有限区间内的正态分布

1、有限区间内的正态分布云南省曲靖农业学校刘弘如果随机变量E的分布函数为八 1 e令，则称E服从于寸22正态分布，其中的取值区间为一:：:X-:。由于许多随机变量是在有限区间内取值的，尽管他们的分布具有中间密、两侧疏和左右对称 的特点，用X作为他们的分布密度函数，在不同程度上都会失去其 精确性，为此有必要寻求有限区间内的正态分布密度函数。 本文论述 有限区间内的正态分布密度函数，并论述他与无限区间内的正态分布 密度函数的一致性，以及这种分布的概率计算问题有限正态分布密度函数如果随机变量 的取值区间为- a a , a 0，并且他的分布密度函数为"-a ： x ： " a其余(1

2、)(2k+1! /-1)k (x-叮 J fk(x)2kd1k! * a a2 一0K=0, 1, 2, 3,则称E服从于有限正态分布，在不失一般性的情况下，设卩=0,得 到有限区间（-a,a）内的正态分布密度函数:'(2k+1! ,(-1)k ；x2J其余fk(x)才 2宀k! aa2J0显然fk x具有如下基本性质：性质1 fk（x）的图象关于直线x=0对称;性质2 x在区间（：，；）内,fk x -0;性质4今对性质4证明如下:公式引理k对于任何fk X = 2k TH -12k1k!a'2、丄-12 I0 丿k(k=1,2,3, ),递推,“xfk(x),fkxdx =

3、 2k 1 fkxdx都成立。事实上,按照分部积分法有fk x dx = xfk x - xdfk x22k 1 k!aa2 1.xdfkx = .2k時2 k! a2k 丄三/ 2x-22Adx a-12Adxa=2k fk x dx - 2k Tfk 4 x dx由此fk x d xfk x - 2k fk x dx 2k Tx dx移项整理后得"恥站fk'xdx。所以(3)式成立。下面证明性质4：1当“0时x%斗f 22 I<a丿a 1dxdx = 1。J 2a2设K二n-1性质4成立，即._fn/ xdx=1,则K=n时，按照递推公式(3),得到axfn X a

4、f fn(X0X = J fn(XdX = +®/2n 1 -a/ 2 X_ 12 I<ax 2n 1! -1 n2n 1 2n 1 n! a-Hefn_1 X dXana1=1-a根据数学归纳法原理，对于任何 K (K=0 , 1, 2)都有由于fk x具有以上四个基本性质，他可以作为有限正态分布的分布密度函数，他的函数图形如下:上面我们作出了 a =1,k =0,1,2,3,4,5时的有限正态分布密度函数的 图形，分别称为零阶有限正态分布、一阶有限正态分布、二阶有限正 态分布、，可以看出，零阶有限正态分布就是均匀分布。二、有限正态分布与无限正态分布的一致性为了分析有限正态分

5、布与无限阶正态分布的一致性， 我们先计算 有限阶正态分布的方差，根据方差的定义，当数学期望J =0时，有限正态随机变量'的方差为-a2'a_a2k 1! -1ka2k1k!.*. ,k +2 k 1 a 2k 3!-1匚J ak 1fc-1aa2k 3 2k 2 k 1 ! a k2、kx2 1 dxa ”害-12 k!a22k 12k +3"21一4= 2k+3 2k+3产a2D =2k +3afk 1 x dx afk x dx2adx(4)再设有限区间-a,a内的正态分布和无限区间内的正态分布有相同的方差，即2=打2或 a = 2k 3 二2k 3(5)将（5）

6、式代入（2）式得(2k +1)!(-1)k:x2fk(x)=2k + k!i 01(2k +3讯(2k + 3 莎 2k-1x21戶-2 二:二其余不难证明lim fk x e(6)事实上，在区间 -a,a内fk X 帯 k!2112k 3 2c由（5）式可知，当a时,k匚根据斯特林公式n!-2二n" 2e可以得到 1妬(2k+12kek41fk x，22k12二k2k1e环2k1k2k'1e2k2存21 (2k+1 了2k +1 2k +1 ) 莎© 12k +3丿、2k 人 2k 丿1 + F1 +工2,3,3k +-k + - 2 一i2x22ke3X2一2/

7、、2k'21e,2k|1I 2k丿- 2 -12-2 nxxx22t e 2°",1十2豚33k +k +- 2 一L. 2；k时,1,1,2k +1 ¥I T l2k + 3 丿2k 1T2kx2二aimfk（xAimfk（x）=e 咯x2由（6）式可知，fk x和x =1 eW的关系实质上是正态分布、2兀6式成立。KCS"随机变量在有限区间和无限区间内取值的两种具体分布密度函数，对于分布在有限区间内的正态分布随机变量，用fk x作为它分布密度函数，更加精确地反映其分布特征。三、有限正态分布的应用前面的论述中，我们假定有限正态随机变量数学期望为

8、=0,在一般情况下o，根据坐标平移公式，的分布密度函数如式（1）所示，即(21! (-1)k(x-叮 | 2讥！ aa2'0- a ： x ： a其余显然，的方差仍然是2z aD =2k +3我们称以式（1）为分布密度函数的随机变量服从于K阶有限正态分布，记作©N比其中："为的数学期望；K为分布密度函数的阶数；a为 取值区间长度之半。特别，当-0,a=1时,我们用 X代替fk X ,即kX =/1*ki o- 1 : X : 1其余相应的方差为12k 3如果以匚X为它的分布密度函数，则称服从于标准有限正态分布'记作ENf2kM。根据随机变量分布函数的定义,2

9、k + 3 丿，则它的分布函数为:oFk (x )= P© vx )=* (心 fk(x dx1如果 - N 0,:為】，则它的分布函数为:叽(x)=PG<x)=tL®k(x dx1x乞-1_ 1 ： X 乞 11 :： X不难证明：Fk（x）=%y；（10）l a丿由（10）可知，一般有限正态分布的分布函数值，可用标准有限 正态分布的分布函数值求得。应用递推公式（3），可计算出各阶标准 有限正态分布的分布函数表。四、计算实例对某种棉花纤维长度进行测定，纤维长平均值为29.83mm,统计 均方差为1.045mm，最长和最短的纤维长分别为 32.8mm和26.8mm，

10、试求：纤维长度超过28mm的概率。解：设棉花纤维长度为随机变量，且匕N。< 2k+3 丿已知亠-29.8，初定 32.8 - 26.8 =3.2a 1.04522a23/=ct 2 - k=2k 3，2二22将a =3 =1.045代入上式,得3232.622-k必须取正整数，.取k =3.再计算a的值，得a 一； 2k 3 =1.045 2 3 3 =3.135.比小琵 (3.1352 "所以匕 N 29.83,<2乂3+3丿纤维长超过28mm的概率为：P(E :>28) = 1 _P& "8)=1_F3(28)=1_©3 28 _” = _打 28_29.83 jl a .丿< 3.135 丿=1 - 3 - 0.584由于无表可查，可由递推公式（3）求出3 - 0.584之值即。即_0.584