幂函数的性质、常考题型及对应练习

1、精品文档精品文档幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：mnmnaa（0a，m、 nn ，且1n）负分数指数幂的意义是：1mnnmaa（0a，m、 nn ，且1n）一、幂函数的定义一般地，形如yx（xr）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数 . 如11234,yxyxyx等都是幂函数， 幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化， 可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握nyx，当112,1, 323n的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何

2、幂函数图像都不过第四象限11,1, 2 , 332a时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数1,1,22a时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点精品文档精品文档nyx奇函数偶函数非奇非偶函数1n01n0n三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0 ，+ 上，是增函数（3） 0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数 . 规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数yx，我们首先应该分析函数的定义域、

3、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01 和1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型； 01 时图象是横卧抛物线型四、幂函数的应用题型一 . 幂函数的判断例 1在函数22031,3,yyxyxx yxx中，幂函数的个数为 ( ) a0 b1 c 2 d3 练 1下列所给出的函数中，是幂函数的是（）o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x y o x

4、y o x y 精品文档精品文档x o y a3xy b3xy c32xy d 13xy题型二 . 幂函数图像问题例 2. 幂函数nmyx（m、 nn ，且m、n互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）()am、n为奇数且1mn()bm为偶数，n为奇数，且1mn()cm为偶数，n为奇数，且1mn()dm奇数，n为偶数，且1mn练 2. 右图为幂函数yx在第一象限的图像，则, , ,a b c d的大小关系是（）()aabcd()bbadc()cabdc()dadcb解：取12x，由图像可知：11112222cdba，abdc，应选()c题型三 . 幂函数比较大小的问题例 3. 比较下

5、列各组数的大小：（1）131.5，131.7，1；（2）372，373，375；（3）2322，23107，431.1解： （1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题13yx在 0 ,上单调递增，且 1.71.51，11331.71.51（2） 底数均为负数，可以将其转化为337722，337733，33775537yx在 0,上单调递增，且532，333777532，即333777532，x o y ayxbyxcyx精品文档精品文档333777532（3）先将指数统一，底数化成正数22332222，2233101077，42331.11.2123yx在

6、0,上单调递减，且721.21102，223233721.21102，即：223433721.1102点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3） 若既不能化为同指数， 也不能化为同底数， 则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小题型四 . 幂函数含参数问题例 4. 若1133132aa，求实数a的取值范围分析：若1133xy，则有三种情况0 xy，0yx或0yx解：根据幂函数的性质，有三种可能：10320aa或10320132aaaa或10320132aaaa，解得：23,1,32au练 4已知幂函数

7、223mmyx（ mz ）的图象与x轴、 y 轴都无交点， 且关于原点对称， 求m的值解：幂函数223mmyx（ mz ）的图象与x轴、 y 轴都无交点，2230mm，13m； mz ，2(23)mmz，又函数图象关于原点对称，223mm是奇数，0m或2m练 5幂函数3521mxmmy，当 x(0,+ )时为减函数，则实数m的值为 ( ) 精品文档精品文档a. m 2 b. m1 c. m1 或 m 2 d. 251m题型五、幂函数与函数的性质综合题例 5、求函数 y52x2x514（x32）值域解析：设 t x51，x32，t 2，则 yt22t 4（t 1）23当 t 1 时，ymin3函

8、数 y52x2x514（x32）的值域为 3，） 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法练 6已知 f(x) 2x2， (1) 判断 f(x) 在(0 ， ) 上的单调性并证明；(2) 当 x1 ， ) 时，求f(x)的最大值解：函数 f(x) 在(0 ，)上是减函数证明如下：任取 x1、x2(0，)，且 x1x2，f(x1)f(x2)2x122x222(x22x12)x12x222(x2x1)(x2x1)x12x220 x10，x2x10，x12x220. f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 在(0 ，)上是减函数(2) 由(1) 知，f(x) 的单调减区

9、间为 (0，)，函数 f(x) 在1 ，)上是减函数，函数 f(x) 在1 ，)上的最大值为f(1) 2. 【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（）yx3yx2yx1yx答案：2. 下列函数在,0 上为减函数的是（）13yx2yx3yx2yx答案：3. 下列幂函数中定义域为0 x x的是（）23yx32yx23yx32yx答案：精品文档精品文档4函数 y（x22x）21的定义域是（）ax| x0 或 x2 b （，0） （2，） c （，0） 2，d （0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域答案： b 5函数 y（1x2）21的值域是（）a 0，b （0，1） c （0，1） d

10、 0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t 1x2，则 yt1x1，0t 1，0y1答案： d 6函数 y52x的单调递减区间为（）a （， 1）b （， 0） c 0，d （，）解析：函数 y52x是偶函数，且在 0，）上单调递增，由对称性可知选b答案： b 7若 a21a21，则 a 的取值范围是（）aa1 ba0 c1a0 d1a0 解析：运用指数函数的性质，选c 答案： c 8函数 y32)215(xx的定义域是。解析：由（ 152xx2）30152xx203x5答案： a 9函数 y221mmx在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是 _解析： m的取值应该使函数为偶函数

11、故m 1答案： m 1 10、讨论 函数 y52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数 y52x是幂函数精品文档精品文档（1）要使 y52x52x 有意义， x 可以取任意实数，故函数定义域为r（2）xr ，x20y0（3）f （x）52)(x52x f （x） ，函数 y52x是偶函数；（4）n520，幂函数 y52x在0，上单调递增由于幂函数 y52x是偶函数，幂函数 y52x在（，0）上单调递减（5）其图象如下图所示12已知函数 y42215xx（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t 152xx2，则 y4t，（1）由 152xx20 得函数的定义域为 5，3 ，t 16（x1）20，16 函数的值域为 0，2 （2）函数的定义域为 5，3且关于原点不对称， 函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函