傅立叶变换的概念

1、1参考文献参考文献1、傅里叶变换及其应用，罗纳德、傅里叶变换及其应用，罗纳德.N.布雷斯韦尔布雷斯韦尔 著，西安交通著，西安交通 大学出版社大学出版社2、复变函数与积分变换，哈尔滨工业大学数学系编，科学出、复变函数与积分变换，哈尔滨工业大学数学系编，科学出版社版社3、傅里叶变换，冷建华编著，清华大学出版社、傅里叶变换，冷建华编著，清华大学出版社4、实用、实用Fourier变换及变换及C+实现，孙鹤泉编著，科学出版社实现，孙鹤泉编著，科学出版社 积积 分分 变变 换换 主讲主讲 杨俊杨俊2第一章 傅里叶变换 第一章第一章 Fourier 变换变换1.2 单位脉冲函数单位脉冲函数1.1 Fouri

2、er 变换的概念变换的概念 1.3 Fourier 变换的性质变换的性质3第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算简化运算 ( ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等如求解微分方程、化卷积为乘积等等 ) )，又具有，又具有非常特殊的物理意义。非常特殊的物理意义。 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关级数的有关 内容，因此本节将先简单

3、地回顾一下内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。1.1 Fourier 变换的概念变换的概念因此，因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的基础上发4第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 1.1 Fourier 变换的概念变换的概念一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数二、非周期函数的二、非周期函数的 Fourier 变换变换5第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 一、周期函数的

4、一、周期函数的 Fourier 级数级数1. 简谐波的基本概念简谐波的基本概念)cos()(0 tAtx简谐波简谐波为基本为基本周期周期；02 T 210 TF为为频率频率。A 称为称为振幅振幅， 其中，其中，0 称为称为角频率角频率， 称为称为相位相位， ( ( 称为称为零相位零相位) )。0 ( (单位：秒单位：秒) )( (单位：赫兹单位：赫兹 Hz) )tbta00sincos 补补 6第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数2. 正交函数系正交函数系函数系函数系tntn0cos)( 1)(0 t tt01cos)(

5、tt022cos)( tntn0sin)( tt01sin)( tt022sin)( 补补 7第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 2. 正交函数系正交函数系特点特点 由由 组合叠加可以生成组合叠加可以生成周期为周期为 T 的复杂波。的复杂波。)(),(ttkk (1) 周期性周期性(2) 正交性正交性 2 /2 /,0d)()(TTtttnm 2 /2 /,0d)()(TTtttlk 2 /2 /,0d)()(TTtttlk )(lk 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数8第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 一、周期函数的一、周期函数的 F

6、ourier 级数级数2. 正交函数系正交函数系问题问题对于任何一个周期为对于任何一个周期为 T 的的( (复杂复杂) )函数函数 ，)(tfT 100)()()()(nnnnnTtbtatAtf ? 1000sincosnnntnbtnaA . )cos(100 nnntnAA 能否：能否：( ( Fourier级数的历史回顾级数的历史回顾) )9第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 区间区间 上上满足如下条件满足如下条件( (称为称为 Dirichlet 条件条件) )：2 /,2 /TT 则在则在 的的连续连续点点处有处有)(tfT(1) 连续或至多有有限个第一类间断点；

7、连续或至多有有限个第一类间断点；(2) 至多有有限个极值至多有有限个极值 .( ( Dirichlet 定理定理) )设设 是以是以 T 为周期的实值函数，且在为周期的实值函数，且在)(tfT定理定理3. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数在在 的的间断间断处，上处，上式右端为式右端为 .)0()0(21 tftfTT)(tfT10第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 ,20T 称之为称之为基频基频。( ( Dirichlet 定理定理) )定理定理3. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式,dcos)(2

8、2 /2 /0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)(22/2 /0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n, )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)称称 (A) 式为式为 Fourier 级数的三角形式级数的三角形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数11第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义,cosnnnAa ,sinnnnAb ，200aA ,22nnnbaA 令令则则 (A) 式变为式变为OnAnanb n , )sincos(2)(0100tnbt

9、naatfnnnT (A)改写改写一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P10-P11 )cos()(100nnnTtnAAtf 12第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 这些简谐波的这些简谐波的( (角角) )频率分别为一个基频频率分别为一个基频 的倍数。的倍数。0频率成份，其频率是以基频频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。”0 这是周期信号的一个非常重要的特点这是周期信号的一个非常重要的特点。4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义)cos()(100nnnTtnAAtf 认为认为 “ 一个周期为一个周期为 T 的周期信号

10、的周期信号 并不包含所有的并不包含所有的)(tfT意义意义周期信号可以分解为一系列周期信号可以分解为一系列固定频率固定频率的简谐波之和，的简谐波之和，表明表明一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数13第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 相位相位n反映了在信号反映了在信号 中中频率为频率为 的简谐波的简谐波)(tfT0n 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义反映了频率为反映了频率为 的简谐波在信号的简谐波在信号 中中0n)(tfT振幅振幅nA所占有的份额；所占有的份

11、额；沿时间轴移动的大小。沿时间轴移动的大小。一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数)cos()(100nnnTtnAAtf 14第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 5. Fourier 级数的复指数形式级数的复指数形式代入代入 (A) 式并整理得式并整理得根据根据 Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1( j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn . )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导, )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT

12、 (A)已知已知一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P10 15第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 5. Fourier 级数的复指数形式级数的复指数形式. )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导则有则有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12 /2 /0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)称称 (B) 式为式为 Fourier 级数的复指数形式级数的复指数形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数16第一章 傅

13、里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (1) 分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2) 计算系数计算系数 时时, 其中的积分可以在任意其中的积分可以在任意nc一个长度为一个长度为 T 的区间上进行。的区间上进行。(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。仅仅定义在某个有限区间上的函数。5. Fourier 级数的复指数形式级数的复指数形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数17第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 6. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图,00Ac ，221|22nnn

14、nnAbacc 得得OnAnanb n nbn nc2nc 2,200ac ,2nnnjbac 分析分析,2nnnjbac 由由即即 的模与辐角分别正好是振幅的二的模与辐角分别正好是振幅的二分之一和相位。分之一和相位。nc,argargnnncc . )0( n一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P11 0()F n ；称称 为为振幅谱振幅谱或频谱，记为或频谱，记为称称 为为相位谱相位谱.|2nnAc ncarg定义定义18第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 将振幅将振幅 、相位、相位 与频率与频率 的关系画成图形。的关系画成图形。0nnAncarg频谱图频

15、谱图6. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图O0()F n 0 02 03 04 O 0 02 03 04 argnC一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数19第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (1) 当当 n = 0 时，时，解解 基频基频. 120 T0c TTttfT0d)(1.d2120tt 2 /2 /d)(1TTTttfTO)(tfTt 2 220第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 解解 (2) 当当 时时,0 nnc 2 /2 /de)(10TTtjnTttfT jnttt20de21 jnttjn20de21 20e21jnt

16、tjn jnttjn20de21.nj TtjnTttfT0de)(10O)(tfTt 2 221第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (3) 的的 Fourier 级数为级数为 0.e)(nnjntTnjtf)(tfT解解0()nAF n ,0,2 | |,0.nnn (4) 振幅谱为振幅谱为argnc . 0,2, 0,2, 0, 0nnn相位谱为相位谱为O)(tfTt 2 222第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (5) 频谱图如下图所示。频谱图如下图所示。 解解1 22 1OnA O)(tfTt 2 21 22 1OargnC 2 /2 / 23第一章

17、 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 借助借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为信号的分析手段也称为频谱分析频谱分析(或者或者谐波分析谐波分析)。但是，但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函级数要求被展开的函数必须是周期函数，数， 而在工程实际问题中，而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分

18、析呢?二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换24第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数周期函数”。1. 简单分析简单分析t)(tfTt)(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 25第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 当当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；越来越大时，取值间隔越来越小；当当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成

19、份。因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以其频谱是以 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。T20 即频谱将连续取值。即频谱将连续取值。(2) 当当 时，时，频率特性频率特性发生了什么变化？发生了什么变化？ T二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析分析26第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？ T二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分

20、析tjnnTTtjnTTttfT00ede)(1lim2 /2 / 0n,n记为记为节点节点0, 将间隔将间隔记为记为得得T 220并由并由tjnnnTc0elim )(tf)(limtfTT 分析分析ttftjntjTnn ede)(lim21/0 )(tf(C)P2 27第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 分析分析则则按照积分定义，在一定条件下，按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为式可写为 )(gT记记,ede)(/tjtjTttf gnnT )(lim210)(tfttftjtjdede)(21 )(tf(3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生

21、了什么变化？ T二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析28第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 .d| )(| ttf(2) 绝对可积，即绝对可积，即),( 上的任一有限区间内满足上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；条件；(1) 在在二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换定理定理 设函数设函数 满足满足)(tf.)0()0(21 tftf的间断处，公式的右端应为的间断处，公式的右端应为在在2. Fourier 积分公式积分公式称称 (D) 式式为为 Fourier 积分公式积分公式。定义定义则在则在的连续点处，有的

22、连续点处，有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D)P3定理定理1 29第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (2) Fourier 逆变换逆变换( (简称简称傅氏逆变换傅氏逆变换) )(tf( )f称为称为傅氏变换对傅氏变换对，记为，记为与与( )( ).f tf二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换(1) Fourier 变换变换( (简称简称傅氏变换傅氏变换) )定义定义其中，其中，称为称为象原函数象原函数称为称为象函数象函数，)(tf( )f3. Fourier 变换的定义变换的定义P4定义定义1 注注 1、上述变换中的广义积分为柯西主值。上

23、述变换中的广义积分为柯西主值。 ( )f)(tf ttftde(j ) ( )f 11f ( 2)t de)(jtf 2、( )().2f tf 30第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 ( )f 反映的是反映的是 中各频率分量的分布密度，它中各频率分量的分布密度，它)(tfarg()()|()| e.jfff 二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换4. Fourier 变换的物理意义变换的物理意义与与 Fourier 级数的物理意义一样，级数的物理意义一样，Fourier 变换同样变换同样称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。| ( )|farg (

24、)f刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为一般为复值函数，故可表示为称称 为为频谱密度函数频谱密度函数；( )f定义定义P12 31第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 jjaja2)e(e2 aattdej aatjj e1)e(e1 jajaj sinsin22.aaaa ( )f ttftde)(j 解解)(tf(1)(tfa a1OtP6 例例1-2; P15 例例1-6 32第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 ( )f(

25、2) 振幅谱为振幅谱为 aaasin2arg ( )f anananan)22(|)12(,)12(|2, 0 相位谱为相位谱为解解 arg ( )fOaa| ( )|f2aO aa主瓣主瓣旁瓣旁瓣33第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 (3) 求求 Fourier 逆变换，即可得到的逆变换，即可得到的 Fourier 积分表达式。积分表达式。解解 dcossin221ta dsinsin22taj dcossin1ta .|, 0,|, 21,|, 1atatat. )0(,dsin axxxa dsin221etja ( )f 1，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式

26、: 在上式中令在上式中令注注( ).f t仅在连续点上式右端的值等于仅在连续点上式右端的值等于34第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 ，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式 : 在上式中令在上式中令. )0(,dsin axxxa 一般地，有一般地，有 .0,0,0,0,dsinaaaxxxa 特别地，有特别地，有.2dsin0 xxx 注注35第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 0)(dettj j 1.22 j 0)(e)(1tjj 1O)(tft( )f 0jdeettt 解解)(tf(1)例例1.1,例例1.5 36第一章 傅里叶变换1.1 Fou

27、rier 变换的概念 解解振幅谱为振幅谱为 221| ( )|;f(2)arg ( )arctan(/).f 相位谱为相位谱为| ( )|f a/ 1O arg( )f2/ 2/ O37第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 d221etjj )(tf解解 ()f 1 dcos1dsin1jtjtj dsin1t 0,10,00,1ttt)(tft 1 1 .2sgn jt.sgnt记为记为 例例，求，求 2j已知已知( )f t的傅氏变换为的傅氏变换为 ().f t38第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 18

28、07 年年 12 月月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由在有限区间上由任意任意图形定义的图形定义的任何任何函数函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人( (号称号称 3L) )审阅后，审阅后，认为其推导极不严密，被拒认为其推导极不严密，被拒( (锯锯) )收收。39第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 1811 年，年，Fouri

29、er 将修改好的论文：将修改好的论文：提交给法国科学院。提交给法国科学院。关于热传导问题的研究关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被大奖，但仍以其不严密性被论文汇编论文汇编拒拒( (锯锯) )收。收。经过评审小组经过评审小组( ( 3L ) )审阅后，认为审阅后，认为历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 40第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 1822 年，年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理论热的解析理

30、论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 41第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 1829 年，德国数学家年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较终于对一类条件较“宽宽”的的函数给出了严格的证明。时年函数给出了严格的证明。时年 24 岁。岁。 1830年年 5 月月 16 日，日，Fourier

31、在巴黎去世。在巴黎去世。启示：启示：(1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。(2) 坚持不懈的努力就一定会有收获。坚持不懈的努力就一定会有收获。历史回顾历史回顾 Fourier级数级数 附：附： 42第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 解析数论的创始人之一。解析数论的创始人之一。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。 对德国数学发展产生巨大影响。对德国数学发展产生巨大影响。德国数学家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介绍人物介绍 狄利克雷狄利克雷附：附：43第一章 傅里叶变换1.1 Fourier 变换的概念 1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。 1839年任柏林大学教授。年任柏林大学教授。 1855年接任年接任 C. F. 高斯高斯在哥廷根大学的教授职位。在哥廷根大学的教授职位。 1805年年2月月13日生于迪伦。日生于迪伦。 18221826年在巴黎求学。年在巴黎求学。中学时曾受教于物理学家中学时曾受教于物理学家 G. S. 欧姆欧姆。回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。回国后先后在布雷斯劳