材料力学学习指导与练习

1、材料力学学习指导与练习第二章2.1预备知识、基本概念1、轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。2、轴力和轴力图轴向拉压杆的内力称为轴力， 用符号fn表示。当fn的方向与截面外向法线方向一致时， 规定为正，反之为负。求轴力时仍然采用截面法。求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。设正法在以后求其 他内力时还要到。为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。作法是：以杆的左端为坐标原点，取X轴为横坐

2、标轴，称为基线，其值代表截面位置，取Fn轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。3、横截面上的应力根据圣维南（Saint-Venant）原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。4、斜截面上的应力与横截面成、卫角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力c的关系为：角的符号规则：杆轴线 x轴逆时针转到截面的外法线时，-为正值；反之为负。切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发90°后，其方向和切应力相同时

3、，该切应力为正值；反之为负值。当a =0°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当:-=± 45°时，切应力达到极值。5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律（1）等直杆受轴向拉力 F作用，杆的原长为I，面积为A，变形后杆长由I变为1+厶1，则 杆的轴向伸长为 用内力表示为上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。用应力与应变表示的虎克定律为；E ；（2 ）在弹性范围内，杆件的横向应变£ 和轴向应变£有如下的关系；式中的称为泊松（Poisson）比（横向变形系数

4、）。6、材料在拉伸和压缩时的力学性质6.1低碳钢在拉伸时的力学性质：(1) 低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。(2) 低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服(或流动)现象，颈缩现象和冷作硬化现象。(3 )低碳钢在拉伸时的特点(图 2 1):a. 比例极限d p：应力应变成比例的最大应力。b. 弹性极限d e：材料只产生弹性变形的最大应力。c. 屈服极限d s：屈服阶段相应的应力。d. 强度极限d b：材料能承受的最大应力。(4)低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率 Sli 一1100%工程上通常将S _5%的材料称为塑性材料，将 S 5%的材料称为脆性材料。

5、断面收缩率'' =A- 100%A6.2工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以 匚0。2表示，称为名义屈服极限。6.3灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。6.4材料在压缩时的力学性质：(1 )低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限d s与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。(2 )灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。6.5破坏应力：塑性材料以屈服极限d s (或d 0.2)为其破坏应力；脆性材料以强度极限d b为其破坏应力。7、强度条件和安全系数材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以d 0

6、表示。对于塑性材料，匚0 -；s对于脆性材料，为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力(称为工作应力)的最大 值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如(1) 荷载值的确定是近似的；(2) 计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；(3) 实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；(4) 公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；(5) 结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标 准荷载。所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示,0称为安全因数，所得结果称为许应力，即U二(2 1

7、4)n对于塑性材料，应为t.' 1 = (2 15)对于脆性材料，应为bs(216)n bc式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。8、简单拉压超静定问题超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅 仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。多余约束数目，称之为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。求解超静定问题的步骤：(1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数(2)

8、列出全部独立的平衡方程(3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程(4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未 知力。拉压超静定问题大致有三类：a. 桁架系统b. 装配应力c. 温度应力二、重点与难点1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。3、超静定问题的求解(1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件(2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。同时，假 设的内力符号应和变形一致。2.2典型题解计算题1、变截面杆受力如图，P=20kN。A1=400mm2

9、 , A2=300mm2，A3=200mm2° 材料的 E=200GPa。 试求：(1)绘出杆的轴力图；(2)计算杆内各段横截面上的正应力；计算A端的位移。解：杆的轴力图如图所示，各段的轴力Ni=-10kN , N2 = VOkN , N3 =10kNF N(2)各段横截面上的正应力为(3) A端的位移为计算题图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻?解：BD斜杆受压力为Fbd，由平衡方程得:F BDF Lh cos-为了满足强度条件，BD杆的横截面面积 A应为BD杆的体积应为JT显然，当时，V最小，亦即重量最轻。4三、计算题图所示拉杆

10、由两段胶合而成，胶合面为斜截面 m-m。其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力日=62MPa，许用切应力=38MPa，拉杆的横截面面积 A = 500mm?。 试求最大拉力的数值。解：拉杆的横截面的应力斜截面正应力强度条件：拉力F应满足斜截面切应力强度条件：拉力F也应满足所以最大拉力四、计算题图示为埋入土中深度为I的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。试确定桩的总压缩量，以F, L, E，A表示。dy解：(1)求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 整条桩的摩擦力为由平衡条件可知2FI2(2)确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面

11、上的轴力为 其中，微段dy的压缩量为所以桩的总压缩量为讨论应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时,在L长度内的轴力Fn和截面积A都应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。五、图示一结构，由刚性杆 AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆 的刚度分别为EiAi和E2A2。试求杆EC和FD的内力。FBF解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。(1) 静力方面取隔离体如图，设两杆的轴力分别为Fn1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即ZM A =

12、 ° , FN1 a FN2 2a F 3a = 0(1)(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕 A点顺时针转动，由此，杆 EC和FD产生 伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到 C'和D'点。设杆EC的伸长为CC'= 1 , FD的伸长为DD'= 2,由图可知，它们有几何关系：这就是变形谐调方程或变形条件。(3) 物理方程根据胡克定律，有F N1FN2E2 A2E1A1这是物理方程。将式(3)代入式(2)，得F N1F N2EAEA2将方程 和方程(1)联立求解，即得结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。2.

13、3练习题一、概念题1选择题（1）现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构 中两种合理选择方案是（）A 1杆为钢，2杆为铸铁C 2杆均为钢B 1杆为铸铁，2杆为钢D 2杆均为铸铁轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是（）A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布P2112（4）图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将（）A 平动B 转动C不动D平动加转动有A、B、C三种材料，其拉伸应力应变实验曲线如图所示,E大，曲

14、线（）材料的强度高，曲线（立（）材料的弹性模量 ）材料的塑性好。（6）材料经过冷作硬化后，其（）。A弹性模量提高，塑性降低B弹性模量降低，塑性提高C比例极限提高，塑性提高D比例极限提高，塑性降低计算题li=l3=300mm，b=400mm，1、图为变截面圆钢杆 ABCD，己知Pi=20kN，P2=P3=35kN， di=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。B-A- - 1 P1-P2ii2、己知变截面杆，1段为di=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3 段为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生匚2 =30M

15、Pa的应力，E=210GPa,求此杆的总缩短量。答:(4A2-d2iliI24A2二 d23I3) 1 ., . . .* . 2 .a-.* 一 .一 亠.3.* .0.2mr0.4m0.2m3、一横面面积为102mm2黄铜杆，受如图 2 51所示的轴向载荷。黄铜的弹性模量 E=90GPa。试求杆的总伸长量。答：待计算.6kN45kN60kN9kN0.5m1 1mJ一1.5m1*si44、杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量 E=200GPa,泊松系数卩=0.3。1. 作内力图；2. 求最大伸长线应变；3求最大剪应力。2kN4kN n 5kN1kNpJ1400

16、r400500答：待计算5、当用长索提取重物时，应考虑绳索本身重量。如绳索的弹性模量为E,重力密度为丫及许用拉应力为b ，试计算其空悬时的最大许用长度；并计算此时的总伸长变形。答:I门k22E-6、 图示一三角架，在节点B受铅垂荷载F作用， 其中钢拉杆AB长h=2m，截面面积 Ai=600mm2，许 用应力日1 =1 6 M P a,木压杆BC的截面面积 A2=1000mm ,许用应力日2 =7MPa。试确定许用荷载F。答：许用荷载F=40.4kN7、一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应变片，用以测量试件的应变。试验时，荷载F增加 3kN 时，测得 J =120 10"6,

17、 ；2 二-36 10-6 ,求该试件的E, 和G三个常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。答：=0.3, E = 208GPa ,G = 80GPa8、图示一三角架，在节点 A受F作用。设杆 AB为钢制空心圆管，其外径 DAB=60mm，内径 dAB =48mm ,杆AC也是空心圆管，其内、外径比值也是0.8,材料的许用应力二=160MPa。试根据强度条件选择杆 AC的截面尺寸，并求出 F力的最 大许用值。答：待计算9、三角架 ABC由AC和BC二杆组成。杆AC 由两根No.12b的槽钢组成，许用应力为30mmb =160MPa ;杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为b =100MPa

18、。求荷载F的许可 值F。答：420kN2m10、图示一正方形截面的阶形混凝土柱。设混凝土的密度为二=2.04 103kg/m3, F=l00kN ,许用应力二=2MPa。试根据强度条件选择截面宽度a和bo答：b=398mFF4m4m叵jfa*11、图示一钢筋混凝土组合屋架，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆 AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆 AB为圆截面钢拉杆，其长l= 8.4m，直径d=22m，屋架高h=1.4m，钢的许用应力二=170MPa，试校核拉杆的强度。q=10kN/m11111111 m 丨 11111 h 11111)1111 】答：厂-165.7MPa刁安全12、设有一起重架如图

19、所示，A、B、C为铰接，杆AB为方形截面木材制成的，P=5kN , 许用应力二=3MPa，求杆AB截面边长。 答：待计算13、图中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2, E=200GPa,二=160MPa。试求此结构中 B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移S b。答：P =80kN,、B =1.6mm14、长度为I的圆锥形杆，两端直径各 为di和d2,弹性模量为 E,两端受拉力作 用，求杆的总伸长。答：.：l4PIEd1d215、一杆系结构如图 2 13所示，试 作图表示节点C的水平位移，设 EA为常数。答：w水平=016、有一两端固定的钢杆，其截面面程为2A=1000mm ，载荷

20、如图所示。试求各段杆内的应力。600400答：待计算17、横截面面积为 A=10000mm 2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。试求钢杆各段内的应力。答：(T 上=108MPa, (T 中=8.3MPa,下=141.7MPalOOkN150kNXZZZ/WZ50(1*130(1r400L18、如图所示钢杆1、2、3的截面积均为 A=2cm2,长度h=1m , E=200GPa。杆3在制 造时比其他两杆短 S =0.8mm。试求将杆3安装在刚性梁上后，三根杆中的内力。答：待计算h123|aa19、横截面尺寸为75mm x mm的木杆承受轴向压缩，欲使木杆任意截面正应力不超过 2.4MPa，切应力不超过 0.77MPa，试求最大荷载 F。答：F=8