08-09(1)-08级-矩阵论试题与答案

1、参考答案一 (15分计算(1) 已知A可逆，求)CAtdt (用矩阵A或其逆矩阵表示)；T(2) 设a = (araca4)是给泄的常向量，X=UJ2x4是矩阵变量，求CIagt):CLV(3)设3阶方阵A的特征多项式为园4| =才(几6),且A可对角化，求Iiml人工(1)(2)由 Xa =447 a.丿2IJ4-J=IZnIl|=(X741(Xa)dXa)dX(Xa)6(Xa)FQX 26(X)7dx6(Xaf琳36(Xa)丁&238(Xaf堆48(Xa)7dx24O ai O a4O CllO a3OClA)(3) A的特征根为人=6, =0, P(A) = 6.由于A可对角化，

2、即存在可逆矩阵C,使(6 C",从而-C000丿P(A)<0丿A = CC".故-（15分）设微分方程组dx=AXZ 508rdr<,A =316，Xo =1-2 0 -31X(O) = Xo / /（1）求A的最小多项式InAa）:求（3）求该方程组的解。解(1) 2Z-AI = (2-l) h(2) = (2-1)2;'l + 4f08r、(2) r() = a+b = et(t + l-t), eAt = r(A) = e3/16/、力01_亿rl + 12(3) X(r) = e, 1+9/一6/三（15分）对下而矛盾方程组Ax = bx3 =

3、1V X + X2 + X3 = 1x1 + x2 = 1（1）求A的满秩分解A = FG:（2）由满秩分解计算As（3）求该方程组的最小2范数最小二乘解XLS解"0 01<0"1 o'(1) A =1 11=11.0 0 1；=FG （不唯一）<1 10>1XOy /探6探(2) A+ =-112-11242 -2四(1()分)设A = y2求矩阵A的QR分解(要求R的对角元全为正数，方法不限)解五(1()分)设A = a(0aeRn2)(1) 证明A的最小多项式是m) = 2- tr(A)2(2) 求A的JOrdan形(需要讨论)。证(1)易知

4、rank(A) = 1 , tr() = 1 a .故In(A) = A2 - Ir(A)A = (0，a)A 一 (0 a)A = O又对任意的一次多项式g() = + c, S(A) = A+ dO.反证，如果A + cI=O 当C = O时，A = O9 矛盾。当CHO时，rank(A) = rank(-c) = n2 ,矛盾。(2)由 w(2) = 2(-tr(A)=0 m知，A 的特征值只能是0或tr(A) = 7,当tr(A) = 1 a O时，m()无重根,A可对角化，再由rank(A) = 1知 '0 、A-J =0、当tr(A) = 1 a = 0时,A的特征值全是l

5、o = 0,由n - rank(>/ -A) = H-I知/IO=O对应的特征向量只有”-1的线性无关的，从而'0 、AJ =0 1< >六(1()分)设 A W R；U(1)证明 rank( 一 A+A) = n-r(2)AX = O 的通解是 X =(人- AA)y9y e Rfl。-1 OyUIUro T(IrO、(1) Z-A+A = Z-VVr=/ -VrnH2 o丿2O"OO丿Vr(I o T(O O 'VI-rVr=Vk,O O丿丿9 I"Vr所以rank( - A+A) = n-r(2)由 A(Zzi-A+A) = A-AA

6、M = A-A = O,知In-AA 的列都是 AK = O的解,其中又有H-r个线性无关的，故其线性组合yye Rn就是AV = O通解。七（1（）分）证明矩阵2334347222_34n,卫 + 1（77+ I）2（!）能与对角矩阵相似：（2）特征值全为实数。G&互不交，说明A有川个不同的特征值，从而可对角化。（2） G*关于实轴对称，如果A有复特征值必成对共辄出现，而G&中只有一个特征值，所以必 为实数。八（15分）设A是可逆矩阵，丄1 = ,B-A = 0 （这里矩阵范数都是算子范数），IlAIl如果<a.证明（1）3 是可逆矩阵；（2） IIB-IIl -1-;

7、 （3） IB-I-A-1II o1111 a-1111 aa-）证（方法一）（I）IwIIAwlh闷弓 I（AF卄列l(-M÷IIM)f 制+却圖(*)(-0) 非 Il 纠因此，xOBO,说明B可逆。（2）由式严），取X = By9 -0)| 矿,y KIyII = IIyIl => | 矿圳 土 IlyIl由算子范数的泄义得IIB-II 厅-犷| = |附（A-B）犷Il屮州ArlWl土（方法二）引理：设 Ax 若 IIAlI<1,则 I-A 可逆，并 WII(Z-A)-, (1) IIZ- A-IBi = IIA-I (B - A)II IIA-1IB-Al = <1由引理知，A"B = -(-A&quo