数学建模-液滴高度问题

1、数学建模 -液滴高度问题1 / 14 2013年河南科技大学数学建模选拔赛承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从a/b/c 中选择一项填写）：b 队员签名：1. 于蕊瑞2. 高亚娟3.

2、王泽龙日期：2013 年 08 月 19 日数学建模 -液滴高度问题2 / 14 2013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注数学建模 -液滴高度问题1 / 14 液滴高度问题的求解一、摘要通过对题目的分析， 结合所学热工及其物理知识， 排除不相关因素后， 确立了以液体表面张力为研究重点的液滴接触角模型。首先采用逆向思维可以分析出影响接触角的因素有液体的表面张力，固体表面粗糙度， 液体分子间的相互作用力以及气体与液体间的作用力等。经资料查证和经验分析可知， 液体的表面张力是主导作用， 因此确立表面张力系数就是此次研究

3、的重点。通过对液体表面张力l及溶液和水平面接触角等的分析，建立了饱和高度hmax和极限高度hmin的数学表达式。 同时，通过对水平固体表面上液滴形态的合理性假设，利用几何学关系，并通过定积分给出了液滴饱和体积计算方程，得到液体的饱和体积公式。由于温度、液体密度、液体纯度同时对表面张力、表面张力系数产生影响，于是选取在常温下 0度到 180度的接触角范围内分别选取几个特殊数据点计算出了饱和高度、饱和体积、 极限高度及极限高度和饱和高度的比值，同时画出了完全不浸润的情况下液滴在水平固体表面的形态，考虑到温度对表面张力系数的绝对影响力，查资料得到液体表面张力系和温度的关系，并将其带入原来的模型， 从

4、而得到比较完整的求解模型。关键词：液体表面张力极限高度 young 方程椭圆拟合接触角饱和高度饱和体积饱和半径数学建模 -液滴高度问题2 / 14 二、问题重述在物理实验中发现一个有趣的现象如下：测量放在一种固体材料的水平平面上具有不同体积的液滴在静态时的高度时，发现当该液滴与固体的接触角0不变的情况下，随着液滴体积的递增，液滴的高度递增，直到液滴体积达到某个（在此称之为）饱和体积时，液滴高度达到最大值（在此称之为饱和高度） 。当液滴体积从饱和体积开始递增时，液滴的高度递减，而且随着体积的增大高度递减量越来越小，液滴高度似乎趋于一（在此称之为）极限高度。我们要建立一个针对不同材料表面，液滴的接

5、触角度不同的情况下， 求解液滴饱和高度、极限高度、饱和体积及极限高度与饱和高度的比值的模型。三、问题假设1、材料表面是理想光滑的并且绝对水平。 2 、重力加速度取值为9.78m/s 。 3 、温度为室温 20 摄氏度。 4 、实验在无风条件下进行， 即接触角不会发生动态变化，并且液滴保持静止。 5 、在标准大气压下进行试验。 6 、液体纯净不含杂质。 7 、试验台与海平面保持一致。 8 、不同界面间只存在界面张力。9、液滴体积较小时为球缺，体积较大时液滴边缘为椭圆状。四、符号说明s： 固体表面张力ls： 液固表面张力数学建模 -液滴高度问题3 / 14 l： 液体表面张力： 水平固体表面液滴与

6、水平面的接触角hmax： 饱和高度hmin： 极限高度： 溶液密度s ： 铺展系数p ： 表面压力r ： 饱和高度下液滴近似球体半径g ： 重力加速度v ： 饱和条件下液滴体积a : 饱和高度下液滴近似椭球体长轴半径b : 饱和高度下液滴近似椭球体短轴半径c : 饱和高度下液滴近似椭球体z 轴半径五、模型建立考虑液滴置于理想的固体表面上，在光滑且均匀的固体表面上滴一滴液体，通过固、液、气三乡交界点 a,沿液滴面引一切线， 切线和固体表面的夹角为接触角，从热力学观点看，液体落在固体表面时润湿情况，由young s方程：cos=(s-ls)/l，其中有固体表面张力s, 它倾向于是液滴铺展开来。 液

7、固表面张力ls，它倾向于使液滴收缩。以及液体表面张力l，如图所示，液滴的体积不变， 固液气三相的接触线在固体表面上的曲率半径分别为、1、2，液滴分别处于状态 a、b、c，对应的接触角为、1、2，考虑线张力的影响，由力学平衡可以得到：cos= coss-l1其中是线张力的合力， 在液滴体积不发生变化的条件下，三相接触线曲率半径的变化引起接触角的变化， 从而使得接触角不再是唯一的， 可以在某一范围内变化。当曲率半径趋于无穷大是，该方程就可以转化为young 方程，当液体可以完全润湿固体表面时， 接触角是唯一确定的。 以下我们就针对特殊情况时来讨论。数学建模 -液滴高度问题4 / 14 通过对液滴与

8、固体表面接触分析得知，液滴最终能达到静态平衡并具有一定的外形，主要受到使液滴铺展开来的固体表面张力s，使液体收缩的液固表面张力ls，以及液体表面张力。经过分析查证可知润湿有三种类型，即沾湿、浸湿与铺展，又有润湿角的影响以及能量分析得出结论：=180o 完全不润湿90o 不润湿90o 润湿=0o 完全润湿0o 三力失去平衡，润湿方程不适用润湿情况下具体受力图如下不润湿情况下，接触角大于90 度在此情况之前该液体高度可能一直增加，直至达到饱和高度， 且认为在饱和高度处受力平衡，为球缺状态。此时体积为饱和体积，如果体积再度增加，高度反而下降， 下降规律使其存在极限高度。对整个过程建立数学模型时， 体

9、积是重要影响因素， 形态是重点研究对象。 通过实际液滴图像发现， 小体积液滴边缘为圆形，随着液滴提及的增加边缘更接近于椭圆。于是便采用圆或椭圆方程的拟合算法更能获得精确的数据，而且计算简单，容易理解，能方便、快速、有效地处理相对位置和偏转。 通过研究，考虑液滴体积较小时水珠边缘为圆形可使用基于数学建模 -液滴高度问题5 / 14 圆拟合的算法， 在体积较小的情况下有较高的精确度，但对液滴体积较大时该算法误差相对较大。 当液滴中体积增加时液滴边缘近似为椭圆，欲采用直接拟合法获得椭圆参数，用以提高计算精度。通过仿真拟合得知椭圆不能满足题目的需求，并且液滴体积较小 (5ul)，水珠图像边缘接近于圆，

10、因此该题用圆拟合。液滴处于理想状态，有 young方程s=ls+l*cos得cos=（s-ls）/l立体关系画出平面图young 方程结合受力分析得铺展系数s= -(ls+l-s)=0。如若体积超过饱和体积，高度必然下降，s0。直至达到某一最小高度数学建模 -液滴高度问题6 / 14 应用热力学知识，采用功能关系式得到结合数学知识得到r=(r-hmin)/ cos 化简后有 r=hmin / (1-cos ) 再结合压力方程 p=l (1-cos ) / hmin液滴底层受到重力作用与hmin有关，最终整理得hmin=gl/)cos1(则r=hmin/(1- cos)=gl/ )cos1 (/

11、 （1- cos ）又由资料得知cos =1- （gh2max/2l) 得饱和高度hmax=gl/ )cos1 (2计算饱和体积由球缺的面积积分可知dv=x2dy=(r2-y2)dy 数学建模 -液滴高度问题7 / 14 v缺=rrhmax dv=dyrrxhmax2=dyrryr)hmax22( =rh2max-31h3max则题目第一问极限高度的表达式为hmin=gl/)cos1(六、模型求解利用上述模型，分别计算了水在不同的材料表面上，利用c+ 计算得出接触角为 10、20、30 180 度的情况下的各个数据如下：角度高度比半径饱和体积极限高度饱和高度10 1.414e+000 3.13

12、0e-002 2.213e-008 3.363e-004 4.756e-004 20 1.414e+000 1.571e-002 4.343e-008 6.700e-004 9.475e-004 30 1.414e+000 1.054e-002 6.310e-008 9.986e-004 1.412e-003 40 1.414e+000 7.977e-003 8.048e-008 1.320e-003 1.866e-003 50 1.414e+000 6.456e-003 9.501e-008 1.631e-003 2.306e-003 60 1.414e+000 5.457e-003 1.0

13、63e-007 1.929e-003 2.728e-003 70 1.414e+000 4.757e-003 1.143e-007 2.213e-003 3.130e-003 80 1.414e+000 4.245e-003 1.189e-007 2.480e-003 3.507e-003 90 1.414e+000 3.858e-003 1.203e-007 2.728e-003 3.858e-003 100 1.414e+000 3.562e-003 1.190e-007 2.956e-003 4.180e-003 110 1.414e+000 3.331e-003 1.155e-007

14、3.161e-003 4.470e-003 数学建模 -液滴高度问题8 / 14 将上述数据与结论进行对比分析可知，液体饱和直径随着接触角变化有一定的规律。于是将上述表格用spss 拟合图形得出饱和半径于接触角的变化曲线如下：120 1.414e+000 3.150e-003 1.105e-007 3.342e-003 4.726e-003 130 1.414e+000 3.010e-003 1.046e-007 3.497e-003 4.945e-003 140 1.414e+000 2.903e-003 9.864e-008 3.626e-003 5.128e-003 150 1.414e

15、+000 2.825e-003 9.318e-008 3.727e-003 5.271e-003 160 1.414e+000 2.770e-003 8.883e-008 3.800e-003 5.374e-003 170 1.414e+000 2.739e-003 8.603e-008 3.844e-003 5.436e-003 180 1.414e+000 2.728e-003 8.507e-008 3.858e-003 5.457e-003 数学建模 -液滴高度问题9 / 14 同时可以归纳出极限高度与接触角的变化曲线，结果如下：数学建模 -液滴高度问题10 / 14 以上均是浸润情况下

16、，在完全不浸润即接触角为180 度时，液滴为球形：其实由于重力等因素的存在，液滴的实际存在状态为椭球形：七、误差分析在该模型的建立过程中， 我们较好的讨论了模型的普通形式和其特殊形式，例如液滴的椭圆模型和圆模型，因为接触角在35度以上适合用椭圆模型， 35 度以上适合用圆模型， 但因椭圆模型涉及较为复杂的运算，故只是较为详细的讨论了圆模型， 这样势必就会引起一些误差，也就是不足之处， 另外一个较好之处是运用了单一变量法，通过不同的液体，简单的测出所需数据，建立模型，进而求解模型。当然，在该模型中还存在一些缺点，比如说在刚才提到过所使用的圆模型，数学建模 -液滴高度问题11 / 14 不可避免的

17、会引起误差，还有young定理也是在理性情况下，没有使用普通公式。另外，接触角的测量肯定也存在系统误差，最后，在计算液滴体积时，存在着绝对误差。影响液体表面张力系数的因素有温度，材料，粗糙度，液体浓度，液体纯度以及液体的浸润性等。八、参考文献1、关于线张力对液滴固体接触角的影响问题应用基础与工程科学学报 2009年第四期（ 6）2、严应政李国华杨氏方程推导应用中的几个疑点及其他西北建筑工程学院学报3、朱海 邓若鹏 陈元杰利用一套新的控温装置对液体表面张力系数与温度关系的研究复旦大学物理系4、朱海 邓若鹏 陈元杰设置控温装置研究液体表面张力系数与温度的关系 复旦大学物理系5、 液体表面张力系数与

18、温度的关系的实验研究谭兴文 西南大学 物理科学与技术学院6、 赵修建多孔tio2薄膜自洁净玻璃的亲水性和光催化活性高等学校化学学报7、 卿涛 邵天敏 温诗铸相对湿度对材料表面粘附力影响的研究摩擦学学报 2006 九、附录运算时采用 c+6.0，运算程序如下：#include #include #define pi 3.1415926 void main() int angle = 10; double hmax18; double hmin18; double h; double r18; double v18; int i; printf(hmax:n); for( i = 0; i 18; i+) hmaxi = sqrt( 2.0 * 0.0728 * (1 - cos(angle * pi / 180) / 9780.0); printf(%0.3en , hmaxi); angle = angle + 10; 数学建模 -液滴高度问题12 / 14 printf(nnhmin:n); for(i = 0; i 18; i+) hmini = hmaxi / sqrt(2); printf(%0.3en,hmini); angle = 10; printf(nnh:n); for(i = 0; i 18; i+) h=hmaxi/hmini; printf(%0.3e