数学必修二第二章测试题(含答案)

1、时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日必修二第二章综合检测题之巴公井开创作时间：二o 二一年七月二十九日一、选择题1若直线 a 和 b 没有公共点 , 则 a 与 b 的位置关系是 ( )a相交b平行 c异面 d 平行或异面2平行六面体abcd a1b1c1d1中, 既与 ab共面也与cc1共面的棱的条数为( )a3 b4 c5 d63已知平面 和直线 l, 则 内至少有一条直线与l( )a平行b相交c垂直d异面4长方体 abcd a1b1c1d1 中, 异面直线 ab,a1d1所成的角即是( )a30b45c60d905对两条不相交的空间直线a 与 b, 必存在平面

2、, 使得( )aa? ,b ? ba? ,b ca,b d a? ,b 6下面四个命题：其中真命题的个数为( )若直线 a,b 异面,b,c异面 , 则 a,c 异面；若直线 a,b 相交,b,c相交 , 则 a,c 相交；若 ab, 则 a,b 与 c 所成的角相等；若 ab,bc, 则 ac.a4 b3 c2 d17在正方体abcd a1b1c1d1中,e,f 分别是线段a1b1,b1c1上的不与端点重合的动点, 如果 a1e b1f,有下面四个结论：ef aa1 ；ef ac ；ef 与 ac异面； ef 平面abcd.其中一定正确的有( )abcd8设 a,b 为两条不重合的直线 ,

3、, 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( )a若 a,b 与 所成的角相等 , 则 abb若 a,b , , 则abc若 a? ,b ? ,a b, 则 时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日d若 a,b , , 则ab9已知平面平面, l, 点 a,a ?l, 直线ab l, 直线ac l, 直线m ,n , 则下列四种位置关系中, 纷歧定成立的是 ( )aab m bac mc ab d ac 10已知正方体abcd a1b1c1d1 中,e、f分别为 bb1 、cc1的中点 , 那么直线 ae与 d1f所成角的余弦值为( )a45b .35c.34d35

4、11已知三棱锥dabc的三个正面与底面全等, 且 ab ac 3,bc2, 则以 bc为棱, 以面 bcd 与面 bca为面的二面角的余弦值为( )a.33b.13c0 d1212如图所示, 点 p 在正方形abcd所在平面外 ,pa平面abcd,pa ab,则 pb与 ac所成的角是 ( )a90 b60c45 d 30二、填空题三、13下列图形可用符号暗示为_14正方体abcd a1b1c1d1中, 二面角 c1abc 的平面角即是 _15设平面平面,a,c,b,d, 直线ab与 cd交于点 s,且点 s位于平面 , 之间 ,as8,bs6,cs12, 则 sd _.16将正方形 abcd

5、 沿对角线 bd折成直二面角abd c,有如下四个结论：ac bd ；acd是等边三角形；ab与平面 bcd成 60的角；ab与 cd所成的角是60.其中正确结论的序号是_三、解答题 ( 解承诺写出文字说明, 证明过程或演算步伐)17如下图 , 在三棱柱abc a1b1c1中, abc与a1b1c1都为正三角形且aa1 面 abc,f、f1 分别是 ac,a1c1的中点求证： (1) 平面 ab1f1 平面 c1bf ；(2)平面 ab1f1平面 acc1a1时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日18如图所示 ,在四棱锥 pabcd 中,pa平面abcd,ab 4,b

6、c3,ad5, dab abc 90,e是 cd的中点(1) 证明：cd 平面 pae ；(2) 若直线 pb与平面 pae所成的角和pb与平面 abcd所成的角相等 , 求四棱锥 pabcd 的体积19如图所示 , 边长为 2 的等边 pcd 所在的平面垂直于矩形abcd 所在的平面 ,bc22,m 为 bc的中点(1) 证明：am pm ；(2) 求二面角 pam d的年夜小20 如图, 棱柱 abc a1b1c1的正面 bcc1b1 是菱形,b1ca1b.(1) 证明：平面ab1c 平面 a1bc1 ；(2) 设 d是 a1c1上的点 , 且 a1b 平面 b1cd,求 a1ddc1的值

7、21如图, abc中,acbc 22ab,abed是边长为 1 的正方形 , 平面 abed 底面 abc,若 g,f 分别是 ec,bd的中点(1) 求证：gf 底面 abc ；(2) 求证：ac 平面 ebc ；(3) 求几何体 adebc 的体积 v.22 如下图所示 , 在直三棱柱abc a1b1c1中,ac3,bc4,ab5,aa14, 点 d是 ab的中点(1) 求证：ac bc1 ； (2) 求证：ac1 平面 cdb1 ；(3) 求异面直线ac1与 b1c所成角的余弦值必修二第二章综合检测题1d2cab 与 cc1为异面直线 , 故棱中不存在同时与两者平行的直线, 因此只有两类

8、：第一类与 ab平行与 cc1相交的有： cd 、c1d1与 cc1平行且与 ab相交的有： bb1 、aa1,第二类与两者都相交的只有bc,故共有 5 条3c当直线 l 与平面 斜交时 , 在平面 内不存在与l 平行的直线, a错；当 l ? 时, 在 内不存在直线与l 异面, d 错；当 l 时, 在 内不存在直线与l 相交无论哪种情形在平面时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日 内都有无数条直线与l 垂直4d由于 ad a1d1,则bad 是异面直线ab,a1d1所成的角 , 很明显bad 90.5b对选项 a,当 a 与 b 是异面直线时 ,a 毛病；对选项

9、b,若 a,b不相交 , 则 a 与 b 平行或异面 , 都存在 , 使 a? ,b ,b 正确；对 选 项c,a,b , 一 定 有ab,c毛 病 ； 对 选 项d,a? ,b , 一定有ab,d 毛病6d异面、相交关系在空间中不能传递, 故错； 根据等角定理, 可知正确；对 , 在平面内 ,a c, 而在空间中,a 与 c 可以平行, 可以相交 , 也可以异面 , 故毛病7d如图所示由于aa1 平面 a1b1c1d1,ef ? 平面 a1b1c1d1,则 ef aa1,所以正确；当e,f 分别是线段a1b1,b1c1 的中点时,efa1c1,又 ac a1c1,则 ef ac,所以不正确；

10、当e,f 分别不是线段 a1b1,b1c1的中点时 ,ef 与 ac异面, 所以不正确； 由于平面a1b1c1d1 平面abcd,ef ? 平面a1b1c1d1, 所以ef 平面abcd, 所以正确8d选项 a 中,a,b还可能相交或异面, 所以 a 是假命题；选项b中,a,b还可能相交或异面, 所以 b 是假命题；选项c中, , 还可能相交 , 所以 c是假命题；选项 d中, 由于 a, , 则 a或 a? , 则 内存在直线l a, 又 b, 则 bl, 所以 ab.9c如图所示：ab l m ；ac l,m l ? ac m ；ab l? ab .10、3511c取 bc中点 e,连 a

11、e 、de,可证 bc ae,bc de,aed 为二面角 abc d的平面角又 aeed 2,ad2, aed 90, 故选c.12b 将其还原成正方体abcd pqrs, 显见 pb sc,acs 为正三角形, acs 60.13 ab1445 如图所示 , 正方体 abcd a1b1c1d1 中, 由于 bc ab,bc1 ab,则c1bc是二面角 c1abc的平面角又 bcc1是等腰直角三角形 , 则c1bc 45.15、9时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日如下图所示 , 连接 ac,bd,则直线 ab,cd确定一个平面acbd. , ac bd,则ass

12、bcssd, 8612sd, 解得 sd 9.16如图所示 , 取bd中点 ,e 连接 ae,ce,则 bd ae,bd ce,而ae ce e,bd 平面aec,ac ? 平面 aec,故 ac bd,故正确设正方形的边长为a, 则 ae ce 22a.由知 aec 90是直二面角abd c 的平面角 , 且aec90, ac a,acd是等边三角形 , 故正确由题意及知 ,ae平面bcd,故abe是 ab与平面 bcd所成的角 , 而abe 45, 所以不正确分别取 bc,ac的中点为 m,n,连接 me,ne,mn.则 mn ab,且 mn 12ab12a,mecd,且 me 12cd

13、12a,emn是异面直线ab,cd所成的角在 rtaec中,aece 22a,aca,ne 12ac 12a. men是正三角形 , emn 60, 故正确17(1) 在正三棱柱abc a1b1c1中,f、f1 分别是 ac 、a1c1的中点, b1f1 bf,af1c1f.又b1f1 af1 f1,c1fbf f平面ab1f1 平面 c1bf.(2)在三棱柱abc a1b1c1中,aa1平面a1b1c1, b1f1 aa1.又b1f1 a1c1,a1c1 aa1 a1b1f1 平 面acc1a1,而b1f1? 平面 ab1f1 平面 ab1f1 平面 acc1a1.18(1) 如图所示 ,

14、连接 ac,由 ab 4,bc3, abc 90, 得ac 5.又 ad 5,e 是 cd的中点 , 所以 cd ae.pa 平面 abcd,cd ? 平面 abcd, 所以 pa cd.而 pa,ae是平面 pae内的两条相交直线, 所以 cd 平面 pae.时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月二十九日(2) 过点 b作 bg cd,分别与ae,ad相交于 f,g, 连接 pf.由(1)cd平面pae知,bg平面 pae.于是bpf为直线 pb与平面 pae所成的角 , 且 bg ae.由 pa 平面 abcd 知, pba为直线 pb与平面 abcd 所成的角ab4,a

15、g2,bgaf,由题意 , 知pba bpf,因为 sin pba papb,sin bpf bfpb, 所以 pabf.由dab abc 90知,adbc,又bg cd,所以四边形bcdg 是平行四边形 , 故 gd bc 3. 于是 ag 2.在 rtbag中,ab4,ag2,bgaf,所以bg ab2 ag2 25,bfab2bg1625855. 于是pabf855.又梯形 abcd 的面积为 s12(53)4 16, 所以四棱锥pabcd 的体积为v13spa 1316855128515.19 解 析 (1) 证 明 ： 如 图 所 示 , 取 cd 的 中 点 e, 连 接pe,em

16、,ea,pcd为正三角形 ,pe cd,pe pdsinpde 2sin60 3.平面 pcd 平面 abcd,pe 平面 abcd, 而 am ? 平面 abcd, pe am.四边形 abcd 是矩形 ,ade,ecm, abm均为直角三角形 , 由勾股定理可求得em3,am6,ae3em2 am2 ae2.am em.又 pe em e,am 平面pem, am pm.(2) 解：由 (1) 可知 em am,pm am,pme是二面角 pam d的平面角tanpme peem331, pme 45.二面角 pam d的年夜小为45时间：二 o 二一年七月二十九日时间：二 o 二一年七月

17、二十九日20(1) 因为正面 bcc1b1 是菱形 , 所以 b1c bc1,又已知 b1c a1b,且 a1b bc1 b,所以 b1c 平面 a1bc1,又 b1c ? 平面 ab1c所以平面 ab1c 平面 a1bc1 .(2) 设 bc1交 b1c于点 e,连接 de,则 de是平面 a1bc1与平面b1cd的交线因为a1b 平面b1cd,a1b ? 平面a1bc1,平面a1bc1 平面b1cd de,所以 a1b de.又 e是 bc1的中点 , 所以 d为 a1c1的中点即a1d dc1 1.21 解 (1) 证明：连接ae,如下图所示adeb为正方形 ae bd f,且 f 是

18、ae的中点 ,又 g是 ec的中点 gf ac,又 ac ? 平面 abc,gf ?平面 abc,gf 平面 abc.(2) 证明： adeb为正方形 , eb ab,又平面abed 平面abc,平面 abed 平面abc ab,eb? 平面 abed,be 平面 abc,be ac.又ac bc 22ab,ca2 cb2 ab2,ac bc.又bc be b,ac 平面bce.(3) 取 ab的中点 h,连 gh, bc ac 22ab 22,ch ab,且 ch 12, 又平面 abed 平面 abcgh 平面 abcd, v1311216.22 解析 (1) 证明：在直三棱柱abc a1b1c1中, 底面三边长 ac 3,bc4,ab5, ac bc.又c1c ac.ac 平面bcc1b1b