二次函数公式(精华)

1、.二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总1. 1.定义：一般地，如果定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，是常数，a 0)，那么，那么y叫做叫做x的二次函数的二次函数. .2. 2.二次函数二次函数y ax2的性质的性质(1)(1)抛物线抛物线y ax2（a 0）的顶点是坐标原点，对称轴是的顶点是坐标原点，对称轴是y轴轴.(2).(2)函数函数y ax2的图像与的图像与a的符号关的符号关系系. .当当a 0时时抛物线开口向上抛物线开口向上顶点为其最低点；顶点为其最低点； 当当a 0时时抛物线开口向下抛物线开口向下顶点为顶点为其最高点其最高点3. 3.二次函数二次函数y ax2 bx

2、 c的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于( (包括重合包括重合) )y轴的抛物线轴的抛物线. .224. 4. 二二 次次 函函 数数y ax bx c用用 配配 方方 法法 可可 化化 成成 ：y ax h k的的 形形 式式 ， 其其 中中b4 ac b2h ， k 2 a4 a. .225. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k；y ax h；y ax h k；y ax2 bx c. .6. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. .a决定抛物线的开口方向：决定抛

3、物线的开口方向：当当a 0时，开口向上；当时，开口向上；当a 0时，开口向下；时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同相等，抛物线的开口大小、形状相同. .平行于平行于y轴轴( (或重合或重合) )的直线记作的直线记作x h. .特别地，特别地，y轴记作直线轴记作直线x 0. .7. 7.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置. .几个不同的二次函数，如果二次项系数几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. .8. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点

4、、对称轴的方法b 4acb2b 4acb2（，），对称轴是直线，对称轴是直线(1)(1)公式法：公式法：y ax bxc ax ，顶点是，顶点是2a4a2a4abx. .2a2(2)(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为的形式，得到顶点为 ( (h, ,k) )，对称轴是，对称轴是x h. .(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点直平分线是抛物

5、线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. .用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失229. 9.抛物线抛物线y ax2 bx c中，中，a,b,c的作用的作用(1)(1)a决定开口方向及开口大小，这与决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的中的a完全一样完全一样. .(2)(2)b和和a共同决定抛物线对称轴的位置共同决定抛物线对称轴的位置 . .由于抛物线由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是直线x b, ,故：故：2ab 0时，对称轴为时，对称轴为y 轴；轴；b 0( (即即a、b同号同号)

6、 )时时, ,对称轴在对称轴在y 轴左侧；轴左侧；aba 0( (即即a、b异号异号) )时时, ,对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧. .(3)(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线y ax2 bx c与与 y 轴交点的位置轴交点的位置. .当当x 0时，时，y c，抛物线，抛物线y ax2 bx c与与y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0 (0，c) )：c 0，抛物线经过原点，抛物线经过原点; ; c 0, ,与与y轴交于正半轴；轴交于正半轴；c 0, ,与与y轴交于负半轴轴交于负半轴. .精品.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. .如抛物

7、线的对称轴在如抛物线的对称轴在y轴右侧，则轴右侧，则b 0. .a10.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式开口方向开口方向y ax2对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标(0,0)(0,0)(0,(0,k) )( (h,0),0)( (h, ,k) )b4ac b2( (，) )2a4a当当a 0时时2开口向上开口向上y ax h2y ax h k当当a 0时时开口向下开口向下2y ax bx cy ax2 kx 0( ( y 轴轴) )x 0( (y轴轴) )x hx hbx 2a11.11.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函

8、数的解析式(1)(1)一般式：一般式：y ax2 bx c. .已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式的值，通常选择一般式. .(2)(2)顶点式：顶点式：y ax h k. .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. .(3)(3)交点式：已知图像与交点式：已知图像与x轴的交点坐标轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：，通常选用交点式：y ax x1x x2. .12.12.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点(1)(1) y 轴与抛物线轴与抛物线y ax2 bx c得交点为得交点为( (0 , c) )2(2)(2)与与y

9、轴平行的直线轴平行的直线x h与抛物线与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点有且只有一个交点( (h, ,ah2 bh c). ).(3)(3)抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点二次函数二次函数y ax2 bx c的图像与的图像与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根的两个实数根 . .抛物线与抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：式判定：有两个交点有两个交点 0抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；有一个交点有一个交点( (顶点在顶点在x

10、轴上轴上) ) 0抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切；没有交点没有交点 0抛物线与抛物线与x轴相离轴相离. .(4)(4)平行于平行于x轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点同同(3)(3)一样可能有一样可能有 0 0 个交点、个交点、1 1 个交点、个交点、2 2 个交点个交点. .当有当有 2 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为设纵坐标为k，则横坐标是，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根的两个实数根. .(5)(5)一次函数一次函数y kxnk 0的图像的图像l与二次函数与二次函数y ax2bx ca 0的图像的图像g的交点，由方的交点，由

11、方程组程组y kx n的解的数目来确定：的解的数目来确定：2y ax bx c方程组有两组不同的解时方程组有两组不同的解时l与与g有两个交点有两个交点; ;方程组只有一组解时方程组只有一组解时l与与g只有一个交点；方程组无解时只有一个交点；方程组无解时l与与g没有交点没有交点. .(6)(6) 抛抛 物物 线线 与与x轴轴 两两 交交 点点 之之 间间 的的 距距 离离 ： 若若 抛抛 物物 线线y ax2 bx c与与x轴轴 两两 交交 点点 为为ax1， 0，bx2， 0，由于，由于x1、x2是方程是方程ax2bx c 0的两个根，故的两个根，故精品.bcx1x2 ,x1x2aaab x1

12、 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa21313二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1)一元二次方程一元二次方程y ax2 bx c就是二次函数就是二次函数y ax2 bx c当函数当函数 y y 的值为的值为 0 0 时的情况时的情况(2)(2)二次函数二次函数y ax2 bx c的图象与的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；有交点； 当二次函数当二次函数y ax2 bx c的图象与的图象与x轴有交点时，轴有交点时， 交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y 0时

13、时自变量自变量x的值，即一元二次方程的值，即一元二次方程ax2bxc 0的根的根(3)(3)当二次函数当二次函数y ax2 bx c的图象与的图象与x轴有两个交点时，轴有两个交点时， 则一元二次方程则一元二次方程y ax2 bx c有有两个不相等的实数根；当二次函数两个不相等的实数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与的图象与x轴有一个交点时，则一元二轴有一个交点时，则一元二次方程次方程ax2bxc 0有两个相等的实数根；有两个相等的实数根； 当二次函数当二次函数y ax2 bx c的图象与的图象与x轴没有轴没有交点时，则一元二次方程交点时，则一元二次方程ax2bxc 0没有实数根没有实数根14.14.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( (小小) )值；值；(2)(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( (小小) )值值1