离散小波变换

1、1.离散小波变换长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地 震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种 快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个 研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT和DWT的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究， 可参考文献2。1.1离散小波变换DWT1.1.1离散小波变换DWT及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号，记-

2、jk (x) =2一"2 "2X _ k)，'-：jk(x) T-i/G&Tx-k)，这里(x)与(x)分别称为定标函数与子波函数，jk(X)与p jk (x)为二个正交基函数的集合。记Pof=f,在第j级上的一维 离散小波变换DWT(DiscreteWavelet Transform)通过正交投影 Pjf与Qf将Pj-f分解为：Pj 丄f =Pj f Qj fck k 二 dkjjkkk:P： .j Pif -其中：ck= S h(n)c2“，dkj= S g(n曲窃(j=1,2,L,k =0,1,N/2j1)，这里,h(n)n =0n =0与g(n)分别

3、为低通与高通权系数，它们由基函数 jk(x)与f jk(x)来确定，p为权系数的长度。cn0为信号的输入数据，n为输入信号的长度，l为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2,这称为“间隔取样”。算法22.3 维离散小波变换串行算法输入：co=do(co0, c10,cn-10)h=(h 0, h1,，hL-1) g=(g 0, g1,，g)输出：cj , dij (i=0, 1,，N/2j-1, j > 0)Begin(1) j=0, n=N(2) While (n> 1) do(

4、2.1)for i=0 to n-1 docij+1 =0, d ij+1 =0(2.1.2)for k=0 to L-1 do电 i) mod n，d/ 1gkdj(k -2 i) mod nend forend for(2.2)j=j+1, n=n/2end whileEnd显然，算法22.3的时间复杂度为O(N*L)。在实际应用中，很多情况下采用紧支集小波(Compactly Supported Wavelets),这时相应的尺度系数和小波系数都是有限长度的，不失一般性设尺度系数只有有限个非零值： h1, ,hN，N为偶数，同样取小波使其只有有限个非零值：g!, ,gN。为简单起见，设尺

5、度系数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列：C0二xn,n =1,2，M (其余点的值都看成0)，它的离散小波变换为：Ck = ' Cn hn _2kn Z -dk + =Z Crj gn/kn.Zj =0,1，J -1其中J为实际中要求分解的步数，最多不超过logzM，其逆变换为C*二 ' Ck hn _2k V Ck hn-2kk目k目j = J, ,1注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列，上述和实际上都只有有限项。若完全按照上述公式计算，在经过J步分解后，所得到的 J+1个序列dkj, j = 0,1，J -1和ck的非零项的个数之和一般要大于M,究竟这个项

6、目增加到了多少？下面来分析一下上述计算过程。j=0时计算过程为1 MCk 二 xnhn_2kn=1Mdk 二' xng n_2kn土不难看出，C：的非零值范围为：k =N+11,0件11,即有 k2|2 Ik =-； T + |M =J T 个非零值。dk的非零值范围相同。继续往下分解时，非零项出 现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如，若输入序列长度为100，N=4，则d：有51项非零，d2有27项非零，d3有15项非零，d：有9项非 零，dk有6项非零，d6有4项非零，c6有4项非零。这样分解到 6步后得到的序列的非 零项个数的总和为116，超过了输

7、入序列的长度。在数据压缩等应用中，希望总的长度基本 不增加，这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。可以采用稍微改变计算公式的方法，使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零项数相等，并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长（增加非零项），因而称为延拓法。只需考虑一步分解的情形，下面考虑第一步分解（j=1）。将输入序列作延拓，若 M为偶数，直接将其按 M为周期延拓；若 M为奇数，首先令xM t =0。然后按M + 1为周期延拓。作了这种延拓后再按前述公式计算，相应的变换矩阵已不再是H和G,事实上这时的变换矩阵类似于循环矩阵。例如，当M=8，N=4时矩阵H变为:h3h400

8、00h2hh2h3h4000000h1h2h3h4000000h1h2h3h4h3h40000h2当M=7, N=4时矩阵H变为：h3h40000hihh2h3h400000hih2h3h400000hih2h3h3h40000hi从上述的矩阵表示可以看出， 两种情况下的矩阵内都有完全相同的行，这说明作了重复计算，因而从矩阵中去掉重复的那一行不会减少任何信息量，也就是说，这时我们可以对矩阵进行截短（即去掉一行），使得所得计算结果仍然可以完全恢复原输入信号。当M=8，N=4时截短后的矩阵为：-h3h40000hih2hh2h3h40000H00hh2h3h4000000hih2h3h4当M=7，

9、N=4时截短后的矩阵为h3h40000hhh2h3h4000H=00h1h2h3h400000hih2h3这时的矩阵都只有葺行。分解过程成为:c1 = HC0D1 二GC0向量C1和D1都只有 M 个元素。重构过程为：|2C -H *C1 G* D1可以完全重构。矩阵H , G有等式H*H + G*G = I一般情况下，按上述方式保留矩阵的M I行，可以完全恢复原信号。|2 I这种方法的优点是最后的序列的非0元素的个数基本上和输入序列的非0元素个数相同，特别是若输入序列长度为2的幕，则完全相同，而且可以完全重构输入信号。其代价是得到的变换系数Dj中的一些元素已不再是输入序列的离散小波变换系数，对某些应用可能是不适合的，但在数据压缩等应用领域，这种方法是可行的。Begin对所有处理器my_rank(my_rank=0, , , p-1)同时执行如下的算法：(1) j=0；(2) while (j<r) do(2.1) 将数据c*(n =0,1,，N/2j _1)按块分配给p台处理器(2.2) 将处理器i+1中前L-1个数据发送给处理器i(2.3) 处理器i负责cn*和dn出(n =iN帀,，(i +1)N帀一1)的计算(2.4) j=j+1end whileEnd这里每一步分解后数据c 1和dnj 1已经是按块存储在P台处理器上，因此算法第一步中的数据分配除了