《大学物理教学1》第4章ppt课件

1、大学物理学 第第4 4章章 动量和角动量动量和角动量本章主要内容：本章主要内容：1、了解动量、角动量的概念、了解动量、角动量的概念2、掌握动量及角动量定理的内容与运用、掌握动量及角动量定理的内容与运用3、掌握动量守恒和角动量守恒定律、掌握动量守恒和角动量守恒定律 4、 碰撞碰撞定义定义 1、瞬时性、瞬时性 2、矢量性、矢量性 3、相对性、相对性zzyyxxmvpmvpmvp 1、质点的动量、质点的动量在直角坐标系中：在直角坐标系中：vmp=在国际单位制在国际单位制SI千克千克米米/秒秒kgm/s4.1 动量定理动量定理2、质点系的动量、质点系的动量nn221vmvmvmpppp1n21 nnv

2、vvmmm,.,.,2121的的质质点点，速速度度分分别别为为设设niiiiivmpp1一、动一、动 量量讨论讨论二、质点的动量定理二、质点的动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律tpFdd tFd表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内合外力内合外力 的冲量。的冲量。FtFIdd 1微分方式：微分方式：2积分方式：积分方式： 21dtttFI假设为恒力：假设为恒力：tFI 1、 冲量冲量2、动量定理、动量定理ptFdd 1微分方式：微分方式：ptFdd 2积分方式：积分方式： 2121ppttptFdd对上式积分，对上式积分，在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增

3、量。在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。ptFtt 21d 动量定理的积分式动量定理的积分式即：即： 1、反映了过程量与形状量的关系。、反映了过程量与形状量的关系。同同向向。与与、pI 23、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。3、动量定理分量方式、动量定理分量方式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 系统所受合外力的冲系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分于系统动量在该方向上分量的增量。量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 阐

4、明阐明1) 冲力冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。tptpptttFFtt 121221d假设冲力很大假设冲力很大, 其它外力可忽略时其它外力可忽略时, 那么：那么：假设其它外力不可忽略时假设其它外力不可忽略时, 那么那么 是合外力的平均。是合外力的平均。F2) 平均冲力平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：tpF 4、动量定理的运用、动量定理的运用 增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用1t2toFtF 三

5、、质点系的动力学方程由两个质点组成的质点系：由两个质点组成的质点系：tppFFd)d(2121 N 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： NiNiiptF1i1ddtpfFmdd:1111 tpfFmdd:2222 021 ff即即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。 质点系的动力学方程质点系的动力学方程tpFdd 内力可以改动一个质点的动量，但对系内力可以改动一个质点的动量，但对系统总动量的改动无奉献。统总动量的改动无奉献。1f2F1F2m1m2f阐明阐明1、微分方式：、微分方式：ptFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式 在一个过程中，系统

6、所受合外力的冲量等于系统在在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。2 、积分方式：、积分方式： 2121ddppttptF由由 得：得：tpFdd 对上式积分，对上式积分，ptFItt 21d动量定理的积分式动量定理的积分式四、质点系的动量定理四、质点系的动量定理3 、动量定理分量方式、动量定理分量方式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 22dtttFI 系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动系统所受合

7、外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。量在该方向上分量的增量。 例题例题4-1 人在腾跃时都天性地弯曲关节，以减轻与地面的人在腾跃时都天性地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。撞击力。 假设有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情假设有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？况？ 解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t ，重心下移了，重心下移了s 。由动量定理得：由动量定理得：tpptttFFtt121221d设人落地后作匀减速运动到静止，那么：设人落地后作匀减

8、速运动到静止，那么：02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，那么：，那么：MgshMgF200 能够发生骨折。能够发生骨折。讨论讨论tMvF0asvv ,atvv22020设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力：，此时平均冲力： (N) 1037. 12008 . 9705 FvFmmd 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落和即将落 入车厢的煤入车厢的煤 d m 为研讨对象。为研讨对象。 取程度向右为正。取程度向右为正。 t 时辰系统的程度总动量：时辰系统的程度总动量：mvm

9、mv 0dt + dt 时辰系统的程度总动量时辰系统的程度总动量: vmmmvmv)d(d dt 时间内程度总动量的增量：时间内程度总动量的增量： mvmvvmmpd)d(d 由动量定理得：由动量定理得：mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面经过，每的速率从煤斗下面经过，每秒落入车厢的煤为秒落入车厢的煤为m = 500 kg。假设使车厢的速率坚持不变，。假设使车厢的速率坚持不变，运用多大的牵引力拉车厢？运用多大的牵引力拉车厢？ 摩擦忽略不计摩擦忽略不计)4.2 动量守恒定律动量守恒定律知知，由由tpFd

10、d 时时当当0 F0dd tp动量守恒定律动量守恒定律, 0 iF2、 有以下几种情况：有以下几种情况：不受外力。不受外力。C p那么：那么：C11 iNiiNiivmp即即系统所受合外力为零时，系统的总动量坚持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量坚持不变。 外力矢量和为零。外力矢量和为零。1、 并不意味着每个质点的动量是不变的。并不意味着每个质点的动量是不变的。 CpF 时时，0留意留意3、各速度应是相对同一惯性参考系。、各速度应是相对同一惯性参考系。4、动量守恒定律比牛顿运动定律更根本，运用更广泛。、动量守恒定律比牛顿运动定律更根本，运用更广泛。常量常量 xxpF0常量常量 yypF0

11、常常量量 zzpF0 内力内力 外力。外力。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。 假设系统所受的合外力虽然不为零假设系统所受的合外力虽然不为零, ,但合外力在某一但合外力在某一 方向的分量为零方向的分量为零, ,那么系统在该方向上动量守恒。即：那么系统在该方向上动量守恒。即： 例题例题4-3 质量为质量为m1 ，仰角为，仰角为 的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m2 的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计摩擦。，不计摩擦。 求求 1炮弹出口时炮车的速率炮弹出口时炮车的速率v1 。 2发射炮

12、弹过程中，炮车挪动的间隔发射炮弹过程中，炮车挪动的间隔( 炮身长为炮身长为L ) 。 解解 1选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。gm2Lu由由x 方向的动量守恒可得：方向的动量守恒可得：02211 xvmvm由相对速度：由相对速度：12vuv 得：得：12cosvuvx 0)cos(1211 vumvm gm1N程度方向不受外力，系统总动量沿程度方向不受外力，系统总动量沿 x 分量守恒。分量守恒。设炮弹相对地面的速度为设炮弹相对地面的速度为v2 。yxO车车对对地地弹弹对对车车弹弹对对地地vuv 解得：解得： cos2121ummm

13、v “号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。轴正向相反。2 假设以假设以u ( t ) 表示炮弹在发射过程中任一时辰，炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时辰，炮弹相对炮 车的速率，那么此时炮车相对地面的速率车的速率，那么此时炮车相对地面的速率 cos)()(2121tummmtv 设炮弹经设炮弹经 t 秒出口，在秒出口，在 t 秒内炮车沿程度方向挪动了：秒内炮车沿程度方向挪动了： ttttummmttvS021201d)(cosd)( cos212LmmmS 例题例题4-4 光滑程度面与半径为光滑程度面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块接，两滑块

14、A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的顽强系数为弹簧的顽强系数为k，其一端固定，其一端固定在在O点，另一端与滑块点，另一端与滑块A接触，开场时滑块接触，开场时滑块B静止于半圆环轨道静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块的底端，今用外力推滑块A,使弹簧紧缩一段间隔使弹簧紧缩一段间隔x后再释放，滑后再释放，滑块块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上将沿半圆环轨道上升，升到升，升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹，求弹簧被紧缩的间隔簧被紧缩的间隔x.OOABC x解：设滑块解：设滑块A分开弹簧时速度分开弹簧时速度为为

15、v,在弹簧恢复原形的过程中机在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒械能守恒222121mvkx A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速作完全弹性碰撞，交换速度，度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒2221121)cos(mvmgRmv当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足 Rmvmg2cos联立求解可得联立求解可得 kmgRx27 OOABC x 例题例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器

16、的小车A 和和 B，质量分别为，质量分别为m1 、m2，B不动，不动，A 以速度以速度 与与B 碰撞，知两车的的顽强系数碰撞，知两车的的顽强系数分别为分别为k1 、k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？间的作用力为多少？ 0vA1m0vB2m2k1k解解 以两小车为研讨对象。以两小车为研讨对象。其碰撞过程中，系统的机其碰撞过程中，系统的机械能守恒；动量守恒。械能守恒；动量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：2211xkxk 2112kxk

17、x 联立上式：联立上式：)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 例题补充例题补充 质量为质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静点静止下滑，经路程止下滑，经路程 l 到到 B 点时，木块被一程度射来的子弹击中点时，木块被一程度射来的子弹击中子弹子弹m、v射入木块中，求射中后二者的共同速度。射入木块中，求射中后二者的共同速度。解解 分为两个阶段：分为两个阶段：第一阶段：从第一阶段：从 A A 运动到运动到 B B，匀加速运动：，匀加速运动： sin2glvB )sin,2(202 gaalvvt 第二阶段：

18、碰撞阶段第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研讨对象，沿斜面方向，取木块与子弹组成的系统为研讨对象，沿斜面方向，内力内力 外力，可用动量守恒定律求近似解。外力，可用动量守恒定律求近似解。 0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos 可解得：可解得：mMglMmvV sin2cosgmAB lv xgMN4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心N 个质点组成的系统个质点组成的系统 Njimmmm.1、位矢分别为位矢分别为 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定义：质点系质心的位矢定义：质点系质心的位矢即即对质量延续分布的质点系对质量延续分

19、布的质点系 Mmrrc dx1mzy Nmjmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐标系中：在直角坐标系中：1几何外形对称的均质物体，质心就是几何对称中心。几何外形对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2有些物体的质心能够不在所求的物体上。有些物体的质心能够不在所求的物体上。三、质心运动定理三、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic对对 t 求导，得：求导，得：MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 质心的动量等于质点系的总动量质心的动量等于质点系的总动量 留意留意由两个质点组成的质点系由两个质

20、点组成的质点系2121111dd:trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： 22ddtrmFiii2222212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 质心运动定理质心运动定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f上一张幻灯片 例题例题4-6 一长为一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 , 为常量，为常量，x 从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。Lx0 0 解解 取细杆的左端为坐标原点，在取细杆的左端为坐标原点，

21、在间隔坐标原点为间隔坐标原点为 x 处取微元处取微元 d x。xLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmxxLc32dd002 oxmdx 例题补充例题补充 如下图，浮吊的质量如下图，浮吊的质量M = 20 t，从岸上吊起，从岸上吊起m = 2 t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300 ，设杆，设杆长长l = 8 m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在程度方向上挪，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在程度方向上挪动的间隔。动的间隔。 取质心为坐标原点。设取质心为坐标原点。设 在由在由600 转到转到300 时，吊车在程度方向

22、上挪动的间隔为时，吊车在程度方向上挪动的间隔为x1 ，重物挪动的间隔为，重物挪动的间隔为x2 。 解解 取吊车和重物组成的系统为研讨取吊车和重物组成的系统为研讨对象。由于系统所受的合外力为零，质点对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心坚持原来的静止位置不动。系的质心坚持原来的静止位置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx在在 = 30 0 时：时：0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObam

23、Mcxl0302x1x0604.4 角动量定理角动量定理 sinmvrL 大小：大小：方向：由右手螺旋定那么确定方向：由右手螺旋定那么确定。SI 中中 ： kgm 2 / s质点的角动量与参考点的选择有关。质点的角动量与参考点的选择有关。定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时辰对的质点以速度在空间运动，某时辰对O 点点的位矢为的位矢为 ，那么它对，那么它对O 点的角动量点的角动量( 动量矩动量矩 ) 为：为：vrxyzom vvrL一、角动量一、角动量vmrprL1矢量性矢量性2相对性相对性 原点原点O 选取的不同，那么位置矢选取的不同，那么位置矢量不同，角动量也不同。量不同，

24、角动量也不同。1、质点角动量、质点角动量yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3 的直角坐标系中的分量式的直角坐标系中的分量式L4两个特例两个特例做圆周运动质点做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向： 与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系。与质点转动绕向成右手螺旋关系。L L做直线运动质点的角动量做直线运动质点的角动量 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。 vmrprL 大小：大小： sinmvrL 方向：由右手螺旋定那么

25、确定。方向：由右手螺旋定那么确定。t时辰质点对时辰质点对O点的角动量为：点的角动量为：vmrprL 大小：大小：2 sinrvmL 方向：与方向：与 同向。同向。L1假设物体作匀速直线运动，对同一参考点假设物体作匀速直线运动，对同一参考点O，那，那么么。CL 2假设假设O 取在直线上，那么：取在直线上，那么：。0 L sinrt 时辰质点对时辰质点对O点的角动量为：点的角动量为： mpr2 ormp sinrvm 讨论讨论2、质点系的角动量、质点系的角动量 iLL)( iipr质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。iiipr

26、L 二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理1、力矩、力矩FdFrM sin1大小：大小： ，d 为力臂。为力臂。方向：由右手螺旋定那么确定。方向：由右手螺旋定那么确定。 质量为质量为 m 的质点在力的质点在力 的作用的作用下作曲线运动。力下作曲线运动。力 对参考点对参考点O 的的力矩力矩 为为:FFMFrMSI 中中 ：NmOr MF sinr2在直角坐标系中在直角坐标系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3相对性：依赖于参考点相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。zyxFFFzyxkjiFr niFrFrFrM 214作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。作用于质点的

27、合外力矩等于合外力的力矩。MFrFFFrn 合合)(212、质点的角动量定理、质点的角动量定理prL 将角动量将角动量 对时间求导，可得：对时间求导，可得：tPrPtrdddd FrPv )(ddddPrttLtLFrMdd 质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。FrtL dd0 pv微分方式微分方式LtMdd 积分方式积分方式 2121ddttLLtML 21dtttML角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点遭到的角冲量。质点角动量的增量等于质点遭到的角冲量。 21tttM d 表示作用于质点上的力矩

28、在表示作用于质点上的力矩在t 2t 1内的内的时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩。 例题例题4-8 4-8 质量为质量为m m、线长为、线长为l l 的单摆，可绕点的单摆，可绕点O O 在竖直平面在竖直平面内摆动，初始时辰摆线被拉成程度，然后自在放下。求内摆动，初始时辰摆线被拉成程度，然后自在放下。求: : 摆线摆线与程度线成与程度线成角时，摆球所遭到的力矩及摆球对点角时，摆球所遭到的力矩及摆球对点O O 的角动量；的角动量； 摆球到达点摆球到达点 B B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 恣意位置时受力为：重力；张力。恣意位置时受力为：重力

29、；张力。由角动量定理由角动量定理 cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬时角动量：瞬时角动量：gm重力对重力对O O 点的力矩：点的力矩： cosmglM 方向：方向：张力对张力对O O 点的力矩为零。点的力矩为零。 ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr sin232glmL 。点点时时，当当小小球球到到达达2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL 三、质点系的角动量定理三、质点系的角动量定理 )(ddddiiprttL )dddd(tprptr

30、iiii )()(iiiifrFr )(iiifFr质点系所受的合外力矩质点系所受的合外力矩 质点系所受的合内力矩质点系所受的合内力矩 质点系角动量质点系角动量的时间变化率的时间变化率 微分方式微分方式LtMdd 质点系所受的合外力矩等于系质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率统角动量对时间变化率 。tLMdd 积分方式积分方式LtMtt21d 质点系角动量的增量等质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。于系统合外力矩的角冲量。tL/dd 只取决于系统所受的外力矩之和，只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改动系统内各质点而与内力矩无关，内力矩只改动系统内各质点的角

31、动量，但不影响系统的总角动量。的角动量，但不影响系统的总角动量。阐明阐明ijifrM 作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。0 MMOijfirjifd jr )(ddiiFrtL)( iiFrM令令 设第设第 i 个质点与第个质点与第 j 个质点个质点之间的相互作用力分别为：之间的相互作用力分别为：jiijff和和 两质点相对参考点的位置两质点相对参考点的位置矢量分别为：矢量分别为：jirr和和jijfrM 那么两个力对参考点的力矩那么两个力对参考点的力矩为为dfMij 大小：大小：dfdfMijij 大小：大小：方向：方向：方向：方向：4.

32、5 角动量守恒定律角动量守恒定律一、一、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律假设质点所受的合力假设质点所受的合力矩矩。，则则CLtL,M0dd0 假设对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，假设对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，那么此质点对该参考点的角动量坚持不变。那么此质点对该参考点的角动量坚持不变。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、孤立体，、孤立体，。外外外外0, 0 iiMf2、有心力，、有心力， 与位矢与位矢 在同不断线上，从而在同不断线上，从而 。外外f

33、r0 外外fr3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时， 那么质点的角动量沿此方向的分量守恒。那么质点的角动量沿此方向的分量守恒。则则例例：若若CLMxx ,0讨论讨论 rr |rr|S 21|rr |S 21 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，tt时间内时间内行星径矢扫过的面积行星径矢扫过的面积常常量量常常量量， tSLdd由于行星只受有心力作用，其角动量守恒由于行星只受有心力作用，其角动量守恒sin21rrS 例题例题4-9 4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星

34、利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积( (面积速度面积速度) )是常量。是常量。|trr |t|rr |tStdd2121limlimddS0t0t 面积速度面积速度: :mL|vmr |m|vr |22121 F Frv 例题补充例题补充 用绳系一小球使它在光滑的程度面上作匀速率圆用绳系一小球使它在光滑的程度面上作匀速率圆周运动，周运动， 其半径为其半径为r0 ，角速度为，角速度为 。现经过圆心处的小孔缓慢。现经过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球

35、的角速度。时小球的角速度。0 解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。 0=FrM所以小球对所以小球对O 点的角动量守恒。点的角动量守恒。00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr 由于绳对小球的的拉力由于绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，那么力那么力 对对O 点的力矩：点的力矩：CLM 时时，0二、质点系的角动量守恒定律二、质点系的角动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。之和为零时，质点

36、系对该点的角动量守恒。1质点系中各质点不受外力。质点系中各质点不受外力。合外力矩等于零可以分三种情况：合外力矩等于零可以分三种情况： 2质点系中各质点受的外力都经过参考点。各质点受的质点系中各质点受的外力都经过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。3各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。量和为零。 合外力为零不一定合外力矩等于零！合外力为零不一定合外力矩等于零！阐明阐明 例题例题 质量为质量为M，长为，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的的均匀细杆，可绕垂

37、直于棒一端点的 轴轴O 无摩擦地转动。假设细杆竖直悬挂，现有一质量为无摩擦地转动。假设细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆 组成的系统的动量能否守恒？对于过组成的系统的动量能否守恒？对于过 O点的轴的角动量能否守恒？点的轴的角动量能否守恒？F合外力不为零，那么系统的动量不守恒。合外力不为零，那么系统的动量不守恒。合外力矩为零，那么系统的角动量守恒。合外力矩为零，那么系统的角动量守恒。守恒条件：守恒条件：00 iiMF不不等等价价0 iF0 iM例例:1F2F0 iF0 iM1F2Fov

38、mLM NgMgmORR1r2r1v2v1 2 221121vmrvmrLLL 例题例题4-11 4-11 两人质量相等两人质量相等, ,位于同一高度，各由绳子一端开场位于同一高度，各由绳子一端开场爬绳，爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？ 解解 选两人及轮为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。 产生力矩的只需重力。产生力矩的只需重力。21MMM 外外gmrgmr 212211sinsin mgrmgrM 0)( RmgmgNgmgm22211

39、1sinsin rmvrmvL )(21RmvRmv 系统所受的合外力矩为零，那么角动量守恒。系统所受的合外力矩为零，那么角动量守恒。012 RmvRmv12vv 即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。mm20v 例题例题4-12 4-12 如下图，静止在程度光滑桌面上长为如下图，静止在程度光滑桌面上长为L L的轻质细杆的轻质细杆和和的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3 l/3 处的处的O O点在程度面桌面上转动点在程度面桌面上转动的小球以程度速度的小球以程度速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的

40、角速度 质量忽略不计两端分别固定质量为质量忽略不计两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为m2今有一质量为今有一质量为m质量为质量为m0v/ 2的速度前往，的速度前往， 解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O O点为参考点，各系统所受的合外力点为参考点，各系统所受的合外力矩为零。所以，系统的角动量守恒。矩为零。所以，系统的角动量守恒。 2032mllmv lv23 3223200lvm)l(m)lm(lmv223232解解 取小球与地球为系统，机械能守恒。取小球与地球为系统，机械能守恒。RMmGmvRMmGmv3212102020由角动量守恒得由角动量守恒得 sin

41、RmvRmv30联立解得联立解得0020129sinvMGRvR 129arcsin0020vMGRvR 例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A,以速度以速度v0沿质量为沿质量为M半径为半径为R的的地球外表切向程度向右飞出，地轴地球外表切向程度向右飞出，地轴OO 与与v0平行，小球平行，小球A的运的运动轨道与轴动轨道与轴OO 相交于点相交于点C,OC=3R,假设不思索地球的自转和假设不思索地球的自转和空气阻力，求小球空气阻力，求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。AmMRoo0vCv 4.6 碰碰 撞撞一、碰撞及其分类一、碰撞及其分类完全非弹性碰撞完全非弹性碰

42、撞 碰撞后粘在一同，不再分开，以一样的碰撞后粘在一同，不再分开，以一样的 速度运动，机械能损失最大。速度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的景象。、碰撞：物体之间相互作用时间极短的景象。不一定不一定接触接触2、碰撞的特点：、碰撞的特点：t 极短，内力极短，内力 外力外力3、碰撞分类、碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞 碰撞后形变消逝，无机械能损失。碰撞后形变消逝，无机械能损失。非弹性碰撞非弹性碰撞 碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能 变成内能。变成内能。无外力：动量守恒无外力：动量守恒 质点对质点质点对质点无外力矩：角动量守恒质点对定轴转动的刚体

43、无外力矩：角动量守恒质点对定轴转动的刚体二、守恒定律与碰撞二、守恒定律与碰撞质点与质点的碰撞质点与质点的碰撞动量守恒；动量守恒；质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守恒；机械能能否守恒，与碰撞种类有关，只需弹性碰量守恒；机械能能否守恒，与碰撞种类有关，只需弹性碰撞时，机械能守恒。撞时，机械能守恒。质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守恒，但角动量守恒；恒，但角动量守恒；1m2mv三、正碰三、正碰 两个小球相互碰撞，假设碰后的相对运动和碰前的相对运两个小球相互碰撞，假设碰后的相对运动和碰前的相对运动是沿同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。动是沿同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。1、碰撞定律、碰撞定律 设两个质量分别为设两个质量分别为m1、m2的小球，碰撞前两球的速度的小球，碰撞前两球的速度分别为分别为v10 、v20 ，碰撞后两球的速度分别为，碰撞后两球的速度分别为v1 、v2 。10v1m20v2m1v1m2v2m2f2m1f1m牛顿以为牛顿以为 碰撞后的分别速率碰撞后的分别速率 与碰撞前两球的接近与碰撞前两球的接近 速率速率 成正比，比值由两球的资料决议：成正比，比值由两球的资料决议：12vv 2010vv 201012vvvve e