因式分解和分式

1、中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解、因式分解的意义:因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式; 因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01 下列四个从左到右的变形，是因式分解的是()2A. (x 1)(x-1)=x -1 B (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)23C. ab - a -b 1 = (a -1)(b -1) D . m - 2m - 3 = m(m - 2 ) m、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：如果多项式的第一项

2、系数是负的一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数为正；公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数；字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01 在下面因式分解中，正确的是()2 2 2A. x y 5xy _ y = y(x 5x) B . a(a _ b _ c) b(c _ a b) c(b _ a c) = _ (a _ b _ c)C. x2(2 _a)+x(a _2) =x(2 _a)(x _1) D . 2ab2 _4ab3 _ab = 2ab(b2 _2b2 _1)例02.把-8x4y 6x3y2 -2x3y分解因式的结果为。323例 03.分解因式

3、：-6(x_y) 18(y-x) -24(y-x).说明：观察题目结构特征对于(x-y)与(y-x)的符号有下面的关系：”x - y = -(y -x),2 2(x-y) =(y-x),(x -y)3 = -(y -x)3例 04.解方程：(12x 6)(23x-18) 6(12x)(13 - 23x) = 02m - n = 3,23例05.不解方程组丿求：5n(2m-n)2-2(n-2m)3的值.4m +3n =1,类型二、公式法1、 利用 平方差公式 因式分解:a2_b2 = (a+bj(a_b)I注意：条件：两个二次幕的差的形式； 平方差公式中的 a、b可以表示一个数、一个单项式或 一

4、个多项式; 在用公式前，应将要分解的多项式表示成a2-b2的形式，并弄清a、b分别表示什么。例如：分解因式：2 2 2 2 2(1)1-9x ；(2)4a -169b ；(3) (m n) -4(m-n)2、利用完全平方公式 因式分解：a2 ± 2ab十b2 = (a 土 b 丫注意：是关于某个字母(或式子)的 二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式； 中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数)； 使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间” 的步骤，把二次三项式整理成2 2 2 a _2ab b =(a_b)公式原型，弄清 a、b分别表示的量。典型例题：例1用平方差

5、公式分解因式：(1) -9x2 (x _y)2 ；(2)1 m2 _3n23说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数 。例2分解因式：(1) a5b-ab ；(2) a4(m n)-b4(m n).说明：将公式法与提公因式法 有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例4把下列各式分解因式： -x2 4x-4 ； 42xy-49x2-9y2-m2 -4n2 4mn说明：使用完全平方公式时，要 保证平方项前的符号为 正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5分解因式：2 2 2 2 2 2 2 3ax 6axy 3ay . 24a b -6(a b )说明：分解

6、因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止例6分解因式：(m -2n)2 -6(2n -m)(m n) 9(m n)2 ； a4 -8a2b2 16b4 ；(m2 2m)2 2(m22m) 1. a4T4a2b3 49b6说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用 .例7若x说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2因式分解： a2x a2y b2x b2y ；(2) mx mx2 _n_nx说明：(1)把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一； 分组的

7、方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；2(a 4)x 25是完全平方式，求a的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“ a、b”便可自如求解.1 2 1 2 例8已知a 2，求 a ab b的值.2 2说明：将所求的代数式变形，使之成为a b的表达式，然后整体代入求值 .例 9 已知 x -y =1， xy = 2，求 x分组时要用到添括号法则，注意在添加带“”的括号时，括号内每项要变号；例3分解因式：(1) 1 -X2 4xy _4y2 ；(2) x2 _ a2 2ab _b2 ； a2 _ 4b2 _ a _ 2b说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分

8、组的方法之一；。y-2x2y2 xy3 的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于 xy与x-y的式子，再整体代入求值.例10证明：四个连续自然数的积加 1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数3x + 2y = 422例11已知x和y满足方程组丿 丫，求代数式9x2-4y2的值。6x_4y = 3类型三、分组分解法1、条件当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。2、原则分组后能继续分解(即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的)。3、方法按有

9、公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：组内提公因式或运用公式；组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟且灵活多变.2 2例如： am-©n+bm+br；x-y +2x+1.例1选择题：对2m mp np 2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是()(A (2m 2n n p) mp ( B) (2m np) (2n mp) ( C (2m 2n) (mp np) ( D) (2m 2n mp) np例4分解因式：322 5x -15x -x 3 7x -3y xy-21x说明：根据“对应系数成比例”的原则

10、合理分组，可提高分解的速度。例5把下列各式分解因式：2 2 2 2 2 2 2（1）xy-xz-y2yz-z; （ 2） a-b-c-2bc -2a1 ；（ 3）x 4xy 4y-2x-4y1.说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速 .例6分解因式：（1） x（x -1）（x -2） -6 ；（2） ab（x2 1） x（a2 b2）说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去 括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。 a25a 6 ； m2 3m10.

11、x2 x2 ；2 x 一 2x -15.类型四、关于x+（p+q）x+pq型二次一项式的因式分解事实上： x +(p+q)x+pq =x +px+qx+pq =(x +px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q).所以：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例1分解因式:(1) (a b)2 5(a b) 4 ；2 2(2) p -7pq 12q .例3分解因式： p2 5pq 6q2 p 3q ； a2 - 4b2 a 2b 4bc-c2 -c专题二、分式知识点一分式的概念及基本性质1.分式餉槪念；形如三 5、B是整式，且B中舍方宁母"二3

12、萌式子口式.其中，A 口 口分式的分子E 口 分式的分母.z 余武有春义的杂徉扎 因決）两式丰目隆的除式不音总泊零且R分盘的分垣不盲总淘嚳冋FHiG 分 式有意文的条件是T 分式的命母0须不等于零，艮卩分式二 有意义-B3-分式的1直初零的条件分子等于6分母不等于6二者鎂一不可.分式的基本性质4.分式的分壬扁分母古呂乘以£或除以了同一个不等于零的整式，令式的值不査.月二几4用式子表示为：二打川:;L !'（其中M0）.5.约分和最简分式（1）分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分（2）最简分式：分式的分子和分母已没有公因式，这样的分式我们称为最简分式例1.若分

13、式1 X 1 一1的值为零，贝U x的值等于x_1规律总结:要使分式有意义，只要分式的分母不为零即可，与分式的分子无关；若要求分式的值何时为零，就应该 两个条件：一是分式的分子为零；二是确保分式的分母不为零在解题时应注意检验分母的值是否为零针对训练:1. 写出一个含有字母 X的分式（要求：不论 X取任何实数，该分式都有意义） .知识点二分式的运算1.分式加减法运算（1）分式加减法运算，先判断类型，再进行运算i）分母相同宦再同分母运算“）若分母为“土占和必±4 3土”和0±町1即9土矿和3±小"的形式，可通过呦 皿匕）及心 3-以册正奇馥豌桐分母运甄1匕i

14、ii ）其余为异分母的运算.（2）分式加减法运算，通分后，都可化为同分母的运算，实质进行的分子的加减法运算，注意其中的符号和括号的 问题.（3）注意分式运算最后的结果为最简分式，分子、分母有公因式要进行约分2. 分式的混合运算先确定运算顺序，先计算乘方，再算乘除，再计算加减有括号的要先计算括号里的，最后结果要写为最简分式a b a + b例2.计算（一一）*的结果为（）ba 一A abr a b_ aba bA.B .C .Dbbaa思路点拨：先通分，再去括号，化除为乘，能够月份的要约分，结果要化成最简分式或整式规律总结：分式的混合运算同分数的混合运算类似，先算乘方，再算乘除，最后加减，如有小

15、括号，先算括号内的。在运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配率等，运算结果必须是最简分数或整式。知识点三分式的化简求值题例 3.先化简，再求值： (一 1)*，其中 x = 1.(1)x -2x x -4x+4x -2x思路点拨：先利用分式的运算法则将分式进行化简，再代人求值规律总结：化简求值历来是中考的热点，化简是关键，化简的过程中一定要注意运用分式的性质，同时注意运算顺序.化简过程中要特别防止在性质符号上出现错误，从而导致一着不慎而全盘皆输的局面针对训练:知识点四分式运算的新情景问题_3x - 6x 亠 2例4.小敏让小惠做这样一道题：“当x =2、3 7时，求 2-> 22的值

16、”.小惠一看：“太复杂了，怎x-4 x +4x+4么算呢？”，你能帮助小惠解这个题吗？请写出具体过程.知识点五解可化为一元一次方程的分式方程例5.解分式方程52x2 3x2 x -x=0思路点拨：方程的最简公分母是 x(x3)(x-1)，将方程两边都乘以最简公分母，使分式方程转化为整式方程规律总结：解分式方程常见的错误是漏掉建议所得未知数的值是否为增根这一重要步骤，另外去分母时，两边都乘以最简公分母时，也易发生漏乘常数项的错误针对训练:知识点六 列分式方程解实际应用题例6.金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书从投标书中得知：2甲队单独完成这项工程所需天

17、数是乙队单独完成这项工程所需天数的2 ;若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、3乙两队合作30天可以完成(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为 50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用， 需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由思路点拨：本题考查工程问题的常见解法，在认清工程问题的常见的等量关系后，合理设取未知数，正确表达其他 未知数2解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要2x天.3根

18、据题意，得10 1 130(一 -) =1，解得 x=90 .2 2 x-x_x3 3经检验，x=90是原方程的根.-?x=?x90 =6033答.甲、乙两队单独芫威这项工程各需要00天和的天.设甲、乙两队合作完戚这项H程需要y天-则v+ ）=1 -解y=3S.祈吏施工賛用；36X（O.84-KJ. 66）-50. 4（万元）./ 50. 4>50,工程预算的施工费不懿用，需追加预聲0. 4万元.规肄总结：本题考査了构造分式右程棋型解应用题.解题过程中也是必滇檢验解出的根是不是原方程的增根，然后再看是不是符合题意最新考题中考考点：了解分式的概念，会用分式基本性质进行约分和通分，熟练掌握简

19、单的分式加减乘除运算和应用.掌握解分式方程的基本方法会利用分式方程解决实际问题试题特点：对分式的有关概念、性质及运算的考查，以选择题、填空题居多，尤其对分式的化简求值考查较多.考查可化为一次方程的分式方程的解法及实际应用题多以解答题形式出现.题量约占总题量的 4 % .命题趋势：分式化简求证及具有鲜活的时代背景列可化为一元一次方程的分式方程的运用，将仍会在2011中考题中出现.考题11要使分式芦有意义，则x应满足的条件是B. X 1C.X考题2（2009年陕西省）化简（a - b ） a的结果是（a a b)A a -b B .C.1a -bD.考题3（2009年黄冈市）化简4-I *ia2a

20、+2 丿 a的结果是（)A.C.2aD.2a考题(|y-1r 1、X 一的结果是（)A -上B.XXC.D.X丿< y丿Xyy4 （2009威海）化简12龙文教育教务管理部考题5. （2009年滨州）化简:m2 -4mn 4n2m2 _4n2考题6.(2009 年内江市)已知 5x2 3x _5 =0，则 5x2 _2x15x _2x 5考题7. （2009年成都）化简:丄22x y x -yx -3y x2 -6xy 9y2考题& （2009年成都）分式方程丄的解是3xx +1考题9. （2009年山西省）化简:x2 2x 2x2-4 x-2考题10（2009年本溪）“五一”期

21、间，九年一班同学从学校出发，去距学校行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍.（1）求步行同学每分钟走多少千米？（2） 右图是两组同学前往水洞时的路程y （千米） 与时间x （分钟）的函数图象.完成下列填空：表示骑车同学的函数图象是线段；已知A点坐标（30,0），则B点的坐标为（）.1 a11考题11 （2009年衡阳市）先化简，再求值：a（4 - ），其中a=.a 2aa 23考题12 . （ 09湖南邵阳）已知M = jxy 2、N = x2 y2 ,用“ +” 或“-”连接 M、 x - yx- yN，有三种不同的形式:M N、M -N、N -M，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x : y=5 : 2