二次函数(1)——由动点生成的特殊三角形问题

1、抛物线与直线形（1）知识点归纳知识点归纳抛物线与直线形的结合表现形式之一是， 以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。经典例题经典例题【例【例 1 1】如图，抛物线y ax 5ax 4经过abc的三个顶点，已知bcx轴，点a在2x轴上，点c在y轴上，且ac bc（1）求抛物线的对称轴；（2）写出a,b,c三点的坐标并求抛物线的解析式；（3） 探究： 若点p是抛物线对称轴上且在x

2、轴下方的动点， 是否存在pab是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点p坐标；不存在，请说明理由（龙岩市中考题）思路点拨思路点拨对于（3）只需求出p点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。【例【例 2 2】已知抛物线ykx2kx3k，交x轴于a,b两点（a在b的左边） ，交y轴于2c点，且y有最大值4（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点p，使pbc是直角三角形？若存在，求出p点坐标；若不存在，说明理由（包头市中考题）思路点拨思路点拨对于（2） ，设p点坐标为a,b，寻找相似三角形，建立a、b的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出a、b的值。【例【

3、例 3 3】抛物线y 1x 123与y轴交于点a，顶点为b，对称轴bc与x轴交于点4c（1）如图1求点a的坐标及线段 oc 的长；（2）点p在抛物线上，直线pqbc交x轴于点q，连接bq若含45角的直角三角板如图2所示放置其中，一个顶点与点c重合，直角顶点d在bq上，另一个顶点 e 在pq上求直线bq的函数解析式；若含30角的直角三角板一个顶点与点c重合， 直角顶点d在直线bq上， 另一个顶点e在pq上，求点p的坐标（2011 年绍兴市中考题）思路点拨思路点拨对于（2） ，解题的关键是求出cq的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现c、d、q、e四点共圆，可使问题获得简解。【例【

4、例 4 4】如图1，抛物线y ax bx ca 0的顶点为c1,4，交x轴于a,b两点，交2y轴于点d，其中点b的坐标为3,0（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点a的直线与抛物线交于点e，交y轴于点f，其中点e的横坐标为 2，若直线pq为抛物线的对称轴，点g为直线pq上的一动点，则x轴上是否存在一点h，使d,g,h,f四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点g,h的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点t， 过点t作x轴的垂线， 垂足为点m，过点m作mnbd，交线段ad于点n，连接md，使dnm bmd？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由

5、（2011 深圳市中考题）思路点拨思路点拨对于（2） ，因df是一个定值，故需使dggh hf最小即可，从轴对称入手； 对于 （3） 由题意知nmd bdm， 要使dnm bmd， 只要使即md nm bd；或从角入手得到隐含的相似三角形。2nmmd，mdbd同步训练同步训练1. 如图1，已知抛物线的顶点为a2,1，且经过原点 o，与x轴的另一个交点为b（1）求抛物线的解析式；（2）若点c在抛物线的对称轴上，点d在抛物线上，且以o,c,d,b四点为顶点的四边形为平行四边形，求d点的坐标；（3）连接oa, ab，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点p，使得obp与oab相似？若存在，求出p点的

6、坐标；若不存在，说明理由（临沂市中考题）2. 如图，已知抛物线与x轴交于a1,0,b3.0两点，与y轴交于点c0,3（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为d，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点p，使得pdc是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点m是抛物线上一点，以b,c,d,m为顶点的四边形是直角梯形，试求出点m的坐标（临沂市中考题）3. 在平面直角坐标系中， 现将一块等腰直角三角板abc放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，点c1,0如图所示，b点在抛物线y 垂足为d，且b点横坐标为3（1）求证：bdc coa；（2）求bc所在直线的函数关系式；

7、（3） 抛物线的对称轴上是否存在点p， 使acp是以ac为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由（2011 年西宁市中考题）121x x 2图象上，过点b作bd x轴，224. 已知抛物线y ax bx c的对称轴为直线x 2，且与x轴交于a,b两点，与y轴2交于点c，其中a1,0,c0,3（1）求抛物线的解析式；（2）若点p在抛物线上运动（点p异于点a） 如图 1当pbc面积与abc面积相等时求点p的坐标；如图 2当pcb bca时，求直线cp的解析式（2011 年莆田市中考题）25. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线y ax bx 3与x轴 的 两 个 交 点 分 别 为a3,0,b1,0，过顶点c作ch x轴于点h（1）直接填写：a ，b ，顶点c的坐标为；（2）在y轴上是否存在点d