分子的扩散传递

1、上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-262.2.1 传质微分方程2.2.2 无化学反应的一维稳态分子扩散1上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26分子扩散是指在静止的系统中由于浓度梯度的存在而发生的传递现象，分子扩散过程与浓度分布和浓度梯度密切相关。分子扩散可以是一维的，也可以是二维和三维的。根据扩散过程是否随时间而改变，又可分为稳态和非稳态的分子扩散。工程中存在的分子扩散现象，有许多可以近似地简化为浓度仅沿一个方向变化和不随时间改变的一维稳态分子扩散过程。据此，本节主要介绍一维稳态扩散过程。2上一内容上一内容下一内容下一

2、内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 在动量和热量传递中，运用划分控制体模型的方法建立微分方程。在传质问题上，可应用同样的方法来建立传质微分方程。3上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26一、传质微分方程一、传质微分方程 在沿 方向扩散的位置上取一个微元控制面，控制面厚度为 。控制面在 方向和 方向上为无限大。即扩散仅在 方向上进行。含有组分A的混合物通过该控制面，如图2-1所示。图图2.1 一维传质控制体模型一维传质控制体模型上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 在分析控制面中组分A的质量守恒时，必须计及

3、化学反应这一项，还必须考虑扩散随时间变化而发生变化。因此，质量守恒的般关系式用文字表述为： 流入控制体的质量+因化学反应而生成组分A的生成率=流出控制体的质量+组分A在控制体内质量局部变化率（2.2-1） 依据式（2.2-1），我们仅考虑一维方向上的质量平衡A AAA AAA Auu dy rdxdyu dydxdydxdyx5上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 令 ，上式整理成（2.2-2） 对于三维质量传递，方程为 （2.2-3） 这即是组分A的连续性方程。,m AAAu,0m AAArx,0Am Am Am AArxyz6上一内容上一内容下一内容

4、下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 式（2.2-3）可写成算符形式：（2.2-4） 同样方法可导得组分B的连续性方程，即 （2.2-5）或 （2.2-6） 式中 是组分B在控制体内化学反应的速率,0AmAAr ,0Bm Bm Bm BBrxyz,0BBBmr7上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 将式（2.2-4）和式（2.2-6）相加得 （2.2-7） 对于双组分混合物，和 将这些关系式代入式（2.2-7）得,0ABm Am BABrr,m Am BAABBuuuABABrr 8上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回

5、2021-11-26 （2.2-8） 这即是混合物的连续性方程。 也可用摩尔单位来描述连续性方程，若 和 分别表示每单位体积组分A和组分B的摩尔生成率，则对于组分A，与式（2.2-4）等价的方程形式为 （2.2-9） 对于组分B （2.2-10）0u ,0An AAcR ,0Bn BBcR9上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 对于混合物 （2.2-11） 对于双组分混合物和,0ABn An BABccRR,n An BAABBMc uc ucuABccc10上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 因此，连续性方程可

6、写为 （2.2-12） 同样，由于有 ，上式变成0MABccuRR0MccuABRR 11上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 在不同的扩散条件下，扩散方程可以蜕变成不同形式。以摩尔通量方程为例，考察式（2.1-59），按坐标选择习惯，对一维扩散坐标方程中坐标变量更换为 ，即 此式右端第二项为整体流动形成的扩散项 ，并考虑总摩尔浓度 不变，上式变成（2.2-13）,An A xABAn A xn B xdycDydx ,An AABAdcDc udx 12上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 将式（2.2-9）改写

7、成一维形式 (2.2-14) 将式（2.2-13）代入式(2.2-14)，得 整理后得(2.2-15),0An AAcRx220AAAABcccDuxx22AAAABcccuDxx13上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 它类比于传热微分方程(2.2-16) 这两个方程是热量传递与质量传递相似的基础。因此基于式(2.2-14)， 1假定 和 为常数， ，则可简化为式(2.2-15)22pTTTc uaxxABD0AR 14上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 2假定 和 为常数； ； ，则可简化成 (2.2-17)

8、 这即是斐克第二扩散定律的表达式。这方程是在假设 的情况下导得的，所以，此式仅适用于固体及静止液体中扩散。ABDc0u 0AR 22AAA BccDx15上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 3假定 和 为常数； =0； ，又是稳态过程， ，则可简化成 (2.2-18) 式（2.2-18）即是用摩尔浓度表示的拉普拉斯方程。 在不同坐标系中，扩散方程的形式因坐标变量不同而异。例如，斐克第二扩散定律在直角坐标系中的形式为220Adcd x16上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 (2.2-19) 在圆柱坐标系中的形式为

9、 (2.2-20) 在球坐标系中的形式为 (2.2-21)222222AAAAABccccDtxyz222222211AAAAAABcccccDtrrrrz222222111sinsinsinAAAAABccccDrtrrrrr17上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 一个传质过程可通过解某一个传质微分方程来说明，在解微分方程的过程中要运用边界条件，对不稳态扩散，还会涉及到初始条件，以此确定积分常数，在传质中所应用的初始条件或边界条件类似于热量传递中所利用的那些初始条件或边界条件。 传质过程中的初始条件可用摩尔浓度或质量浓度来表示。例如，在 时， ，或者

10、，在 时， 。00AA00AAcc18上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 与动量方程和能量方程一样，扩散微分方程也有三类边界条件。 1规定了表面处的浓度。这个浓度可用摩尔浓度表示 ；也可用摩尔分数表示 ；或者用质量浓度表示 ；也可用质量分数表示 。 对由理想气体组成的混合系，摩尔浓度与组分的分压力有关，这时，浓度可用分压来表示， 。,AAxcc,AAxyy,AAx,AAxww,AAAxppyp19上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 2规定了表面的质量通量。例如， ， 。或者，对质量扩散形式， 3规定了边界上介质

11、和周围流体间的传质系数 和主流体的浓度 , 。例如，已知 ，式中 为主流体浓度； 为贴壁处的流体浓度； 为传质系数。,AAxJJ, ,n An AxAAABxxdwjDdz ck,Ac,1,n AcAAkcc,Ac,1Acck20上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26一、通过静止空气膜的扩散一、通过静止空气膜的扩散 这是工程上经常遇到的一种典型的传质过程，如空气加湿过程中，水蒸气必须穿过聚集在水和空气交界面上的静止空气层才能扩散到空气中去。在去湿过程中，湿空气中的水分也只有穿过此空气层才能进入到水中。21上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回

12、返回2021-11-26 现取一容器，如图2-2所示。容器内灌了部分纯液体A，且保持恒温恒压，气体B对液体A无化学作用，且掠过开口管端，在此忽略不计它在液体A中的溶解性，液体A蒸发并扩散进入气相。现在来分析一下 平面，由于气体不溶于液体A，并且认为 为零，组分B是不流动气体。 按式（2.1-33），组分A在 方向上扩散的摩尔通量为,B zN,An AABAn An BdycDydz 22上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 由于组分B静止，故 ，上式可整理为 （2.2-22） 边界条件：在 处， ； 在 处， 。 由于 ，所以，扩散沿程上 为常数，分离变

13、量并积分后解得,0n B,1A BAnAAc Dd yyd z 1zz1AAyy2zz2AAyy2211,1AAzyAn AABzyAdydzcDy23上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26(2.2-23) 由于 ； ； ，代入式（2.2-23）得（2.2-24）2,2111ln1A BAnAAc Dyzzy111AByy 221AByy 1221AABByyyy21,1212212121,ln1BABBABn A zAAAABBB mycDycDyyyyzzyyzzy24上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 令 为

14、组分B的对数平均摩尔分数，即(2.2-25) 此式也可用组分A来表示 （2.2-26）21,21lnBBBmBByyyyy 2112,22111111lnln11AAAAB mAAAAyyyyyyyyy25上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 对于理想气体， 又 所以，式（2.2-25）可表示成 （2.2-27） 这便是斯蒂芬（stephan）定律的表达式。AApyp12,21,ABAAn A zB mDpppRTzzpnpcVRT26上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 例题2.2-2 在一圆盘中盛有温度为20的

15、水层，盘子上方的干空气的总压力1bar，温度为20。假设蒸发是在15mm的气层中以纯分子扩散形式进行，并以一平方米的盘面积作为计算单位，每平方米水被蒸发的质量m=3kg，试计算水分完全蒸发所需要的时间（小时）。 解 这是不通过静止空气的扩散问题。从附录1查得 ，所以，2250.2634/ABCDcms3222202510.2568/ABCABCTDDcmsT27上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 每平方米水被蒸发的摩尔数 ，单位时间内单位面积上的扩散速率 式中 ；3kg0.167kmol18kg/kmolmnM, ,12,ABn A zAAB mDpp

16、pRTzp10.0234 barAp20Ap11-0.0234 =0.9766 barBp21barBp28上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 所以， 又 ， 因此，521,52511 0.9766100.9981 10lnln0.9766 10BBB mBBpppbarpp8314 /RJkmol K0.015zm425252, ,520.2588 10/1 10/0.0234 10/8314/2930.0150.988 10/n A zmsN mN mN mkmol KKmN m621.66 10kmol/ m s29上一内容上一内容下一内容下一内

17、容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 水分蒸发所需要的时间为2620.167/27.951.66 10/3600 /kmol mhkmolmss h30上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26二、通过不流动气膜的准稳态扩散二、通过不流动气膜的准稳态扩散 许多实际过程中，其中有一边界是随时间而移动的，但经过某一段时间后扩散路 程变化很小，则可利用准稳态概念处理扩散模型，如图2-3所示。在这种条件下，仍可用式（2.2-24）来计算它的扩散通量。现在来分析一下流体流过表面时的情况.现有两个水平面，一个是在 时刻，另一个是在 时刻的，若在较长的时间间隔内液

18、面的距离变化较小，则在这个期间中任意瞬时的摩尔通量为 31上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 式中 是 时间内扩散路程的长度。 摩尔通量 与液体离开液面的数量有关， （2.2-31） 式中 为液相组中组分A的摩尔浓度。经计算得 （2.2-32）12,ABAAn A zB mcDyyzy21zzz,A Ln AAdzMd,ALAM022,122A LB mAABAAzzyMDc yy32上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 例题2.2-333上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-2

19、6三、等摩尔反方向扩散三、等摩尔反方向扩散 在工程中经常遇到另一种典型扩散现象，即两组分作等摩尔反方向的扩散。当两个组分的分子汽化潜热相近时，一摩尔组分A扩散到液体表面且冷凝，其放出的热量刚好使一摩尔组分B汽化，离开液体表面扩散到气相进行等摩尔反方向扩散，即 在常温、常压下，双组分系统中摩尔通量 为 ,n An B ,n A, ,An A zABAn An BdcDydz 34上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 将 代入上式得 （2.2-33） 利用边界条件在 时， 时， 求得 （2.2-34）,n An B ,An A zABdcDdz 1zz1AA

20、cc2zz2AAcc,1221ABn AAADcczz35上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 由于 所以 （2.2-35） 式（2.2-34和式（2.2-35）即是稳态的等摩尔反方向扩散方程。 等摩尔反方向扩散过程的浓度分布可从式（2.2-33）代入 方向的传质微分方程式中导得。AAAnpcVRT,1221ABn AAADppRT zz36上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 因为 所以 根据边界条件：在 时， ； 时， ， 求得浓度分布为 （2.2-36）,0n Addz220Adcd z1zz1AAcc2zz

21、2AAcc111212AAAAcczzcczz37上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 例题2.2- 4 气体A和B在容器中进行稳态的等摩尔反方向扩散，扩散的路径为 ，如图2-4所示。点1处的分压力分别为 和 ，点2处的分压力分别为 和 ，且保持恒定，试推导浓度分布的关系式。 解 对于 和 为常数，又无化学反应（RA=0），作稳态 的等摩尔反方向扩散满足拉普拉斯方程cm1Ap1Bp2Ap2BpcABD0Ac20Ac38上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 又仅沿 方向进行扩散，所以 （a） 积分式（a）得 式中 为

22、常数。再次积分得220Adcdz1Adckdz1k12Ack zk39上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 在z =0处， 。因此， 。 在 ， 和 。 所以，代入上式得 可见在此条件下浓度分布呈线性分布。,1AAcc21Akcz2AAcc211AAcck211AAAAcczcc40上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 例题2.2-5 根据例题2.2-4的条件，若是气相A向静止的气相B进行扩散。试导出浓度分布的关系式。 解 根据已知条件得知 方向的扩散为 （a） 由于 ，所以， （b）,0nAzdd z, , ,

23、,An A zABAn A zn B zdycDydz ,0B zN,1ABAn A zAcDdyydz 41上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 将式（b）代入式（a），又令 和 为常数，则 （c） 积分一次得 式中 为常数，再次积分得01AAdydydz11AAdykydz1k12ln 1Ayk zk42上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26 在 z=0 处， ， 在 处， ， 求得 和 值，代入上式得 因此， 与 之间不是直线分布。1AAyyz2AAyy1k2k21111lnln11AAAAyyzyyAyz43上一内容上一内容下一内容下一内容回主目录回主目录返回返回2021-11-26设通过AB面的扩散质量为m，则扩散速度为 ，它与浓度梯度和AB截面积A成正比。ddmt 如图所示，