二次函数y=ab+c的图像及性质

1、二二次次函函数数y ax2 bx c的的图图象象【教学目标】【教学目标】1、会用描点法画出二次函数2、能结合图象确定抛物线3、通过比较抛物线、与的图象；的对称轴与顶点坐标；与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】【教学难点】理解函数【知识点梳理】【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：知识点一、二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c(a0，a，b，c 为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中 a为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项

2、.知识点二、二次函数的图象及画法知识点二、二次函数的图象及画法二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是 y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数 a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与 y 轴的交点.2. 用平移法画图象、与及其图象间的相互关系由于 a 相同的抛物线 y=ax2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到 a

3、值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数知识点三、二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a 0)0)的图象与性质的图象与性质1.1.函数函数 y=axy=ax2 2(a(a 0)0)的图象与性质：的图象与性质：a 的符函数号图象开口方向顶点坐标轴对称增减性最大(小)值x0 时，y 随 xy=axa02当 x=0 时，y最小=0增大而增大向上(0，0)y 轴x0 时，y 随 x当 x=0 时

4、，y最大=0y=axa02增大而减小向下(0，0)y 轴x0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0 时，y最小=c(2)当 a0图象a0 时，抛物线开口向上，并向上无限(1)当 a0 时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点性质(2)在对称轴直线是它的最低点.延伸，顶点是它的最高点.的左侧，抛物线自(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.知识点四、抛物线知识点四、抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 中中 a a、b b、c c 的作用的作用a，b

5、，c 的代数式作用1. 决定抛物线的开口方向；a2. 决定增减性a0图象的特征开口向上c0决定抛物线与 y 轴交点的位置，c交点坐标为(0，c)c0决定对称轴的位置，对称轴是直线ab0b2-4ac决定抛物线与 x 轴公共点的个数b2-4ac=0b2-4ac0c=0交点在 x 轴上方抛物线过原点交点在 x 轴下方对称轴在 y 轴左侧对称轴在 y 轴右侧抛物线与 x 轴有两个交点顶点在 x 轴上抛物线与 x 轴无公共点题型一：题型一：y ax k的图象和性质的图象和性质2例 1、一条抛物线的开口方向、 对称轴与y 求这条抛物线的函数关系式12，x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1）2例

6、 2 、?在同一平面直角坐标系画出函数由图象思考下列问题：（1）抛物线（2）抛物线（3）抛物线（4）抛物线2、的图象.的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？，与与同的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？有什么关系？例 3、已知二次函数y 8x (k 1)x k 7，当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？写出其函数关系式变式训练：变式训练：1、已知函数y 1211x，y x23，y x2 2333（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；12x 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标3122、不画图象，说出函数y x 3的

7、开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数41y x2通过怎样的平移得到的4（3）试说出函数y 3、若二次函数y ax 2的图象经过点 （-2，10），求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？2题型二：题型二：y a(x h)的图象和性质的图象和性质2例 1、不画出图象，你能说明抛物线y 3x与y 3(x 2)之间的关系吗?例 2、已知函数y 221211x，y (x 1)2，y (x 1)2222（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质例 3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y

8、 12x得到抛物线211y (x 1)2和y (x 1)2？22变式训练：变式训练：1、函数y 3(x 1)，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x时，函数取得最值，最值 y=2、不画出图象，请你说明抛物线y 5x与y 5(x 4)之间的关系3、将抛物线y ax向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a的值2222题型三：题型三：y a(x h)+k 的图象和性质的图象和性质2例1、把抛物线y x bx c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y x，求b、c 的值例 2、把抛物线y 2232x向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，

9、所得的抛物线的函数关系式2为例 3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象y 3x2，y 3(x 2)2，y 3(x 2)21，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标变式训练：变式训练：1、抛物线y 1 2x 个单位而得到2、将抛物线y x 2x 5先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式3、将抛物线y 2121x可由抛物线y x2向平移个单位，再向平移221231x x 如何平移，可得到抛物线y x2 2x 3？222224、抛物线y 3x bx c是由抛物线y 3x bx 1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求 b、c 的值题型四、题型四、y

10、ax bx c的图象和性质的图象和性质2例 1、通过配方，确定抛物线y 2x 4x 6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图例 2、已知抛物线y x (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，求a的值例 3、已知抛物线y 22125x 3x ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象222例 4、利用配方法，把下列函数写成y a(x h)+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）y x 6x 1（2）y 2x 3x 4（3）y x nx（4）y x px q变式训练：变式训练：1、（1）二次函数y x 2x的对称轴是（2）二次函数y 2x 2x 1的图象的顶点是，当 x时，y

11、 随 x 的增大而减小（3）抛物线y ax 4x 6的顶点横坐标是-2，则a=2、抛物线y ax 2x c的顶点是( ,1)，则a、c 的值是多少？3、已知y (k 2)xk222222222132k6是二次函数，且当x 0时，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴4、当a 0时，求抛物线y x 2ax 1 2a的顶点所在的象限5、已知抛物线y x 4x h的顶点 a 在直线y 4x 1上，求抛物线的顶点坐标222题型五、题型五、y ax bx c的最大或最小值的最大或最小值2例 1、求下列函数的最大值或最小值：（1）y 2x 3x 5；（2）y x 3

12、x 4例 2、某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表：x（元）y（件）13070150501653522若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例 3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 2 件（1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最

13、多？变式训练：变式训练：1、对于二次函数y x 2x m，当 x=时，y 有最小值2、已知二次函数y a(x 1) b有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是（）aabba=bcabd不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）y x 2x； （2）y 2x 2x 14、已知二次函数y x 6x m的最小值为 1，求 m 的值，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分） 之间满足函数关系：y 0.1x 2.6x 43(0 x 30)y 值越大，表示接受能力越强（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2

14、）第 10 分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度a 为 10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽ab 为 x m，面积为 s m2（1）求 s 与 x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，ab 的长是多少米？（3）能围成面积比 45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由222222题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例 1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图2629 所示，现测得水面宽16

15、m，涵洞顶点 o 到水面的距离为 24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物 线 的函数关系式是什么？例 2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点a（0，-1）、b（1，0）、c（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与 x 轴交于点 m（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4例 3、已知二次函数y x bx c的图象经过点 a（-1，12）、b（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把 （1）所

16、得的函数关系式化成y a(x h) k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴例 4、已知二次函数的图象与一次函数y 4x 8的图象有两个公共点 p（2，m）、q（n，-8），如果抛物线的对称轴是 x= -1，求该二次函数的关系式变式训练：变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与 x 轴交于点 m（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）2、二次函数图象的对称轴是 x=-1，与 y 轴交点的纵坐标是6，且经过点（2，10），求此二次函数

17、的关系式3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 ab=4m，顶部 c 离地面高度为44m现有 一辆满 载货 物的汽 车欲 通过 大门， 货物顶 部距 地面 28m，装货 宽度 为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门224、已知二次函数y ax bx c，当 x=3 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式5、抛物线y x 2mx n过点（2，4），且其顶点在直线y 2x 1上，求此二次函数的关系式【随堂练习】1、二次函数 y=ax2bx2c 的图象如图所示，则a0，b0，c0（填“”或“”）2、二次函数 y=ax2bxc 与一次

18、函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）3、在同一坐标系中，函数y=ax2bx 与 y=22b的图象大致是图中的（）x4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=00225x209x10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2（ac）xc 与一次函数 y=axc 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）6、抛物线 y=ax2bxc 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是7、已知二次函数 y=（m2）x2（m3）xm2 的图象过点（

19、0，5）（1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴8、 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3 元，售价是 410 万件为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金元，年销 售量为做广告 根据经x27验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y=x10107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费10（1） 试写出年利润 s （万元） 与广告费 x （万元） 的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出 3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6

20、 个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目每股（万元）a5b2c6d4e6f805收益（万元）5如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于16 万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目9、已知抛物线 y=a（xt1）2t2（a，t 是常数，a0，t0）的顶点是 a，抛物线 y=x22x1的顶点是 b（如图）（1）判断点 a 是否在抛物线 y=x22x1 上，为什么？（2）如果抛物线y=a（xt1）2t2经过点 b求a 的值；这条线与 x 轴的两个交点和它的顶点a 能否成直角三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由抛物的040605091

21、410、 如图，e、f 分别是边长为4 的正方形 abcd 的边 bc、cd 上的点，ce=1，cf=，直线 fe3交 ab 的延长线于g，过线段fg 上的一个动点h，作 hmag 于 m设 hm=x，矩形 amhn的面积为 y（1）求 y 与 x 之间的函数表达式，（2）当 x 为何值时，矩形 amhn 的面积最大，最大面积是多少？11、已知点 a（1，1）在抛物线 y=（k21）x22（k2）x1 上（1）求抛物线的对称轴； （2）若点 b 与 a 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点 b 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由12、如图，a、b 是直线

22、上的两点，ab=4cm，过外一点 c 作 cd，射线 bc 与所成的锐角1=60，线段 bc=2cm，动点 p、q 分别从 b、c 同时出发，p 以每秒 1cm 的速度，沿由 b 向 c的方向运动；q 以每秒 2cm 的速度，沿由 c 向 d 的方向运动设 p、q 运动的时间为 t 秒，当 t2 时，pa 交 cd 于 e（1）用含 t 的代数式分别表示 ce 和 qe 的长；（2）求apq 的面积 s与 t 的函数表达式；（3）当 qe 恰好平分apq 的面积时，qe 的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm 的正方形 abcd 和等腰三角形 pqr，pq=pr=5cm，pr=8cm

23、，点b、c、q、r在同一直线上当cq两点重合时，等腰pqr以1cm/秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形 abcd 与等腰pqr 重合部分的面积为 scm2解答下列问题：（1）当 t=3 秒时，求 s 的值；（2）当 t=5 秒时，求 s 的值；14、如图 2-4-16 所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子oa，o恰在圆形水面中心，oa=125米由柱子顶端a处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高oa距离为1米处达到距水面最大高度 225 米（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少

24、要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2） 若水池喷出的抛物线形状如 （1） 相同，水池的半径为35 米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到 01 米，提示：可建立如下坐标系：以 oa 所在的直线为 y 轴，过点 o 垂直于 oa 的直线为 x 轴，点 o 为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40 只，且每日生产的产品全部售出已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 r（元），每只售价为p（元），且r，p 与 x 的表达式分别为 r=50030 x，p=1702x（1）当日产量为多少时，每日获利为1750 元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大

25、利润是多少？16、阅读材料，解答问题当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化例如 y=x22mxm22m1，有 y=（xm）22m1，抛物线的顶点坐标x m，为（m，2m1），即y 2m1当 m 的值变化时，x、y 的值也随之变化，因而y 值也随 x 值的变化而变化把代入，得 y=2x1可见，不论 m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标 x 都满足表达式 y=2x1解答问题：（1）在上述过程中，由到所学的数学方法是，其中运用了公式，由、到所用到的数学方法是（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x22mx2m23m1 顶点的纵坐标

26、y 与横坐标 x 之间的表达式【家庭作业】1抛物线 y=2x26x1 的顶点坐标为，对称轴为2如图，若 a0，b0，c0，则抛物线 y=ax2bxc 的大致图象为（）1523已知二次函数 y=x x6，当 x=时，y最小=；当 x时，y 随42x 的增大而减小4抛物线 y=2x2向左平移 1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为5二次函数 y=ax2bxc 的图象如图所示，则 ac0（填“”、“”或“=”）。116已知点（1，y1）、（3，y2）、（，y3）在函数y=3x26x1222的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是（）ay1y2y3by2y1y3cy2y3y1dy3y1y27二次函数 y=x2bxc 的图象的最高点是（1，3），则 b、c 的值是（）ab=2，c=4bb=2，c=4cb=2，c=4db=2，c=48如图，坐标系中抛物线是函数 y=ax2bxc 的图象，则下列式子能成立的是（）aabc0babc0cbacd2c3b9函数 y=ax2bxc 和 y=axb 在同一坐标系中，如图所示，