二次函数及图像性质 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)

1、教学内容教学内容二次函数二次函数教学目标教学目标掌握二次函数的定义与性质掌握二次函数的定义与性质重点重点难点难点二次函数的图像二次函数的图像二次函数的图像二次函数的图像教学准备教学准备纸、笔纸、笔教学过程教学过程二次函数二次函数一、课前回顾：1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的，x 叫做。2. 形如y _（k 0)的函数是一次函数。二、模仿学习：1 用 16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积 y()与长方形的长 x(m)之间的函数关系式为。2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数

2、 m 与球队数 n 之间的关系式_3.用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积s与它的半径r之间的函数关系式是4.归纳：一般地，形如， （a,b,c是常数，且a）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是_，b是_，c是_三、注意：（1）二次项系数a为什么不等于 0？答：。（2）一次项系数b和常数项c可以为 0 吗？答： .1例题：1观察：y 6x2；y 3x25； y200 x2400 x200；y x32x；12y x23；y x1 x2这六个式子中二次函数有。（只填序号）x2.y (m1)xm2m3x1是二次函数，则 m 的值为_3.若物体运动的路段 s（米）与时间 t

3、（秒）之间的关系为s 5t22t，则当 t4 秒时，该物体所经过的路程为。4.二次函数y x2bx3当 x2 时，y3，则这个二次函数解析式为5、当m时，函数ym2m xm22m 1是关于x的二次函数6、若点 a ( 2,m) 在函数y x21的图像上，则 a 点的坐标是 .7、在圆的面积公式 sr2中，s 与 r 的关系是（）a、一次函数关系 b、正比例函数关系 c、反比例函数关系 d、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积 s（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当

4、小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积2二次函数的图象和性质（1）（y ax2）一、课前回顾：1.画一个函数图象的一般过程是；。2.一次函数图象的形状是；二、模仿学习：（一）画二次函数 yx2的图象列表：xyx23210123在图（3）中描点，并连线10987654321y yy y10987654321y y87654321x xx xx xo o1 2 3 4432112o o1 2 3 4432112o o1 2 3 4432112（3）（1）（2）1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？32.归纳： 由图象可知二次函数y x2的图象是一条曲线，

5、它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；抛物线y x2是轴对称图形，对称轴是；y x2的图象开口_；与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y x2的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当 x=0 时，y 有最值等于 0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即x0 时，y随x的增大而。（二）在图中，画出函数y 归纳：抛物线y 12x，y x2，y 2x2的图象的形状都是；顶点都是_；212x，y x2，y 2x2的图象2y y87654321o o1 2 3 4432112x x对称轴都是 _；二次项系

6、数a_0；开口都；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 1归纳：抛物线y x2，y x2，y 2x2的的图象的形状都是；顶点都是2_；对称轴都是_；二次项系数a_0；开口都；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 4三、二次函数图像的性质1.当a0 时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即x 0 时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x 0 时，y随x的增大而。当a0 时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即x 0 时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x 0 时，y随x的增大而。2抛物线y ax2关于x轴对称的抛物线是。3a越大，抛物线的开口越_。四、例题：1函数y 32x的图象顶点是 _

7、，对称轴是 _，开口向 _，当 x7_时，有最_值是_2、抛物线 yx2不具有的性质是（）a、开口向下b、对称轴是 y 轴 c、与 y 轴不相交 d、最高点是原点3. 二次函数y m 3x2的图象开口向下，则 m_4. 二次函数 ymxm22有最高点，则 m_5. 二次函数 y(k1)x2的图象开口向上，则 k 的取值范围为_6若二次函数y ax2的图象过点（1，2），则a的值是_7抛物线y 5x2y 2x2y 5x2y 7x2开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是和。18点 a（，b）是抛物线y x2上的一点，则 b=；过点 a 作 x 轴的平行线交抛物2线另一点

8、b 的坐标是。59、函数y ax2与 y ax b的图象可能是（）a10、已知函数y bmxm2 cm4 d的图象是开口向下的抛物线，求m的值.311、二次函数y x2，当 x1x20 时，求 y1与 y2的大小关系.26二次函数的图象和性质（2）（y ax2 k）一、课前回顾：直线y 2x 1可以看做是由直线y 2x得到的。由此你能推测二次函数y x2与y x2 2的图象之间又有何关系吗？二、模仿学习：（一）在同一直角坐标系中画出二次函数y x2，y x21，y x21的图象可以发现，把抛物线y x2向_平移_个单位，就得到抛物线y x21；把抛物线y x2向_平移_个单位，就得到抛物线y

9、x21.o o1 1x xxy x21y x21y y3210123y =x2抛物线y x2，y x21，y x21的形状_开口大小相同。7三、知识梳理：（一）抛物线y ax2 k特点：1.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2. 顶点坐标是；3. 对称轴是。（二）抛物线y ax2 k与y ax2形状相同，位置不同，y ax2 k是由y ax2平移得到的。（填上下或左右）四、例题：1.抛物线y 2x2向上平移 3 个单位，就得到抛物线_；抛物线y 2x2向下平移 4 个单位，就得到抛物线_2抛物线y 3x2 2向上平移3 个单位后的解析式为，它们的形状_，当x=时，y有最值是。3由抛物线y

10、5x23平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。4、任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线y x2k，当 k 取 0，1时，关于这些抛物线有以下判断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最低点 .其中判断正确的是 .5、已知函数y mx2 (m2 m)x 2的图象关于 y 轴对称，则 m_；6、二次函数y ax2 ca 0中，若当x 取 x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则当x 取 x1+x2时，函数值等于 .8二次函数的图象和性质（3）（y a(x h)2）一、课前回顾：1.将一次函数 y=3x 的图象向左平移 2 个单位，所得图象的解析式为

11、。2.将一次函数 y=2x-3 的图象向右平移 3 个单位后的抛物线的解析式为。二、模仿学习：画出二次函数y (x 1)2，y (x 1)2的图象；先列表：x4321y yy = x201234y (x 1)2x xy (x 1)210109 98 87 76 65 54 43 32 21 1 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1o o1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 2 2归纳：（1）y (x 1)2的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。图象有最点，即x=时，y有最值是；在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时

12、y随x的增大而。y (x 1)2可以看作由y x2向平移个单位形成的。9三、知识梳理（一）抛物线y a(x h)2特点：1.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。（二）抛物线y a(x h)2与y ax2形状相同，位置不同，y a(x h)2是由y ax2平移得到的。（填上下或左右）四、例题1抛物线y 2x3的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。2. 抛物线y 2(x1)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。3.抛物线y 5x2向右平移 4

13、 个单位后，得到的抛物线的表达式为_4抛物线y 4x2与 y 轴的交点坐标是_，与 x 轴的交点坐标为_5、抛物线y 1x 32，顶点坐标是 ,当 x时,y 随 x 的增大而减小， 函数222有最值6、试写出抛物线y 3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移 2 个单位；（2）左移2个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位.31 07、请你写出函数y x 1和y x21具有的共同性质28、二次函数y ax h的图象如图：已知a 21，oa=oc，试求该抛物线的解析式.29、抛物线y 3(x 3)2与 x 轴交点为 a，与 y 轴交点为 b，求 a、

14、b 两点坐标及aob 的面积.1 1二次函数的图象和性质（4）（y ax h k）2一、课前回顾：1.将二次函数y -5x2的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为。2.将抛物线y x2的图象向左平移 3 个单位后的抛物线的解析式为。二、模仿学习：在右图中做出y x12的图象：观察：1. 抛物线y x12开口向；顶点坐标是；对称轴是直线。22210987654321y yy = x2x xo o1 2 3 4 543211232. 抛物线y x12和y x2的形状，位置。 （填“相同”或“不同”）3. 抛物线y x12是由y x2如何平移得到的？四、知识梳理：结合上图归纳：（一）抛物线y

15、 a(xh)2+k的特点：1.当a 0时，开口向；当a 0时，开口；2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。（二）抛物线y a(xh)2+k与y ax2形状，位置不同，y a(xh)2+k是由y ax2平移得到的。1 22（三）平移前后的两条抛物线a值。五、例题：1.二次函数y 11(x 1)2 2的图象可由y x2的图象（）22a.向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到b.向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到c.向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到d.向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到2.抛物线y x65开口，顶点坐标是，对称轴是，当132x时，

16、y有最值为。3.填表：函数开口方向顶点y 3x2y x23y 2(x3)2y 4(x5)232对称轴y 2x31的图象可由函数y 2x的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到。4.若把函数y 5x23的图象分别向下、向左移动2 个单位，则得到的函数解析式为。5. 顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线y 12x23212 cy x23212x相同的解析式为（）222ay by 12x23212dy x2321 36. (1)抛物线y 2(x+1)23开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x时，y有最值为。当x时，y随x的增大而增大.(2) 抛物线y 2(x+1)23是由y 2x2如何

17、平移得到的？答：。7、二次函数 y(x1)22，当 x时，y 有最小值.8、函数 y2 2 (x1)23，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而增大.9、函数 y=(x+3)2-2 的图象可由函数 y=x2的图象向平移 3 个单位，再向平移 2 个单位得到.10.已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是12121 11 4二次函数的图象和性质（5）（y ax2bx c）一、课前回顾：1.抛物线y 2x31的顶点坐标是；对称轴是直线； 当x=时y有最值是；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。2. 二次函数解析式y a(xh)2+k中，很容易确定抛物

18、线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、模仿学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数y x2 2x 2的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：y x2 2x 2的顶点坐标是，对称轴是 .2（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：22y x 2x 2y ax bx c（ 5 ） 归 纳 ： 二 次 函 数 的 一 般 形 式y ax2bx c可 以 用 配 方 法 转 化 成 顶 点式 ：， 因 此 抛 物 线y ax2bx c的 顶 点 坐 标1 5是；对称轴是，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。y 2x23x 4y 2x2 x