第二章多元函数微分法及其应用第六节多元函数的极值与最值

1、第六节第六节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值1多元函数的极值多元函数的极值2多元函数的最值多元函数的最值3条件极值条件极值一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf 或2243yxz 221zxyyxz )

2、,(),(00yxyxfz在点在点 的某邻域内有的某邻域内有说明说明: : 使偏导数都为使偏导数都为 0 0 的点称为的点称为驻点驻点 . . 例如例如, ,定理定理1 1 ( (必要条件必要条件) )函数函数偏导数偏导数, ,证证: :据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. .0),(,0),(0000 yxfyxfyx取得极值取得极值 , ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点. .有驻点有驻点( 0, 0 ), ( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值. .且在该点取得极值且在该点取得极值 ,

3、, 则有则有),(),(00yxyxfz在点在点 存在存在),(),(00yxyxfz在点在点因因 在在),(0yxfz 0 xx 故故在在),(0yxfz 0yy yxz 时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当a0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的的在点在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000 yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcy

4、xfbyxfayyyxxx 02 bac02 bac02 bac例例1.1. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组abc ),(yxfx09632 xx ),(yxfy0632 yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 a,0 b,6 c,06122 bac5)0,1( f,0 axyxyxyxf933),(2233 在点在点

5、( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 a,0 b,6 c,06122 bac)0,3( f6,0,12 cba31)2,3( f,0)6(122 bac,0 a在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12 cba)2, 1 (f,0)6(122 bacabc例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解:在在(0,0)点邻域内的取值可能为点邻域内的取值可能为, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时时当当 yx222)

6、(yxz 0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz 222)(yxz 在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 有有 02 bac33yxz 0)()0 , 0()0 , 0(222 yxz显然显然(0,0)(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点 , ,二二 多元函数的最值多元函数的最值函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 区域内的驻点区域内的驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 在区域函数只有一个极值点在区域函数只有一个极值点p 时时, 为极小为极小 值值为最小为最小 值值( (大大) )

7、( (大大) )依据依据当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有唯一的一个驻点且只有唯一的一个驻点p 时，时，则驻点一定是最值点。则驻点一定是最值点。经判别得经判别得( )f p( )f p解解xyo6 yxd如图如图, , ),(yxfx0)4(22 yxyxxy ),(yxfy0)4(22 yxyxx, 2|64 xxy,64)2 , 4()4(, 0)6(, 0)0( fgggxyo6 yxd)4(),(2yxyxyxfz 60 x例例4.4.解解:则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在

8、定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx 2 ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx0)(222 xxya0)(222 yyxa因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233 箱箱,设水箱长设水箱长, ,宽分别为宽分别为x , ,y m , ,则高为则高为例例5.5.有一宽为有一宽为 24cm 24cm

9、的长方形铁板的长方形铁板 , ,把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 , a cos2224xx x224 (21 sin) x sincossin2sin2422xxx 积最大积最大. )0,120:(2 xd为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面x24x224 x cos24x cos22x 0)sin(cos222 x令令 xa sin24 sin4x 0cossin2 x a解得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值在定义域d 内达到内达

10、到, ,而在域而在域d 内只有内只有一个驻点一个驻点, ,故此点即为所求故此点即为所求. .,0sin 0 xsincossin2sin2422xxxa)0,120:(2 xd0cos212 xx0)sin(coscos2cos2422 xx(cm)8,603 x 三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转

11、化转化,0),(下下在条件在条件 yx 的极值的极值求函数求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出中解出从条件从条件)(,(xxfz ,0),(下下在条件在条件 yx 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值的极值求函数求函数yxfz 0),( yx , )(xy )(,(xxfz 例如例如,故故 0dddd xyffxzyx,ddyxxy 因因0 yxyxff yyxxff 故有故有 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅

12、助函数f 称为称为拉格朗日拉格朗日( lagrange )函数函数.0 xxxff 0 yyyff 0 f利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf 0 yyf 0),( yx 则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxff 因此因此函数函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的极值点下的极值点一定是函数一定是函数),(),(),(yxyxfyxf 的驻点。的驻点。推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方

13、程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(21zyxzyxzyxff 021 xxxxff 021 yyyyff 021 zzzzff 01 f01 f例例6.要设计一个容量为要设计一个容量为0v则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解:下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件 xf02 zyyz yf02 zxxz zf0)(2 yxyx f00 vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材

14、料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0vzyx yxzyzxs )(2)()(20vzyxyxzyzxf xyz设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,得唯一驻点得唯一驻点,2230vzyx 3024v 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为,340vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口

15、水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20vzyxyxzyzxf 2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .例例7求原点到曲面求原点到曲面22 xyz的最短距离。的最短距离。解解问题可以转化为求函数问题可以转化为求函数222zyxu 在条件在条件022 xyz的最小值问题，的最小值问题， 令令)2(2222 xyzzyxf 02 yxfx 02 xyfy 022 zzfz 022 xyzf 得驻点得驻点2 yx0 z所以最短距离为所以最短距离为222(2,2,0)2dxyz例例8求原点到曲线求原点到曲线1, 122 zyxyx短最长距