Unit12 稳定性和时间响应

1、Unit12 稳定性和时间响应介绍连续或离散时间系统的稳定性取决于它的输入或扰动的响应，直观地说，一个稳定的系统若没有外部信号源激励就会一直保持静止或平衡状态并且在去掉所有激励后回到静止状态。输出将经过一个暂态阶段且平息到一个稳态响应，这个稳态响应与受约束于输入的稳态响应是相同的。如果用同样的输入作用于一个不稳定的系统，输出将不会平息到一个稳定的阶段，它会以不受约束的方式增加，通常为指数形式或者以振幅增大的方式振荡。根据连续系统的冲击响应y(t)可精确额定义稳定性，或者离散时间系统的克罗内克函数响应y(k)，如下：一个连续（离散时间）系统，当时间接近无穷大时如果它的冲击响应y(t)（克罗内克函

2、数响应y(k)）接近于0，那么这个系统是稳定的。一个可用的系统必须至少满足三个稳定性、准确性和理想暂态响应的基本判据。一个可用系统必须有一个对指定输入和干扰的理想时间响应，这句话隐含了以上三个判据。所以，虽然为方起见便，我们在拉式域和频域里进行分析，但是我们必须能够至少定性地将这两个域联系到时域。实际上，拉式域提供了稳定和不稳定系统的暂态响应和稳定系统的稳态响应的信息。这篇文章涉及了将拉式域联系到时域，强调了暂态响应以及在拉式域里对系统稳定性建立特定的判据。下一篇文章将探讨准确性，下一单元探讨频率响应。特征方程一个系统对任意输入的时间响应可表示为公式blabla其中css是稳态响应，ctr是暂

3、态响应。如果系统不稳定，将没有稳态响应，只有暂态响应。若没有传输延迟，系统传递函数可表示为复拉普拉斯变量s的多项式之比：公式2-1令分母多项式等于0，那么特征方程可表示为公式blabla也可写成因式分解的形式公式2-3其中-ri表示特征方程也就是令D(s)等于0的根。这些根可以是实数、复数或者等于0；如果是复数，那么它们总是共轭复数对，因为微分方程的系数是实数。下式表示了在拉式域里暂态响应的n个不同的根。公式2-4在时域里是公式2-5上一个公式的每一项叫做暂态模式，对于每个根的暂态模式，其形式仅取决于根在s平面的位置。因此，一个系统稳定的充要条件是特征方程的根必须有负的实部。这个保证了冲击响应

4、将会随时间呈指数衰减。劳斯判据劳斯判据是一个判定连续系统稳定性的方法，对于一个具有n阶特征方程的系统，其形式如下：公式2-6这个判据用劳斯表表示，其定义如下：blabla其中an、an-1、L、a0是特征方程的系数，并且blabla劳斯表分别水平和竖直延伸至0。在不改变劳斯表的性质的条件下，下一行计算之前，任何一行都可以与一个正的常数相乘。劳斯判据：当且仅当劳斯表的第一列元素有相同的符号时，特征方程所有的根均有负的实部，否则，正实部根的个数等于符号变化的次数。赫尔维茨判据是另外一个判别连续系统特征方程所有的根是否有负实部的方法。虽然它和劳斯判据的形式或模式不同，但实质上它们有相同的原理，所以它

5、们通常被称为劳斯-赫尔维茨判据。简单滞后环节：一阶系统根据公式2-1中传递函数的形式，系统的阶次可由特征函数D(s)的阶次定义，出现在D(s)中的s的最高次数就是系统的阶次。对于一个简单的一阶系统，其传递函数G(s)blabla，如图2-1所示，如果输入阶跃R(s)=1/s，那么输出将是公式blabla因此，暂态响应是blabla。第一项是被迫响应，应归于输入；第二项是暂态解，应归于系统极点。图2-2表示了该暂态解和c(t)。暂态可看做呈指数衰减，并且通常用于测量时间常数的衰减速度：时间常数是指以秒为单位，衰减指数暂态下降到初值的0.368倍时所用的的时间。由于t=T时blabla，可以看出一

6、个简单滞后一阶系统的时间常数是T秒。实际上，这就是一个简单滞后环节的传递函数经常写成这种形式的原因，s的系数直接反映衰减速度，并且暂态衰减到其初值的1.8%需花费4T秒。对于一个简单滞后环节，以下两个特点非常重要：1、 稳定性：对于系统的稳定性，系统极点（s）必须位于s平面的左半平面，所以系统的暂态响应是衰减的，而不是随时间t的增加而增加的。2、 响应速度：为提高 系统响应速度（例如，减小它的时间常数T），极点-1/T必须移至左半平面。二次延迟环节：二阶系统最常见的传递函数总是可以被归纳为如下标准形式：公式2-7其中n是无阻尼自然频率，是阻尼比。下面讨论这些参数的重要性。根据阻尼比，系统特征方

7、程的根（或极点）公式2-8存在三种可能性：>1：过阻尼： 公式blabla=1：临界阻尼: 公式blanla<1：欠阻尼： 公式blabla图2-3所示为s平面的极点图对于单位阶跃输入R(s)=1/s，输出为公式blabla对于>1，极点在负实轴上，-n的两边，暂态响应是两个衰减指数的和，每个暂态响应都有自己的时间常数。最靠近原点的极点响应指数有最大的时间常数且衰减最慢。这个极点被称为主导极点。对于=1，两个极点在-n处重合。对于<1，极点沿着一个以原点为圆心半径为n的圆移动。从图2-3的几何关系中还可以看出blabla。输出公式2-9。如图2-4所示是一个对于不同阻尼

8、比值的响应的规范图，暂态响应是无阻尼自然频率的振荡，其振幅根据blabla衰减。响应的重要性能标准在图2-5中确定。调节时间Ts是要求响应一直在稳定值的5%或2%范围内的所用的时间。Ts=3T(5%)或Ts=4T(2%)。（时间常数是时间，单位为妙，对不同的二阶系统，blabla，因此blabla）。超过稳态响应的最大超调量是测量（系统）性能的决定性因素。在公式2-9中使c(t)=0，来判别响应的极值，易推出公式2-10这意味着在峰值的时候左边和右边相等，因此在最大峰值时，峰值时间Tp为公式2-11如果公式2-10中角度的正切值是blabla，它的正弦值是blabla，把公式2-11带入到公式2-9中推出公式blabla上升时间Tr由图2-5确定。该时间最接近峰值时间，是响应首次到达稳态水平的时间。注意到Ts、Tp和Tr都根据n和来确定，超调量仅由阻尼比确定（图2-6），可允许的超调量和最小可接受的取决于应用。对于一个机床滑动，超调量可能会造成工具挖进机器加工的原料里，所以要求>=