拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

1、拉普拉斯变换求解微分方程典型范例laplace 变换在微分方程( 组) 求解范例引言laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用. 为了研究本文提出的各种问题，我们给出了laplace 变换的概念以及一些性质. laplace 变换的定义设函数 f(x) 在区间 0 +，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分+0steft dt对 s 的某一取值范围是收敛的. 则称f s+0steft dt为 函数 的 laplace变 换 ，( )f t称 为 原 函 数 ，( )f

2、s称 为 象 函 数 ， 并 记 为lftf s. 性质 1 (laplace变换存在定理 ) 如果函数( )f t在区间 0,上逐段连续，且存在数0m，00s，使得对于一切0t有0( )s tf tme, 则当0ss时，( )f s存在. 性质 2 ( 线性性质 ) 设函数和满足 laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有lf tg tlftl g t其中和是常数 . 性质 3 （原函数的微分性质） 如果 ft ，ft ， l ，nft 均满足 laplace变换存在定理的条件，则0lftsl f tf或更一般地，有112000nnnnnlfts lftsfsff

3、l. 性质 4 （象函数的微分性质）如果lf tf s , 则+0stfsteft dtl tft或一般地有011nnnnstnfst eft dtl t ft. 主要结论及推导对于 laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到0stfst ft edt（* ）即ltf tfs再对（ *）式求导，可得2l t f tfs在一般情况下，对于任一正整数n，有1nnnndlftfsds即1nnnndl t ftlftds从而1nnnmmndl t ftlftds（1）对性质 3 及（1）式，可得l x tx s0l x tsx sx200l xts x ssxxdx sdl tx tl x t

4、dsds0dddl tx tl x tsx sxsx sdsdsdsx ssxs200ddl txtl xts x ssxxdsds20ds x ssxds220sx ss xsx1、利用 laplace 变换求解常系数微分方程例1 求 方 程331xxxx的 满足 初 始 条 件000 xxx的解. 解 对方程两端进行 laplace 变换得321331sssx ss由此得32331sssxss把上式右端分解成分式2311111+11x sssss对上式两端各项分别求出其原函数，再求和. 即得原微分方程的解为2211112122ttttx tetet ette例2 求 微 分 方 程322t

5、yyye满 足 初 始 条 件02y,01y的特解 . 解 设 l y ty s ，对微分方程两端取laplace 变换得22321s y ssy syssy sy sy ss考虑到初始条件得2232271ssy sss于是2217255433112132ssy sssssss对上述方程两端取laplace 逆变换 , 得111121117117443113233ttty tly sllleeesss于是得到方程的解为217433ttty teee2、利用 laplace 变换求解常系数微分方程组例 3 求解初值问题2400,01dxxydtdyxydtxy的解. 解设0stxsl x tex

6、 t dt，0sty sly tey t dt对方程组取 laplace 变换，得到02+04sx sxxsy ssy syxsy s即2041sxsy sxssy s从而有22213211333x sssy ssss对上面方程组取 laplace 逆变换，得原方程组的解为333tttx ttey tete例4 求 微 分 方 程 组200 xyxxy满 足 初 始 条 件00,01,01xxy的解. 解 设 l x tx s ， l y ty s对微分方程组取 laplace 变换得20020000s x ssxxsy syx ssx sxy s考虑到初始条件得212100sx ssy ss

7、x sy s由上面方程组解得22111xsssy ss对上方程组取 laplace 逆变换得原方程组的解为sincosx tty tt3、利用 laplace 变换求解偏微分方程例 5 求22200|3yxux yx yuxuy0, x y的定解 . 解 首先将定解问题取laplace 变换，并记,l u x yu s y则有0|3xulsuusuyx，23udulsx ydy232!l x yys，0032!|yyl uus这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|ydusydysus以求得其解为24312,3 +u s yyyss对上式取 laplace 逆变换

8、，得到原偏微分方程的解为322,36x yu x yyx例 6 求方程0,0,00 xxuxuxutu x0,0 xt的解. 解 对方程两端关于 t 施行 laplace 变换( 取 s 为实数 ), 有,1,du x ssu x sdxxs求解得1,1sxux sc sxs s由条件0,0ut得0,0us，从而0c s，代入上式并应用laplace 逆变换，有111111111,1111txu x tlu x sllxxlxlxes sssss4、利用 laplace 变换求解变系数的微分方程例 7 求变系数微分方程2120tytyty满足初始条件00y的解. 解 对方程两端同时施行laplace 变换，利用 laplace 变换的微分性质有20020220s y ssyysy sysy sy sy s结合初始条件00y，化简有221410ssyssy s解得41cy ss，c 为任意常数 . 取 laplace 逆变换，则有13ty tly sct e例 8 求解二阶变系数微分方程20txtx ttx t满足初始条件001,0 xxc0c 为常数）的解 . 解 设 l x tx s ，对方程两端取laplace 变换，得20l txsx ttx t即20l txtl x tl tx t亦即200200dds x ssxxsx