同角三角函数的基本关系

1、第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系 1.1.知识目标：知识目标：（1 1）掌握同角三角函数的基本关系；）掌握同角三角函数的基本关系； （2 2）能根据）能根据某角的一个三角函数值，求它的其余各三角某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；函数值；（3 3）利用同角三角函数关系式化简三角函数式；）利用同角三角函数关系式化简三角函数式；（4 4）利用同角三角函数关系式证明三角恒等式）利用同角三角函数关系式证明三角恒等式. .2.2.能力目标：能力目标：（1 1）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高分析，解决三角函数

2、问题的能力；于解题，提高分析，解决三角函数问题的能力；（2 2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（3 3）掌握恒等式证明的一般方法）掌握恒等式证明的一般方法. .3.3.情感目标：情感目标： 培养积极参与、大胆探索的精神；通过自主学习让学生培养积极参与、大胆探索的精神；通过自主学习让学生体验成就感体验成就感,培养学习数学的兴趣和信心培养学习数学的兴趣和信心.学习重点：学习重点：理解并掌握同角三角函数关系式理解并掌握同角三角函数关系式学习难点：学习难点：(

3、1)(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；值时正负号的选择；(2)(2)三角函数式的化简；三角函数式的化简；(3)(3)证明三角恒等式证明三角恒等式 气象学家洛伦兹气象学家洛伦兹19631963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风引起美国德克萨斯的一场龙卷风. .这就是理论界闻名的这就是理论界闻名的“蝴蝶效蝴蝶效应应”， 此效应本意是说事物初始条件的微弱变

4、化可能会引起结此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化果的巨大变化. .蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索. .从中我们还可从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点. .既然感觉既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角同一个角”的三

5、角函的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题课的课题同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系. .(1)(1)三角函数定义是什么？三角函数定义是什么？P(x,y)xyrosinyr cosxr tanyx (2)(2)三角函数在各象限的符号有什么特征？三角函数在各象限的符号有什么特征？ (3)(3)正弦、余弦、正切函数的值域各是什么？正弦、余弦、正切函数的值域各是什么？ sin coscos t ta an n + + O+ +O +O +复习回顾复习回顾-1,1,-1,1,R 22sin 90cos 90

6、? 22sin 30cos 30? 22sin 45cos 45? (1)sin30?cos30 tan30? sin60?cos60 tan60? (2)你发现了什你发现了什么规律？么规律？你能用代数式你能用代数式表示这个规律表示这个规律吗？吗？你能用语言你能用语言叙述这个规叙述这个规律吗？律吗？你能证明你能证明吗？吗？ 思考思考1 1 通过观察、探究、讨论你猜测到了什么结论？通过观察、探究、讨论你猜测到了什么结论？哇！这就哇！这就是基本关是基本关系系 根据三角函数定义，公式中的角有什么限制？根据三角函数定义，公式中的角有什么限制？（）R ()2k 怎么证明公式？怎么证明公式？22sinco

7、s1 sintancos 定义法定义法单位圆法单位圆法点击点击点击点击定义法定义法sinyr cosxr tanyx 所所以以，. .所所以以，222222222sincos1,sincos1sintan ,cossintan .cosyxyxrrryyrxxr 因为因为返回返回2222222,1,sincos1sintancossintancos当当 推推广广到到任任意意角角后后，在在单单位位圆圆中中，由由勾勾股股定定理理知知，也也就就是是说说仍仍成成立立，又又，所所以以，也也成成立立. .OMMPOPxyMPATATOMOA ,P x yMO1 yxAT单位圆法单位圆法返回返回特别提醒：特

8、别提醒：1 1、三个公式中一个平方关系，一个商数关系、三个公式中一个平方关系，一个商数关系. .要求记熟要求记熟. .2 2、同角的理解、同角的理解: :应突出应突出“同角同角”两字两字. .如：如： 22sin 4cos 41 ( () )22sin ()cos ()1( () )3 3、 2sin 2(sin ) 的简写形式，与的简写形式，与 不同不同. . 是是2sin 4 4、公式可以变形使用：、公式可以变形使用： 22sin1cos 22cos1sin sintancos c co os ssintan 哇！还有哇！还有变形！变形！ 31sin,costan .5例例 已已知知且且

9、在在第第三三象象限限，求求和和 解解因因为为所所以以因因为为 在在第第三三象象限限，所所以以，222222sincos1,cos1sin3161.cos0,5254cos1sin5sin353tan.cos544 特别注意：特别注意：利用平方关系求三角函数值时，利用平方关系求三角函数值时，应根据角应根据角 的终边所在象限确定的终边所在象限确定所求三角函数值的符号所求三角函数值的符号. 例例 已已知知求求和和122cos,sintan .13 解解因因为为且且所所以以 是是第第一一或或第第四四象象限限的的角角. .当当 是是第第一一象象限限角角时时，2212cos0,cos1,13sin0,12

10、5sin1cos1,1313sin5135tan.cos131212 当当 是是第第四四象象限限角角时时，22sin0,125sin1cos1,1313sin5135tan.cos131212 技巧方法：技巧方法：1.1.由已知条件得出角由已知条件得出角 的取值范围；的取值范围；2.2.如果范围包括不同的象限角，则需要根据如果范围包括不同的象限角，则需要根据角所在的不同象限进行讨论角所在的不同象限进行讨论. . 思考思考2 2 能否用正切值求正弦值和余弦值？能否用正切值求正弦值和余弦值？ 例例 已已知知求求和和3tan0 ,sincos .m m解解因因为为所所以以又又，所所以以所所以以222

11、22222222222sincos1,sin1cos.sinsin1costantancoscoscos111,1tan.coscos1cos.1tan cos2222tan0.1,11,1,1sincostan,1因因为为故故 终终边边不不在在 轴轴上上，所所以以当当 是是第第一一，四四象象限限角角；当当 是是第第二二，三三象象限限角角. .当当 是是第第一一，二二象象限限角角；当当 是是第第三三，四四象象限限角角. .mxm=mmmmm 特别注意：特别注意：在需要开方求任意角的三角函数值时，在需要开方求任意角的三角函数值时， 一定要注意符号的问题一定要注意符号的问题. .1.1.本题中体现

12、的思想方法有：本题中体现的思想方法有：（1 1）本题中运用了方程的思想方法；）本题中运用了方程的思想方法；（2 2）运用了分类讨论的思想方法）运用了分类讨论的思想方法. .2.2.本题的结论可以作为公式来应用：本题的结论可以作为公式来应用：在已知某角的正切值的条件下，在已知某角的正切值的条件下，求该角的正弦值和余弦值求该角的正弦值和余弦值. .技巧方法技巧方法例例 已已知知求求的的值值003sin4tan2,180270 ,.12cos 解解因因为为所所以以 是是第第三三象象限限角角故故原原式式0022180270 ,.cos0.11tan125.cos3tan3 52cos1522cos3

13、5252198 5.5252 例例 化化简简：2051cos 620 . 解解因因为为所所以以，原原式式= =0000000200cos620cos 360260cos260cos 18080cos80 ,1cos 80sin80 . 例例 化化简简：22sin1cos6.cos1sin sinsincos0,coscos2tan ,22;20,22;22tan ,22;2222解解因因为为所所以以原原式式当当当当当当，当当 kkkkkkkk kZ 例例 求求证证：cos1sin7.1sincos 22222cos1sin1sincos1sin11sincos1sincoscos1sincos

14、cos0.1sincos1sincoscos1sin.1sincos证证法法 所所以以 证证法法2 2左左边边= =右右边边所所以以2coscos1sin1sincos1sincos1sin1sin1sincos1sin.coscos1sin.1sincos 证证法法3 3因因为为= =，又又且且，将将上上式式等等号号两两边边同同除除以以，得得221sin1sin1sincos1sin0,cos0cos1sin1sincos.1sincos = 1.1.证明一个等式，通常可以证明等式两边的差为零；证明一个等式，通常可以证明等式两边的差为零；2.2.可以从等式的任意一边入手，证明它等于等式的另可以从等式的任意一边入手，证明它等于等式的另一边；一边；3.3.还可以转化为对另一个与其等价的等式的证明还可以转化为对另一个与其等价的等式的证明. .技巧方法：技巧方法：已已知知在在第第三三象象限限，求求61.cos,sin ,tan3. 32sin,tan.32 当当 为为第第一一象象限限时时，当当 为为第第二二象象限限时时，1cos,tan3.21cos,tan3.2 已已知知求求32.sin,cos ,tan .2 已已知知求求3.tan1.5,sin ,cos . 已已知知求求224.tan3