复变函数与积分变换第三章

1、 习惯于思考、联想的人一定会走习惯于思考、联想的人一定会走得深些、远些，没有思考、联想的人，得深些、远些，没有思考、联想的人，虽然读万卷书，依然看不到书外的问虽然读万卷书，依然看不到书外的问题。题。华罗庚华罗庚 本章介绍复变函数的积分概念，解析本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质函数积分的主要性质. . 重点是重点是CauchyCauchy积分积分定理、定理、CauchyCauchy积分公式、积分公式、Cauchy(Cauchy(高阶高阶) )导导数公式。数公式。3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一一 复变函数积分的定义复变函数积分的定义二二 复变函数积分的性质复变函数

2、积分的性质三三 复变函数积分的计算复变函数积分的计算复习复习1( )lim( )nbiianif x dxfx核心思想是什么？核心思想是什么？11( , )( , )lim( , )( , )nniiiiiiLniiP x y dx Q x y dyPxQy 1( , )lim( ,)niiiLnif x y dsfs abxyC定义定义 如图设如图设 C 为简单光滑的有向为简单光滑的有向(1) 将曲线将曲线 C 任意划分任意划分：一、复积分的定义一、复积分的定义函数函数 在在 C 上有定义，上有定义，)(zf,210bzzzazn 令令,1 kkkzzz, |max1knkz z zkz0z

3、kznzk-1(2) 在每个弧段在每个弧段 上上任取一点任取一点,1kkkzz z zkkzz1 若若 存在存在( (不依赖不依赖 C 的划分和的划分和 的选取的选取) )， nkkkzf10)(limz z kz z则称之为则称之为 沿曲线沿曲线 C 的的积分积分，记为，记为.d)( Czzf)(zf曲线，其方向是从曲线，其方向是从 a 到到 b， P40定义定义 3.1 abxyC一、复积分的定义一、复积分的定义表示沿曲线表示沿曲线 C 的的注注 (1) Czzfd)(znzk-1z0zkz zkC 负方向积分；负方向积分；表示沿表示沿闭曲线闭曲线 G G(2) zzfd)( (的逆时针方

4、向的逆时针方向) )积分；积分；第一类曲线积分第一类曲线积分二、复积分的性质二、复积分的性质(1).d)(d)(d)()( CCCzzgzzfzzgzf CCzzfzzf|d| | )(|d)(|(4) (2) .d)(d)( CCzzfzzf Cszfd| )(|(3) ,d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf其中，其中，.21CCC 其中，其中，, | )(|maxzfMCz L为曲线为曲线C的弧长。的弧长。,ML P41 估计估计 Czzzde例例的模的一个上界，其中的模的一个上界，其中 C 如图所示如图所示。xyCi1 1 Czszd|e | Cxsd|e | Cxsde.e

5、 解解 Czzzde Czzz|d|e三、三、复积分的计算复积分的计算 CCyixviuzzf)dd( )(d)(.dddd CCyuxviyvxu附附 格林格林( (Green) )公式公式 进一步可化为进一步可化为定积分定积分或者或者二重积分二重积分。方法一方法一 化为第二类曲线积分化为第二类曲线积分 P42 定理定理3.1 ( (推导推导?)?) nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( z z Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 定理定理3.1 设设C是分段光滑是分段光滑(或可求长或可求长)的有向的有向曲线，

6、曲线， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上连续，则上连续，则 ( )dCf zz 存在，并且存在，并且 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu从从形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i ,d)()(d)( baCttztzfzzf三、三、复积分的计算复积分的计算方法二方法二 直接化为定积分直接化为定积分 , )()()(:tyitxtzzC ,:bat设曲线设曲线则则. )()()(tyitxtz 其中，其中，附附 其它方法其它方法( (后面的章节介绍后面

7、的章节介绍) ) 利用原函数计算，即利用原函数计算，即.)(d)(10zzCzFzzf 利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用柯西积分公式、高阶导公式计算。 利用留数计算利用留数计算。P43 解解,xz (1) 曲线曲线 C1 的方程为的方程为,10:x,1yiz 曲线曲线 C2 的方程为的方程为,10:y,dd12 CCzzzzI 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix . i xyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为为( (如图如图) )：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P4

8、3 例例2 修改修改 解解 (2) 曲线曲线 C3 的方程为的方程为,10:t, t itz 3dCzzI102212ti . i 10)(d)(t itt it 10d)1( )1(ttiixyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为为( (如图如图) )：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P43例例2 修改修改 解解,10:t(3) 曲线曲线 C4 的方程为的方程为,2t itz 4dCzzI. i 1022)(d)(t itt it1022)(21t it 2)1(21i xyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中

9、C 为为( (如图如图) )：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P43例例2 修改修改 解解,xz (1) 曲线曲线 C1 的方程为的方程为,10:x,1yiz 曲线曲线 C2 的方程为的方程为,10:y 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix .1i xyC1C2C3i1计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为：为：(1);21CCC (2).3CC ,dd12 CCzzzzI解解 (2) 曲线曲线 C3 的方程为的方程为,10:t, t itz 102212t .1 10)(d)(t itt it 10d)1

10、( )1(ttii 3dCzzIxyC1C2C3i1计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为：为：(1);21CCC (2).3CC 都是从相同的起点到相同的终点都是从相同的起点到相同的终点, 沿着两条不沿着两条不注意注意1 从例题看到从例题看到, 积分积分d ,Cz z dCz z 和和相同的路径进行时相同的路径进行时, 积分值不同积分值不同, dCz z dCz z 积分值相同积分值相同. 是否可以讨论积分与积分是否可以讨论积分与积分路径的关系路径的关系?注意注意2 一般不能将函数一般不能将函数f (z)在以在以 为起点为起点, 以以 为终点的曲线为终点的曲线C上的积分记成上的积分记成

11、因因为为( )d ,f zz 积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关, 所以记所以记( )d .Cf zz 解解z积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例 计算积分计算积分 101d()nCzzz (n是整数是整数), 其中其中C是圆周是圆周:0 (0)zzr r 的正向的正向. xyor0z zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr rzznzzz0d

12、)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关. .注注 此例的结果很重要！此例的结果很重要！ 微积分学的现实意义微积分学的现实意义3.2 柯西积分定理柯西积分定理一、柯西基本定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理二、闭路变形原理三、三、复合复合闭路定理闭路定理四、路径无关性四、路径无关性五、原函数五、原函数(?) GGyxyvxuiyxyuxvdddd)()( yuxviyvxuzzf)dd()dd(d)(证明证明Green公式公式.0C R方程方程D(?)Green公式公式C R方程方程证明证明 yuxviyvx

13、uzzf)dd()dd(d)( GGyxyvxuiyxyuxvdddd)()(.0一、柯西基本定理一、柯西基本定理定理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 D 内解析内解析，G G 为为 D 内的任意一条简单闭曲线，内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为上述定理又称为柯西柯西-古萨古萨( (Cauchy-Goursat) )基本定理基本定理。 .0d)( zzf则有则有G GG P46定理定理 3.2 注注(1) 定理中的曲线定理中的曲线 G G 可以不是可以不是简单简单闭曲线闭曲线。(2) 定理中的条件还可以进一步减弱定理中的条件还可以进一步减弱。定理定理 设单连域设单连域

14、 D 的边界为的边界为 C，函数，函数 f (z)在在 D 内解析内解析，.0d)( Czzf则有则有CDCDD 在在 上连续，上连续，D一、柯西基本定理一、柯西基本定理定理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 D 内解析内解析，G G 为为 D 内的任意一条简单闭曲线，内的任意一条简单闭曲线，.0d)( zzf则有则有G GG二、闭路变形原理二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域将柯西积分定理推广到二连域定理定理 设二连域设二连域 D 的边界为的边界为 ( (如图如图) )，21CCC Czzf0d)(.d)(d)(12 CCzzfzzf或或1C2CDab证明证明如图，

15、作线段如图，作线段 a b，则二连域，则二连域 D 变为单连域，变为单连域，,0d)(d)( baabzzfzzf由由,0d)(d)(d)(d)(21 baCabCzzfzzfzzfzzf,0d)(d)(21 CCzzfzzf Czzf0d)(.d)(d)(12 CCzzfzzf或或函数函数 在在 D 内解析内解析，在在 D+C 上连续上连续，)(zf则则从而有从而有 P47定理定理 3.3 D1C2C 在区域内的在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值，称此为称此为闭路变形原理闭路变形原

16、理。二、闭路变形原理二、闭路变形原理 闭路变形原理闭路变形原理如图，设如图，设 在在 D 内解析内解析，在边界在边界 上连续上连续，21CCC )(zfG G 为为 D 内的一条内的一条“闭曲线闭曲线”，.d)(d)(d)(12 CCzzfzzfzzf则则DrCG G解解 如图以如图以 为圆心为圆心 r 为半径作圆，为半径作圆，0z则函数则函数 在在nzzzf)(1)(0 因此有因此有 nzzzI)(d0 Cnzzz)(d0当当 时，时，1 n,2 i当当 时。时。1 n,0 上解析，上解析， CDD0z重要重要 三、三、复合复合闭路定理闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域将柯西积分定理推广到

17、多连域 Czzf0d)(函数函数 在在 D 内解析内解析，)(zf.d)(d)(d)(d)(021 CCCCnzzfzzfzzfzzf或或设多连域设多连域 D 的边界为的边界为 ( (如图如图) )，定理定理nCCCCC 210DC1C2C0C3Cn在在 D+C 上连续，上连续， 则则证明证明 ( (略略) ) P47定理定理3.4 解解 显然函数显然函数xyo 1G G 例例 计算积分计算积分其中其中G G为包含圆周为包含圆周221d ,zzzzG G 在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.1z 221( )zf zzz 在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和

18、1,并且并且G G 包含了这两个奇点包含了这两个奇点.xyo 1C12 C ,CC在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的圆圆周周和和 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C12:+CCC 则则构构成成复复围围线线打洞打洞!根据根据 , xyo 1G G1C2C221dCzzzz 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i Cauchy定理定理重要重要公式公式Cauchy定理定理重要重要公式公式（挖（挖“奇点奇点”法）法）令令解解,12)(2zzzzf

19、则则,111)( zzzf.1,0 z奇点为奇点为21| 3| z(1) 当当 C 为为 时，时，.0d122 CzzzzIC;21| 3| z.112222 yx(1)(2) ,d122 CzzzzI其中其中 C 为：为：例例 计算计算C3210令令解解C1C2,12)(2zzzzf 则则,111)( zzzf.1,0 z奇点为奇点为(2) 当当 C 为为 时，时，112222 yx令令 C1：,31| z C2：,31| 1| z则则 2211d11d1d11d1CCCCzzzzzzzzI.42002iii C;21| 3| z.112222 yx(1)(2) ,d122 CzzzzI其中

20、其中 C 为：为：例例 计算计算C3210的简单曲线，的简单曲线，四、路径无关性四、路径无关性定理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 D 内解析内解析，.d)(d)(21 CCzzfzzfC1, C2 为为 D 内的任意两条从内的任意两条从 到到0z1z.d)(d)(d)(221 CCCzzfzzfzzf证明证明,0d)(d)(21 CCzzfzzf由由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有则有 P49定理定理 3.5 计算计算,dsin CzzI例例其中其中 C 为为如图所示的一个半圆如图所示的一个半圆。x

21、yCi2G G解解 设设 G G 如图所示，如图所示，处处解析，处处解析， CzzIdsin zzdsin 20dsinxx20cos x .2cos1 问问 是否可以直接计算？是否可以直接计算？20cosz .2cos1 因此有因此有 CzzIdsin 20dsinzz即即zsin由于由于 在复平面上在复平面上五、原函数五、原函数设在单连域设在单连域 D 内，函数内，函数 恒满足条件恒满足条件, )()(zfzF 定义定义)(zF则则 称为称为 在在 D 内的内的一个一个原函数原函数。)(zF)(zf1. 基本概念及性质基本概念及性质函数函数 的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相

22、差一个常数。性质性质)(zf设设 和和 是是 的两个原函数，则的两个原函数，则证明证明)(zG)(zH)(zf)()( )()(zHzGzHzG ,0)()( zfzf其中，其中，c 为任意常数。为任意常数。,)()(czHzG 函数函数 的原函数的原函数 称为称为 的的不定积分不定积分，定义定义)(zfczF )()(zf.)(d)(czFzzf 记作记作 P50定义定义 3.2 补补 0zzz zD五、原函数五、原函数2. 由变上限积分构成的原函数由变上限积分构成的原函数定理定理 若若 在单连域在单连域 D 内处处解析，内处处解析，)(zf则则 在在 D 内解析，且内解析，且 )(zF.

23、)()(zfzF ,d)()(0 zzfzFz zz z,0Dzz 令令 P49定理定理 3.6 3. Newton-Leibniz公式公式定理定理 若若 在单连域在单连域 D 内处处解析，内处处解析， 为为 的原函数，的原函数， )(zG)(zf)(zf P50定理定理 3.7 复积分的换元积分公式复积分的换元积分公式复积分的分部积分公式复积分的分部积分公式11110000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .zzzzzzzzf g z g z dzf g z d g zG g zG g z111000( )( ) ( ) ( )( ) ( ).zzzzzzf z g z dz

24、f z g zfz g z dz.sinsinab iz 10331.d102 izz例例 求求解解 izz102d.)1(313i bazsin .dcos bazz例例 求求 bazzdcos解解.dcos0 izzz例例 求求解解 izzz0dcos izz0sind iizzzz00dsinsinizzz0)cossin( .1cossin iii练习练习. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 使用使用“凑微凑微分分”. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利用分

25、部积分法可得 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 练习练习3.3 Cauchy积分公式积分公式 3.3.1 3.3.1 问题的提出问题的提出3.3.2 3.3.2 Cauchy积分公式积分公式3.3.3 3.3.3 高阶导数公式高阶导数公式实际问题：实际问题： 如果测得地球表面各点的温度，如果测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？能否测得地心的温度？如何测？寻求：由寻求：由D边界上的函数值导出边界上的函数值导出D内点内点的函数值的表达式的函数值的表达式.数学模型3.3.1 问题的提出问题的提出DC一、柯西积分公式一、柯西积分公式G Gd d

26、0z定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，)(zf在在D+ C 上连续，上连续，,0Dz 证明证明( (思路思路) )如图，以如图，以 为圆心，为圆心，d d 为半径作圆为半径作圆 G G，则，则0z,d)(21)(000 zzzzfizf左边左边,d)(21d)(2100 Czzzzfizzzzfi右边右边| 右边右边 左边左边 |则则,d| )()(|2100 szzzfzfz P52定理定理 3.8 ( (跳过跳过?)?)在在D+ C 上连续，上连续， 则则一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，Dd dG GC

27、0z)(zf,0Dz 证明证明( (思路思路) ),221 d d (当当 充分小时充分小时)d d| 右边右边 左边左边 |,d| )()(|2100 szzzfzf即只要即只要 d d 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与由于左边与右边均为常数，与 d d 无关，故等式成立。无关，故等式成立。z在边界在边界 C 上连续，上连续， 则则一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，Dd dG GC0z)(zf,0Dz 意义意义zz. )(,d)(21)(DzzfizfC 将将

28、 换成换成 ，积分变量，积分变量 换成换成 ，0zzz 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。特定的积分形式表达出来。 则上式变为则上式变为是多连域。是多连域。一、柯西积分公式一、柯西积分公式注意注意 柯西积分公式柯西积分公式中的区域中的区域 D 可以可以应用应用 Czzzzfizfd)(21)(00 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域比如对于二连域 D

29、,其边界为其边界为 ， 21CCC. )(,d)(21d)(2100021DzzzzzfizzzzfiCC zDC10z2C 反过来计算积分反过来计算积分. )(2d)(00zfizzzzfC 则则 P53推论推论 3.3 在在 上解析上解析1| z ,dcos CzzzI其中其中 C 为：为：例例 计算计算;1|:1 zC.1| 2|:2 zC(1)(2)C1C2210(1)解解 1dcosCzzzI( (柯西积分公式柯西积分公式) )0cos2 zzi.2 i (2) 2dcosCzzzI( (柯西积分定理柯西积分定理) ).0zzcos( (函数函数 在在 上解析上解析) )1| 2|

30、zC1C2令令解解,12)(2zzzzf 则则,)1(12)( zzzzf令令 C1：,31| z C2：,31| 1| z.4 i ,d122 CzzzzI其中其中 C 如图所示。如图所示。例例 计算计算C201 21d112d112)()(CCzzzzzzzz则则 21d)(d)(CCzzfzzfI( (复合闭路定理复合闭路定理) )101221122 zzzzizzi( (柯西积分公式柯西积分公式) )C20izzzi 292i 3 3解解.d)(92|2)( zzizzzI.5 试考虑积分路径为试考虑积分路径为 的情况的情况。4| z二、二、平均值公式平均值公式如果函数如果函数 在在

31、内解析，内解析，定理定理 ( (平均值公式平均值公式) )(zfRzz |0在在 上连续，上连续，Rzz |0.d)(21)(2000e iRzfzf xRy0zzC证明证明 由柯西积分公式有由柯西积分公式有.d)(21200e iRzf Rzzzzzzfizf|000d)(21)( iiiiRRRzfi200d)(21eee 则有则有 P53推论推论3.2 ( (连续函数的平均值连续函数的平均值) )3.3.3 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、高阶导数定理一、高阶导数定理二、二、柯西不等式柯西不等式三、三、刘维尔定理刘维尔定理一、高阶导数定理一、高阶导数定理分析分析则由则由柯西积分公

32、式柯西积分公式有有. )(,d)(21)(DzzfizfC z zz zz z又又,)()(dd21 zzzz zz z)1()( !1dd)( nnnznzzz zz z,)(2)(dd3122 zzzz zz z,)(!1 nznz z如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 一、高阶导数定理一、高阶导数定理. )(,d)()(2!)(1)(DzzfinzfCnn z zz zz z定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D 上解析上解析，)(zf

33、证明证明 ( (略略) )意义意义 解析函数的导数仍解析解析函数的导数仍解析。应用应用 推出一些理论结果。推出一些理论结果。 反过来计算积分反过来计算积分. )(!2d)()(0)(10zfnizzzzfnCn 且且 P55定理定理 3.9 ( (进入证明进入证明?)?)ii cos 099)(!992e zzi解解 1|3d)(cosizzizzizzi sco! 22. )(21ee i例例 计算计算.d1|100e zzzz解解 1|100dezzzz.!992 i .)()(22eizizz 22) 1()(e zzfz(1) 令令解解 .d)1(2|22e zzzzI例例 计算计算

34、212222)(d)()(d)(eeCzCzizzizizziz则则 21d)(d)(CCzzfzzfI( (复合闭路定理复合闭路定理) )C2C1C2 i i如图，作如图，作 C1 , C2两个小圆，两个小圆，记为记为.21II 解解 .d)1(2|22e zzzzI例例 计算计算C2C2 iC1 i(2) 1221)(d)(eCzizzizIizzizi e2)(! 12( (高阶导数公式高阶导数公式) ).)1(2eii .)1(2e2iiI 同样可求得同样可求得(3)21III ee)1()1(2iiii . )41sin(2i 二、二、柯西不等式柯西不等式定理定理 设函数设函数 在在

35、 内解析，且内解析，且 )(zfRzz |0,| )(|Mzf 则则,!| )(|0)(nnRMnzf . ),2,1( n( (柯西不等式柯西不等式) )证明证明,0:11RRR 函数函数 在在 上解析，上解析，)(zf10|Rzz ,d)()(2!)(10|100)( Rzznnzzzzfinzf. ),2,1( n 10|100)(d| )(|2!| )(|Rzznnszzzfnzf,!1nRMn 令令 即得即得,1RR ,!| )(|0)(nnRMnzf . ),2,1( n P57定理定理 3.10 三、三、刘维尔定理刘维尔定理定理定理 设函数设函数 在全平面上解析且有界，则在全平面

36、上解析且有界，则 为一常数。为一常数。)(zf)(zf设设 为平面上任意一点，为平面上任意一点，证明证明0z函数函数 在在 上解析，且上解析，且)(zfRzz |0,0 R,| )(|Mzf 根据根据柯西不等式柯西不等式有有,| )(|0RMzf 令令 即得即得,R,0)(0 zf由由 的任意性，知在全平面上有的任意性，知在全平面上有0z,0)( zf则则 为一常数。为一常数。)(zfP57 定理定理3.11复变函数的积分复变函数的积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分

37、公式高阶导数高阶导数公式公式Newton- -Leibniz公式公式本章内容总结本章内容总结1. Cauchy积分定理积分定理2. 复合闭路定理复合闭路定理 3. Cauchy积分公式与高阶导数公式积分公式与高阶导数公式本章的重点本章的重点4. 复变函数积分的计算复变函数积分的计算完了？谁完了？完了？谁完了？积分学，学完了积分学，学完了祝你下课！祝你下课！第三章第三章 完完George Green (1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家自学而成的英国数学家、物理学家. 出色地将出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题数学方法应用到电磁理论和其他数学物理

38、问题.1928年出版了出版了小册子年出版了出版了小册子数学分析在电磁数学分析在电磁学中的应用学中的应用, 其中有著名的其中有著名的Green公式公式.40岁进入剑桥大学学习岁进入剑桥大学学习, 1839年聘为剑桥大学年聘为剑桥大学教授教授. 他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派, 其其中包括中包括G. Stokes和和C. Maxwell.Isaac Newton (1642.12.25-1727.3.20) 伟大的英国物理学家和数学家伟大的英国物理学家和数学家. 1661年年, 进入剑桥大学三一学院学习进入剑桥大学三一学院学习. 大学毕业后大学毕业后, 在在1665和和1666年期间年期间, Newton 做了做了具有划时代意义的三项工作具有划时代意义的三项工作: 微积分、万有引力微积分、万有引力和光的分析和光的分析. 1687年发表年发表自然哲学之数学原理自然哲学之数学原