复变函数的映射

1、 从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、积分和级数分别探讨了解析函数的性质和应用积分和级数分别探讨了解析函数的性质和应用 . 在在这一章中，我们将从几何的角度对解析函数的性质这一章中，我们将从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论和应用进行讨论 .第七章第七章 共共 形形 映映 射射 在第一章中已经介绍过，一个复变函数在第一章中已经介绍过，一个复变函数 在几何上可以看作把在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集变到平面上的一个点集变到 w平平面上的一个点集的映射面上的一个点集的映射(或变换或变换). 对解析函数来说，对解析函数来说，由它所构成的变

2、换（简称解析变换）还需作进一步由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步的研究的研究 .)(zfw 共形映射之所以重要，原因在于它能把在比共形映射之所以重要，原因在于它能把在比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上进行讨论进行讨论 . 因此，在解决诸如流体力学、弹性力因此，在解决诸如流体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用. 在这一章中，我们先分析解析函数所构成映在这一章中，我们先分析解析函数所构成映射的特性，引出射的特性，引出共形映射共形映射这一重要概念这一重要概念 . 然后进然后进一步研

3、究分式线性函数和几个初等函数所构成的一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射共形映射.1 1、解析变换的保域性、解析变换的保域性2 2、解析变换的保角性、解析变换的保角性导数的几何意义导数的几何意义3、单叶解析变换的共形性、单叶解析变换的共形性1 1 解析变换的特性解析变换的特性内内解解析析在在区区域域设设Dzfw)( 1 . 7定定理理,且不恒为常数且不恒为常数.)(也是一个区域也是一个区域的像的像则则DfGD 证：证：是是开开集集先先证证 G. )(的点都是其内点的点都是其内点即证即证G,0Dz 设设有有一一点点00)(wzf 使使,0的的内内点点为为Gw,0充充分分接接近近时时

4、与与只只须须证证明明ww 1 1、解析变换的保域性、解析变换的保域性 要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复平面上的一个点集平面上的一个点集(曲线或区域曲线或区域)与它的像集之间的对与它的像集之间的对应关系应关系.)(保域定理保域定理),(DfG 要证要证性性，由由解解析析函函数数零零点点的的孤孤立立为心的某为心的某必有以必有以0z,C个圆周个圆周,DCC的内部全含于的内部全含于及及在在使使得得0)(wzf 的内部的内部上及上及 CC)(0外外除除 z.均不为零均不为零上上因而在因而在 C.0|)(|0 wzf内的任意内的任意对在邻域对在邻域 |0ww

5、 w点点 |)(|0wzf|0 ww, 0 .)(内内有有解解在在 Dzfw 为此，为此， 考察考察 wzf)()(zf,Gw 也属于也属于 即须证明，即须证明，,0充分接近时充分接近时与与当当ww 方程方程00ww , w有有上的点上的点及在及在zC与与0)(wzf ,有相同的零点个数有相同的零点个数)(zfw 于于是是，因因此此由由儒儒歇歇定定理理知知的的内内部部在在 C wzf)( wwwzf00)(,内有解内有解在在 D0|)(|00 wwwzf .为为开开集集从从而而G其次，其次，要证明要证明 中任意两点中任意两点G),(11zfw 2w)(2zf均可以用一条完全含于均可以用一条完全

6、含于 的折线联结起来的折线联结起来.G由于由于 是区域，是区域，D可在可在 内取一条联结内取一条联结 的折线的折线D21,zz).)(,)(,()(:221121ztzztzttttzzC 于是，于是，2 . 7推推论论，内内单单叶叶解解析析在在区区域域设设Dzfw)( 的像的像则则 D.)(也是一个区域也是一个区域DfG 因因 f(z)不为常数不为常数因此，因此，.)(是区域是区域DfG )()(:21ttttzfw 就是联结就是联结 的并且的并且21ww、完全含于完全含于 的一条曲线的一条曲线.G从而，从而，仿照柯西积分定理仿照柯西积分定理的古萨证明的第三步，的古萨证明的第三步， 可以找到

7、一条联结可以找到一条联结,21ww、内接于内接于 且完全含于且完全含于 的折线的折线 , G1 于是于是 是连通的是连通的.G下下面面的的定定理理表表明明，.性性解解析析函函数数具具有有局局部部单单叶叶3 . 7定定理理,)(0解析解析在点在点若函数若函数zzfw ,0)(0 zf且且.)(0的一个邻域内单叶解析的一个邻域内单叶解析在在则则zzf.但但其其逆逆未未必必成成立立平面平面在在函数函数zezfz )(,例例如如zezf )(上上.)(平平面面不不是是单单叶叶的的在在但但zezfz :11. 6在在上上一一章章中中曾曾证证明明定定理理在在若若函函数数)(zf，内单叶解析内单叶解析区域区

8、域 D.0)( zfD内内则则在在 符合定理条件的解析函数符合定理条件的解析函数w = f (z)将将z0的一个的一个充分小邻域变成充分小邻域变成w0 =f ( (z0) )的一个曲边邻域的一个曲边邻域. .内内单单叶叶解解析析为为一一实实数数在在区区域域)(2Imaazaewz , 0 ,)(内解析内解析于区域于区域设设Dzfw ,0Dz 有有在在点点0z.0)(0 zf导导数数线线任任意意引引一一条条有有向向光光滑滑曲曲过过0z)(tzz )(10ttt :C如果如果规定规定: : tpp正正向向对对应应于于割割线线0 , 增增大大的的方方向向,)()(00同同向向与与ttzttz yx0

9、C.)(0tz.0pp)(0ttz , )( 00tzz .0)(0 tz且且正向正向: t 增大的方向增大的方向;那么那么2 2、解析变换的保角性、解析变换的保角性导数的几何意义导数的几何意义 在数学分析中在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量我们知道，导数用来刻画因变量相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何意义意义. . 那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的关系呢？又有什么样的几何意义呢？关系呢？又有什么样的几何意义呢？.增增大大的的方方向向一一致致与与即即ttz PP0)()()(lim0000t

10、zttzttzt 当当 p, 0时时ppp0处切线处切线上上 0pC方向与方向与 C 一致一致.C.0pp)(0tz)(0ttz )(0tz yx0C沿沿，有有切切线线在在从从而而0zC)(0tz ，就是切向量就是切向量它的倾角为它的倾角为. )(arg0tz C.0zyx0)(0tz )(arg0tz 正正向向之之间间与与相相交交于于一一点点的的两两条条曲曲线线21 CC向向在在交交点点处处的的两两条条切切线线正正与与就就是是21 CC,的夹角的夹角之间的夹角之间的夹角. .),(:11tzzC ; )(:22tzzC ：设设1C2C)(arg)(arg0102tztz .0z).()(02

11、010tztzz )(arg01tz )(arg02tz )(tzfw , )(10ttt : C0z.yx0z)(0tz vu00w. )(zfw ,)(zfw 经经过过变变换换的的参参数数方方程程为为曲曲线线的的像像 Cw,)(00的的邻邻域域内内是是光光滑滑的的在在点点由由于于tww 0)()(0tttwtw , 0 ,)( 00处处也也有有切切线线上上点点故故zfw )()(00tzzf 且且,)(0就就是是切切向向量量tw )(0tw )(arg0tw 其倾角为其倾角为 即即),(arg0zf ),(arg)(arg)(arg000tztwzf 或或处处切切线线的的倾倾角角在在0w

12、处处切切线线的的倾倾角角在在0zC的的转转动动角角后后在在经经变变换换原原曲曲线线定定义义为为0)(:zzfwC , )(arg)(arg00zftz vu00w. w)(0tw )(arg0tw )()()()(0000tzzftwtwtt 导数辐角的几何意义导数辐角的几何意义. .平平面面叠叠放放在在一一起起，平平面面和和若若将将wz与与使点使点0z，重合重合点点0w,轴轴平平行行轴轴与与 ux的切线与的切线与在点在点则则0zC.)(arg00zfw 的的切切线线所所夹夹的的角角就就是是在在点点 因此可因此可转转着着点点的的切切线线通通过过变变换换以以后后绕绕在在以以认认为为曲曲线线00z

13、zC，动了一个角度动了一个角度)(arg0zf 0)(zzfw在在它它称称为为变变换换 .点点的的旋旋转转角角.意意义义这这就就是是导导数数辐辐角角的的几几何何)(arg0zf 由此可知，由此可知，的切线的的切线的在点在点像曲线像曲线)(00zfw 方向，方向，切线正向旋转一个角切线正向旋转一个角在点在点可由原像曲线可由原像曲线0zC.)(arg0得出得出zf . )()(arg00无无关关与与有有关关仅仅与与Czzf 2 1 1C说明说明: 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线 C 的形状无关的形状无关.映射映射 w = f(z) 具有转动角的不变性具有转动角的不变性.0w映射映

14、射经经)(zfw 1C1 )(arg0zf 2C2 2C0z.)(arg)(arg)(arg02020tztwzf )(arg)(arg)(arg000tztwzf )(arg)(arg0101tztw 则有则有)(arg)(arg)(rg)(arg01020102tztztwatw 的的夹夹角角在在与与 021w 的的夹夹角角在在与与 021zCC结论结论:)(zfw 的夹角的夹角. 2121之之间间的的夹夹角角与与对对应应的的曲曲线线与与映映射射后后跟跟 CC方向不变的性质方向不变的性质, 此性质称为此性质称为保角性保角性. 的的大大小小和和具具有有保保持持两两曲曲线线间间夹夹角角映映射射

15、 )( zfw 之间之间与与的任意两条曲线的任意两条曲线相交于点相交于点210 CCz在其大小和方向上都等同于经过在其大小和方向上都等同于经过的的几几何何意意义义下下面面研研究究)( 0zf 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因为为,0 irezz 令令 Cvu0yx0s )(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww wz0000)()(zzwwzzzfzf iiree s )(0zf所以所以)(0lim izzerss ,)( iers的伸的伸受到变换后在受到变换后在可看作是曲线可看作是曲线00| )(|zCzf .张系数张

16、系数的每个方向上都是一的每个方向上都是一这个伸张系数在过这个伸张系数在过0z.样的样的，时时当当1| )(|0 zf出出发发的的任任意意无无穷穷小小距距从从0z,离离;映射后都被伸长了映射后都被伸长了，时时当当1| )(|0 zf出出从从0z,发发的的无无穷穷小小距距离离.映射以后则被压缩了映射以后则被压缩了 ieRzf )( 0设设 Cvu0yx0s )(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.wz,0 irezz 令令.0 ieww .R szz 0lim zw 因此因此: 的的后后通通过过点点是是经经过过映映射射 )( )(00zzfwzf , 0的的伸伸缩缩率率在在的的任任何

17、何曲曲线线zC方向无关方向无关. 的的在在称称为为曲曲线线 0zC,可可知知从从上上述述导导数数的的几几何何意意义义把把映映射射)(zfw 的的成成一一个个和和原原来来大大致致一一样样附附近近的的一一个个几几何何图图形形变变0z.图图形形 例如，例如，把把一一个个半半径径充充分分小小的的圆圆映映射射)(zfw :周周|:|00wwwrzz 平平面面上上的的圆圆周周近近似似地地变变成成.| )(|0rzf zwzfz 00lim| )(|的的形形状状及及它它与与曲曲线线 C 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.伸缩率伸缩率1例例处的处的在点在点试求变换试求变换izz

18、zzfw 14)(2,旋转角旋转角平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大？并并说说明明它它将将 z哪一哪一?部分缩小部分缩小解解, 42)( zzf因因izzf 1)(arg,4 ,1处处故故在在iz izz 1)42arg()1(2argi 旋转角旋转角)(zf 伸伸缩缩率率, 1)( zf当当,)2(222yx iyxz 设设,21,2的圆内缩小的圆内缩小半径为半径为为中心为中心故在以故在以 z,41)2(22时时即即 yx反之放大反之放大.21,2的圆外放大的圆外放大半径为半径为为中心为中心以以 z,缩缩小小42)( zzf通过以上分析通过以上分析, 有有1 . 7定定义义的的邻邻域域内内

19、有有定定义义，在在点点若若函函数数0)(zzfw 具具有有：且且在在0z；伸缩率不变性伸缩率不变性下，下，变换变换的任意两曲线的夹角在的任意两曲线的夹角在过过)(0zfwz )1() 2(,既保持大小既保持大小,有保持方向有保持方向在在点点则则称称函函数数)(zfw )(zfw 或或称称.保角变换保角变换内内处处在在区区域域如如果果Dzfw)( 处都是保角的，处都是保角的， 则则称称在在或或称称)(zfw .0处是保角变换处是保角变换在点在点 z，是保角的是保角的0z内内是是保保角角的的，在在区区域域 Dzfw)( 内是内是区域区域 D例例. 所构成的变换所构成的变换考察考察zw 解解对于复平

20、面上的任意一点对于复平面上的任意一点D，有，有|lim000zzwwzz |lim000zzzzzz 1 （极限存在）（极限存在）; 具有伸缩率不变性具有伸缩率不变性因此变换因此变换zw 定义定义7.1 对于定义在对于定义在D内的变换内的变换w=f(z), , 如果它在如果它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称w=f(z)是是第一类保角变换；第一类保角变换；如果它在如果它在D内任意一点内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称变，则称w=f(z)是是第二类保角变换第二类保角变换. .

21、，是关于实轴对称的变换是关于实轴对称的变换又由于又由于 zw 因因此此它它使使得得.方方向向相相反反曲曲线线的的交交角角大大小小不不变变但但xyozz根据定义知，根据定义知，是第是第函数函数 zw .二类保角变换二类保角变换4 . 7定定理理内内解解析析，在在区区域域如如果果Dzfw)( 则它在导数则它在导数.不不为为零零的的点点处处是是保保角角的的5 . 7推推论论，内内单单叶叶解解析析在在区区域域若若Dzfw)( )(zfw 则则.内内是是保保角角的的在在 D需要特别指出的是，需要特别指出的是，0)(0 zf是必要的，是必要的，否则否则保角性将不成立保角性将不成立. 2例例, 0 213处

22、的导数值处的导数值与与在在求函数求函数 zizzw并说并说.明其几何意义明其几何意义解解, )( 3的的在整个复平面上是解析在整个复平面上是解析函数函数zzfw 3)(zzfw 其导数为其导数为,3)(2zzf )1(, 1iz 对对3)( ifie 3 , 0 处处具具有有保保角角性性和和伸伸缩缩率率在在因因此此变变换换 13izzw 不变性，不变性，其伸缩率为其伸缩率为 ，3 旋转角为旋转角为. )2(, 0 2 z对对, 0)0( f处处不不具具在在变变换换 0 23 zzw.有保角性有保角性xyo 1C2Cuvo1 2 33例例试证：试证：与与将将互互相相正正交交的的直直线线族族1Ce

23、zRewiz 12tanImCuvCz 线线族族依依次次变变为为互互相相正正交交的的直直.2222Cevu 与圆周族与圆周族证：证：正交直线族正交直线族1CezR 2ImCz 与与在变换在变换izew 之下，之下， 有有izewivu 即即有有像像曲曲线线族族,2222Cevu 与与,1221)(iCCiCCieee 即即,2222Cevu ,tan1Cuv ,arctan1Cuv 且且处处解析处处解析平面上平面上由于在由于在,izewz iziedzdw 平平面面上上圆圆周周族族因因此此在在 w2222Cevu 与直线族与直线族1tanCuv .也也是是互互相相正正交交的的，0 单单叶叶且且

24、保保角角的的，,共形的共形的2 . 7定义定义内内是是在在区区域域如如果果Dzfw)( 内内是是在在则则称称此此变变换换Dzfw)( 内内也也称称它它为为 D的的注注：,0)()(00 zfzzfw有有在在解解析析点点若若解解析析函函数数连连续续性性知知，则则由由)(zf ,0)(0 zfz 的邻域内必有的邻域内必有在点在点，保保角角在在点点于于是是0)(zzfw 的邻域内单叶的邻域内单叶因而在因而在0z，保角保角；共共形形局局部部的的邻邻域域内内从从而而在在)(0zD若若在在区区域域.共形映射共形映射3 3、单叶解析变换的共形性、单叶解析变换的共形性共共形形，整整体体内内)()(zfw )(

25、局局部部内内处处处处必必然然在在 D,共形共形.反反之之则则未未必必成成立立4例例的的保保角角性性和和为为正正整整数数讨讨论论解解析析函函数数)(nzwn .共形性共形性解：解： )1(因为因为1 nnzdzdw0 , )0( z所以，所以，,0外外平面上除原点平面上除原点在在 zzzwn.处处处处都都是是保保角角的的)2(,原原点点的的单单叶叶性性区区域域是是顶顶点点在在由由于于nzw 张度张度.2的角形区域的角形区域不超过不超过n nzw 故在此角形区域内故在此角形区域内.是共形的是共形的,2的角形区域内的角形区域内在张度超过在张度超过n 则不是则不是,共形的共形的.是是共共形形的的但但在

26、在其其中中各各点点的的邻邻域域内内6 . 7定定理理,)(内内单单叶叶解解析析在在区区域域设设Dzfw 则则)1(. )()(DfGDzfw 共共形形映映射射成成区区域域将将)2(内单叶解析，内单叶解析，在区域在区域反函数反函数Gwfz)(1 且且)(1)(001zfwf ).)(,(000GzfwDz 证：证：)2(,)(内单叶解析内单叶解析在在由于由于Dzf,0Dz 故故.0)(0 zf,)(的的单单叶叶满满变变换换到到是是又又因因GDzfw 于是，于是，时时，当当0ww ,0zz 在在即即反反函函数数)(1wfz .内单叶内单叶区域区域 G故故0011)()(wwwfwf .100zzww 内内解解析析，在在区区域域由由于于Dyxivyxuzf),(),()( :方方程程内内满满足足故故在在RCD ,yxvu 00wwzz .xyvu yxyxvvuu故故xxxxuvvu 22xvux 2|xxivu 2| )(|zf . 0 ，内内即即在在该该邻邻域域)(0wN由由隐隐函函数数存存在在定定理理知知，存存在在两两个个函函数数),(, ),(vuyyvuxx .)(0000内连续内连续及其某一邻域及其某一邻域在点在点wNivuw ,0