数系的扩充与复数的引入

1、1 第四节数系的扩充与复数的引入考纲传真 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，br)的数叫复数，其中a 叫做复数 z的实部， b 叫做复数z的虚部 (i 为虚数单位 )(2)分类：满足条件 (a，b 为实数 )复数的分类abi 为实数 ? b0abi 为虚数 ? b0 abi 为纯虚数 ? a0 且 b0 (3)复数相等： abicdi? ac，bd(a，b，c，dr)(4)共轭复数： abi 与 cdi 共轭? ac，bd(a，

2、b，c，dr)(5)复数的模：向量oz的模叫做复数 zabi 的模， 记作|z|或|abi|， 即|z|abi|a2b2(a，br)2复数的几何意义复数 zabi复平面内的点 z(a，b)平面向量 oz(a，b)3复数的运算(1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dr. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形 oz1zz2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即ozoz1oz2，z1z2oz2oz1. 2 常用结论 1(1 i)2 2i，1i1ii，1i1ii.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn*

3、)；i4ni4n1i4n2i4n30(nn*)4z z |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.基础自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打“”，错误的打“”) (1)复数 zabi(a，br)中，虚部为 bi. () (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小() (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数() (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. () 答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编 )如图所示，在复平面内，点 a表示复数 z， 则图中表示 z的共轭复

4、数的点是 () aabbccddb共轭复数对应的点关于实轴对称 3(教材改编 )设 mr，复数 zm21(m1)i 表示纯虚数，则m的值为 () a1 b1 c 1 d0 a由题意得m210m10，解得 m1，故选 a. 3 4复数12i2i() ai b1i ci d1i a12i2i12i 2i2i 2i5i5i. 5(教材改编 )设 x，yr，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，则复数 zxyi 在复平面上对应的点位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限d由题意知xy2x3y，y12y1，解得x4，y2.则复数 z42i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选d. 复

5、数的有关概念1(2018 全国卷 )设 z1i1i2i，则|z|() a0b.12c1d.2 cz1i1i2i1i21i 1i2ii，所以 |z|1. 2(2018 浙江高考 )复数21i(i 为虚数单位 )的共轭复数是 () a1i b1i c1i d1i b21i2 1i1i 1i1i，4 所以复数21i的共轭复数为 1i，故选 b. 3(2017 天津高考 )已知 ar，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则 a 的值为 _2ar，ai2iai 2i2i 2i2a1 a2 i52a15a25i 为实数，a250，a2. 规律方法 解决复数概念问题的策略1 复数的分类、复数的相等、复数的模，

6、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi a，br 的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程组 即可.2 求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z， 然后利用复数模的定义求解. 复数的运算?考法 1复数的乘法运算【例 1】(1)(2018 全国卷)(1i)(2i)() a3i b3i c3i d3i (2)(2016 全国卷 )设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则 a() a3 b 2 c2 d3 (3)若 a 为实数，且 (2ai)(a2i)4i，则 a() a1 b0 c1 d2 (1)d

7、(2)a(3)b(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故选 d.(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知 a212a，解得 a3，故选 a.(3)因为(2ai)(a2i)4i，5 所以 4a(a24)i4i.所以4a0，a244.解得 a0.故选 b. ?考法 2复数的除法运算【例 2】(1)(2018 天津高考 )i 是虚数单位，复数67i12i_. (2)(2018 江苏高考 )若复数 z 满足 i z12i，其中 i 是虚数单位，则 z的实部为 _(1)4i(2)2(1)67i12i67i 12i12i 12i6147i12i54i.(2)z12ii12i ii i2i故 z

8、 的实部为 2. ?考法 3复数的综合运算【例 3】(1)(2019 太原模拟 )设复数 z 满足1z1zi，则 z的共轭复数为 () ai bi c2i d2i (2)(2016 全国卷 )若 z43i，则z|z|() a1 b1 c.4535i d.4535i (3)若复数 z满足 2z z 32i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于() a12i b12i c12i d12i (1)a(2)d(3)b(1)由1z1zi 得 1zizi.即(1i)z1i，则 z1i1ii，因此 z i，故选 a.6 (2)z43i， z 43i，|z|42325，z|z|43i54535i.(3)设 za

9、bi(a，br)，则 z abi，所以 2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i，所以3a3，b2，解得a1，b2，所以 z12i，故选 b. 规律方法 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略1 复数的乘法 .复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可.2 复数的除法 .除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式 .3 复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简， 一般化为 abi a， br的形式，再结合相关定义解答. (1)(2019 合肥模拟 )已知 i 为

10、虚数单位，则2i 34i2i() a5 b5i c75125i d75125i (2)(2019 惠州模拟 )已知复数 z的共轭复数为 z ， 若 z (1i)2i(i 为虚数单位 )， 则 z() ai bi1 ci1 di (3)(2019 南昌模拟 )设 z的共轭复数是z ，若 z z 2，z22i，则 z() a.1212i b.1212i c1i d1i (1)a(2)c(3)d(1)法一：2i 34i2i105i2i5，故选 a.7 法二：2i 34i2i2i234i2i 2i34i 34i55，故选 a.(2)由已知可得 z 2i1i2i 1i1i 1i1i，则 z1i，故选 c

11、.(3)对四个选项逐一验证可知，当z1i 时，符合题意，故选d. 复数的几何意义【例 4】(1)(2018 北京高考 )在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)(2019 郑州模拟 )若复数 (1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限， 则实数 a 的取值范围是() a(， 1) b(， 1) c(1，) d(1， ) (1)d(2)b(1)11i1i1i 1i1i21212i，所以11i的共轭复数为1212i，在复平面内对应的点为12，12，位于第四象限，故选d.(2)复数(1i)(ai)a1(1a)i，其在复平面内对应的点(a1,

12、1a)在第二象限，故a10，1a0，解得 a1，故选 b. 规律方法 与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数 abi 与复平面上的点a，b 一一对应 . (1)(2019 广州模拟 )设 z1i(i 是虚数单位 )，则复数2zz2在复平面内对应的点位于 () 8 a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)在复平面内与复数z5i12i所对应的点关于虚轴对称的点为a，则 a 对应的复数为() a12i b12i c2i d2i (1)a(2)c(1)因为 z1i， 所以2zz221i(1i

13、)22 1i1i1i12ii22 1i22i1i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选a.(2)依题意得，复数 z5i 12i12i 12ii(12i)2i，其对应的点的坐标是 (2,1)，因此点a(2,1)对应的复数为 2i. 1(2017 全国卷 )下列各式的运算结果为纯虚数的是() ai(1i)2bi2(1i) c(1i)2di(1i) ca 项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数b 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数c 项，(1i)212ii22i，是纯虚数d 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选 c. 2(2017 全国卷 )复平面内表示复数zi(2i)的点位于 () a第一象限 b第二象限c第三象限d第四象限czi(2i)12i，复数 z12i 所对应的