吉林大学,线性代数,课件全,理工类55

1、5.5.1 5.5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵特征值与特征向量的性质5.5.2 5.5.2 用正交变换实现实对称矩阵相似对角化用正交变换实现实对称矩阵相似对角化定理定理5.15.1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对对应应的的特特征征向向量量为为复复向向量量的的特特征征值值为为对对称称矩矩阵阵设设复复数数xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共轭复数共轭复数xAxA 则则 . xxAx , 的的表示表示xx共共轭轭复复向向量量5.5.1 5.5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵特征值与特征向量的性质于是有于是有Ax

2、xTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是是实实数数由由此此可可得得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以定理定理1 1的意义的意义.,0,0)(,以以取取实实向向量量从从而而对对应应的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有实实的的基基础础解解由由是是实实系系数数方方程程组组线线性性方方程程组组所所以以齐齐次次为为实实数数的的特特征征值值由由于于实实对对称称矩矩阵阵AExAEAiii 个个实实特特征征值值阶阶实实对对称称矩矩阵阵有有推推论论nn（重根

3、按重数计算）（重根按重数计算）.特特征征向向量量正正交交对对应应于于不不同同特特征征值值的的实实对对称称矩矩阵阵定定理理 25证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT,21的的特特征征向向量量分分别别对对应应于于的的两两个个不不同同的的特特征征值值是是，为为实实对对称称矩矩阵阵，设设2121ppAA1 , .AnPP APAn 定理3 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵使其中是以 的个

4、特征值为对角元素的对角矩阵证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21).(21nrrrs 根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3( 如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，.,), 2 , 1(单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rriiisi PPAPP11.,11个个特

5、特征征值值的的是是恰恰个个个个的的对对角角元元素素含含其其中中对对角角矩矩阵阵nArrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：0 AE1. 解特征方程解特征方程求出对称阵求出对称阵 的全部不同的特征值。的全部不同的特征值。A2. 对每个特征值对每个特征值 ，求出对应的特征向量，求出对应的特征向量，i 即求齐次线性方程组即求齐次线性方

6、程组的基础解系。的基础解系。0 xAEi3. 将属于每个将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。的特征向量先正交化，再单位化。i 这样共可得到这样共可得到 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量n12,n 4. 以以 为列向量构成正交矩阵为列向量构成正交矩阵12,n 12(,)nT 有有1TAT 即即111rrTAT 必须注意：对角阵中必须注意：对角阵中 的顺序的顺序12,n 12,n 要与特征向量要与特征向量 的排列顺序一致。的排列顺序一致。解解20212022AE2140 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 对下列各实对

7、称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxAEi, 0得得由由对对, 04, 41xAE 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12xAE 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特

8、征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则 310130004)2(A310130004AE,422. 4, 2321 得特征值得特征值得得基基础础解解系系由由对对, 02, 21xAE 1101 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432xAE.110,00132 ,32恰好正交恰好正交