()()(tfdtf抽样性推论：)()(*)(00ttftttf2、与阶跃信号的卷积：tdftftUtUtf)()()(*)()()(tttdfdftdftUdtdtUtf)()(*)()(*)()(*)(证明：)(*)(*)(*)(2)2(tUetttUtUett)()(313)()()()()()()()()()()()()()(22)(2222)2(tUeetUetUedtUeUetUetUetUetttUetUetttUtUetttttttt

13、ttt解：原式解：原式例2、图示系统是由几个子系统组成的，各个子系统的冲击响应分别为： 若激励 试求总系统的零状态响应 ) 3()()(),1()(tUtUthtthGD) 1()()(tUtUtf)(tyhD(t)hD(t)hD(t)hG(t)f(t)h1h2h3y(t)h4解（1）求h(t):对因果系统而言，串联系统的冲击响应等于各串联子系统的冲击响应卷积（结合律）；并联系统的冲击响应等于各并联子系统的冲击响应相加（分配律）123400 ( ) *: ( ) ( )(1)(1)* (1)* ( )(3) ( )(1)(2)* ( )(3) ( )(3)* ( ) ( )(3)* (1) ( )(3)* (2) ( )* ()(hthhhhhtttttU tU ttttU tU tU tU ttU tU ttU tU ttf tt tf t t 即)( )( )(3)(1)(4)(2)(5)( )( )(1)(2)(3)(4)(5)(2)( ) :( )( ) *( )h tU tU tU