2011年辽宁高考理科数学试题

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷，解析版)注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)a为正实数，i为虚数单位,2 ,则 a=()(A) 2(B) 、3(C

2、)2(D)1解析+fl* =2ja>chJlJ-I J13(R已知MJN沏集合i的m咗真子氣且不相等,若Xn(C>/1 = Q则M、y=C )(A)IVl旧)N(C)IQ)0答案：A解祈：因为二S(CPV) =0且IVkhJ不相等，得W是怕的真子算 故答案为ll已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AF BF =3 ,则线段AB的中点到y轴的距离为()(D)3(A) (B) 1(C)4答案：C一III解析：设A、B的横坐标分别是 mn,由抛物线定义，得AF BF 3=m+才+ n+& = m+ng=3,故m+n=5 , m n 5 ,故线段 AB的中点到y

3、轴的距离为 52244(4) ABC的三个内角 A、B、C所对的边分别为 a, b，C，asin ASinB+bcos 2A= , 2a则ba()(A)2 3(B)2 2(C)3(D). 2答累：D解析*由正张定理得 SinirtSinB+SinBccsiW= V?叮占：Sine (siA+CD52A) = SlnAlTSK SinB- 2 Sin HTl- - f2 :(引从1.2 3.4.5中任取2各不同的数*事件A="取到的2个数之和为偶数事件生“取(D：牙到的2个数均为偶数3贝J P(B I A)= 何 (B) £答累：e術由舷艸C；C; 1 L IsiPlAI=I

4、C； 10PA'4(6)执行右面的程序框图，如果输入的n是4,则输出的P是(A) 8(B) 5(C) 3(D) 2rxM O. f 三 L* 1PPNl卜=% Af3C答案：C解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2;第次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出P的值4.(7)设 Sin ( + )=1 ,则 Sin2 ()43(A)711(D)7(B)-(C)9999答案：A解析：Sin 2CoS 22sin212 1 172499(8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD丄底面ABCD则下列结论中不

5、正确的是()(A) AC 丄 SB(B) AB /平面 SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角(D) AB与SC所成的角等于 DC与 SA所成的角答案：D解析：对于 A:因为SDL平面ABCD所以DS丄AC.因为四边形 ABCC为正方形，所以 AC BD,故AC丄平面ABD,因为SB 平面ABD,所以ACSB正确.对于B:因为 AB/CD,所以AB/平面SCD.对于C:设ACI BD O.因为AC丄平面ABD所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO则 ASo和 CSC就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确故选D.1-x2X(9)设函

6、数f ( x)='1-lg2X ,1' 则满足X >1 ,f ( x) 2的X的取值范围是()(A) -1 , 2(B)0 , 2(C) 1 , +)(D) 0, +)解析=不等式等价于Imn解祎式纽可得或工儿即r0t故选Dl(IO)若壶b, c单位向量,(Prwi <b-c) 0, ma+b-cfei(E) 1(D) 2解析=田 a b=0? (a-c) (LnC)Cj 得一a " c-b c- c=l口 a+ b2+ C+2a b-a c-2b , tf3+2 eb c) 3-2=l 故乱十 l>c 的最¼值为1.(11) 函数 f (

7、X)的定义域为 R f (-1 ) =2 ,对任意 x R , f ' (X) > 2,则 f ( x)> 2x+4 的解集为()(A) (-1 , 1)(B) (-1 , +)(C) (-, -1 )(D) (-, +)答案：B解析：设 g(x)= f(x)-(2x+4), g ' (X)= f ' (x)-2.因为对任意 X R , f'( x)> 2,所以对任意X R , g' (x)>0 ,贝U函数g(x)在R上单调递增又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0,故 g(x)>0,即 f(x) >2x+4

8、 的解集为(-1 , +).（12）已知球的直径 SC=4, A,B是该球球面上的两点，AB=. 3 , ASC BSC 30 ,则棱锥S-ABC的体积为（）（A） 3、3（B） 2 3（C）、3（ D） 1答案：C解析=取丈的中点D则D为簸心，网F0辭D=Dhz ZASC = ZBC= ZSBD=ZBAd =3r i ASCPSC, 过山 ft AE丄 C EJ BE,则迪丄 SC ftBDE 中，DE=BD CoS 一BED SD COS 60 1J EE=BD 虽】一BED 3D、in 60 -"打, 故棱锥S-ABC的体积等于棱锻ABE和轅锥CE的体积和，即亍吃朋4击，1 J

9、 > J第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分2 2（13）已知点（2,3 ）在双曲线 C:筈-与 1 （a > 0, b> 0）上，C的焦距为4,则它的 a b离心率为.答案：2解析：由题意得，2c 4,c 2 ,22 1 , a2 b2 4 ,解得a=1 ,故离心率为2.a b(14)调查了某地右干户豕庭的年收入X （单位：万兀）和年饮食支 出y （单位：万兀），调查显示年收入X与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对X的回归直线方

10、程：y =0254x+0321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.解悴由蛭性回归直线斜率的几何意交可姐家扈年收曙加丄万元年惋負支出平陶斑加0.254万元(一牛正三橈枉的则债故和IH面迪怜日等只为 W 它朗三视囹中的PiHfi圏如石>ix<vm 枳星答茹2?'l : ii： r -H.lft!l和底n÷溯 3 l.l- - Q .- 23 , a=3 lFj'立砧底面-边垂直的麵知冲阿 磁换的硫是習亠迟(16) 已知函数 f (X) =Atan ( x+ )(>0,V-), y=f (X)的部分图像如下图,2则f (上

11、)243解析：函数f(x)的周期是2 3Ata n1,故2 ,由38 82Ata n228答案：30, 得IA 1 .所以 f (x) tan 2x ，故 f 4424ta n 2 2443.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分12分)已知等差数列an满足a2=0, a6+a8= -10(I )求数列an的通项公式；(II )求数列a2 1的前项和.a, += 0.解扌爪(10设等差数列b的公差为出由已知瘵件可 n1 In .-2 +12沖=-IOiX-.故等遵数列匕一的通顼公式背a = 2-n.(Il 诛数列的前项和为知閒5=<¾+-4州必T

12、综上，数列上>的前r项和S, = r.(18) (本小题满分12分)1如图，四边形 ABCD为正方形，PDL平面ABCD PDll QA QA=AB= PD.2(I )证明：平面 PQC平面DCQ(II )求二面角 Q-BP-C的余弦值.解析；(I)方法一；由条件知，PD如是直角阚积因淘 血丄平面ABCB,所以平面PDAQ丄平面ABCD,交线是AD又四边殛ABCD是正:形，M丄型所以吮丄叩面-Sd可在育司梯强巾応2中可得DQ=PQ 丫二厂肥丄g所以FQ丄平面DCQ.因为FQ二平商FJ所以平面FQC丄平35 OCC方法二 如圏以D为坐飯除点，竝段 皿的长71射銭DA为X轴的正半轴建立空 间

13、之(H坐标系X'<2.依题歳由 Qhlvb 匚(CJC(Iil P0,2,3i,P. ll<0 . Il LLLJlJ.朋InJ =J-R DC = (3,0llb AQ = (IL-JMKJLULi. -I-VJLJ.LU-U. Lfl-JJJ!.EtlliAF空-2)<p = 0，PQ-DU= >即 PQ DQ , PQ DC .故 PQ 平面 DCQ又PQ 平面PQC所以平面PQC平面DCQ.IuUUUn(II )依题意得 B(1,0,1) , CB (1,1IQ)IBP ( 1,2, 1),设n=(x,y,z) 是平面PBC的法向量，则rULlnnCB0

14、,X 0,rULLn即nBP0.X 2y z 0因此，取 n=(0,-1,-2).设m是平面PBQ的法向量，则IrIUUmBP0,IrIUurmPQ0.可取 m=(1,1,1),所以 CoS m,n155故二面角Q-BP-C的余弦值为 15 .519.(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块 地种植品种甲，另外 n小块地种植品种乙.(I )假设n=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望;(II )试验时每大块地分成8小块，即

15、n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块附：样本数据X1 , X2,Xa的样本方差S2-n2XnX ,其中X为样本平均数解析:(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,1 1C8470,c1c43c8435c841835,CC4 AC8435,1Cs170,即X的分布列为X01234P1818817035353570X的数学期望是:2.0 1 8 2 18 3 8 4II )品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是: 1X甲403 397 390 404 388 400 412 406400，822 2 2 2 2 2 2 2S甲3310412012657.2

16、5 8品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是： 1X乙419 403 412 418 408 423 400 413412，822 2 2 2 2 2 2 2S乙7906411-12156，8由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙(20)(本小题满分12分)如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O,长轴左、右端点 M N在X轴上，椭圆C2的短轴 为MN且C1，C2的离心率都为 e，直线I丄MN l与C1交于两点，与 C2交于两点，这四点 按纵坐标从大到小依次为 A, B, C, D.(I)设e 1 ,求BC与AD的比值

17、；2(II )当e变化时，是否存在直线 l ,使得BO/ AN并说明理由 解析：(I )因为C, G的离心率相同，故依题意可设2 2 l 2 2 2Ci：笃爲 1,C2：b 笃 1,a b Oa ba a设直线丨:Xt(|t| a)分别和C1, C联立，求得A t,a a2 t2b,Bt,b a2 t2 ab 3a,2分别用yA, yB表示A、B的纵坐标，可知BC:ADI=(II ) t=0时的I不符合题意，t 0时，BO/AN当且仅当Bo的斜率kBo与AN的斜率kAN相22yB b2|yA| a2等，即b a2 t2ata a2 t2 bt解得tab2a2 b2因为|t | a ,又0 e

18、1 ,1.所以当0 e时，不存在直线2l,使得 BO/AN;当 22e 1时，存在直线l使得BO/AN.(21)(本小题满分12分)2已知函数 f (X) =lnx-ax + (2-a)X.(I)讨论f (X)的单调性;1(II )设a> 0,证明：当 0vXV 时，a)若函数y=f (x)的图像与X轴交于(III11f ( +x)> f ( -X);aaA, B两点，线段AB中点的横坐标为X0,证明:X 0)v 0.解析:(I)f(x)的定义域为(0,+ ), f' X1 2ax 2X2 x 1 ax 1若a 0, f ' X 0,所以f(x)在(0,+ )单调增

19、加;1若a>0 ,则由f' X 0得X ,且当Xa0, 1 时,a1X 0,当X 时,a(II )g' X0,所以a1 ax-时, a1f（x）在0, 单调增加，在a单调减少.X ,则gIn 1 ax In 1 ax 2ax,a1 axg' X2a2a310,而gx2a2X200,所以0.故当(III)由(I冋得，当0Bt5函SHX)M图象与K轴至多有一个交点，<2>0从而 f,K值为Jr / _& ；' - » 0、I应丿«不妨设 A(XLJO)J B 0b)f0< ×< 则。丈 >&l

20、t; a<7>z 1 1 (I)得/ 一曲f 一+-WAfI-坤=0，Ia)I应a从而匕> -.y1.于杲竝二上卫>-J* a'2 a由汨知，F ( ¾) <0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲如图，A，B, C, D四点在同一圆上， AD的延长线与BC的延长线交于 E点，且EC=ED.219(I )证明：CDAB;(II )延长CD到F,延长DC到 G,使得EF=EG证明：A, B, G F

21、四点共圆 解析：因 EC=EDFHfIlZEDC=ZECd.因为B,CjD四点I在同一部劉上 所以丄匚BA,ZECD=ZEBA所以 CD/AB.(Il)由 CI)知，AE=BE.因为 EF=EG，ZEFD=ZEGC,MfBZFED=ZGEC.連接 AFjBG,则虫EFA竺匚GL 故ZFAE=ZGBE,又 CDAB> ZEDC=ZKDf 0L<ZZFB=ZG0A.fiftZAFG÷ ZGBA=1800,故AFSFGRF四点共囿（23）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系统与参数方程X COS ,在平面直角坐标系 XOy中，曲线C的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方y Sin ,X a cos ,程为（a b 0，为参数）在以 0为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标y bsin ,系中，射线l : = 与C1, G各有一个交点.当 =0时，这两个交点间的