大学一年级高数期末考试题及答案

1、第一学期高等数学期末考试试卷答案第一学期高等数学期末考试试卷答案计算题（本题满分 35分，共有5道小题，每道小题 7分）,第11页共7页1 .求极限lim1 cosx % -2x3sin x解:2x3俯- 2sin3 xx0limQ+cosxfQx_0limx0xlne二 limx_0 si rx1 十 COSX ¥1%X1 + c o xI-1x3x31 !；c o)s2 -1,1 cosx xl n2xlnelimx0,1 cosx xl n=limx >0lnos3 -7xf x与 是等价无穷小,2f t dt与Axk等价无穷小，求常数 k与A 解:3 x3：xf tdt

2、由于当x > 0时,f t dt与Axk等价无穷小，所以y叫Axkf t dtx31f3x 2 3 3 x2k JAkx2k J- Akx x32=limx3 x 3x0 6Akx1所以，匹6Akxk'i.因此，k =1,A63.如果不定积分.x2 ax b2 o dx中不含有对数函数，求常数 a与b应满足的条件.x 11 x2解:x ax b(x +12(1 +x2 )化为部分分式，有2x ax b A B Cx D,x 1 1 x2x 1 x 11 x2x + ax + b ,因此不定积分2dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数(x+1)(1 + x2 )A =

3、 C = 0 .即 x2 ax bBD B 1 x2 D x 1 2即 I'2 '222.(x+12(1+x2)(x+1)1+x (x+1)(1+x )所以，有 x2 ax b 二 B1 x2 D x 1 2 二 B D x2 2Dx B D .B D .所以，得b =1.比较上式两端的系数，有 1 = B D, a=2D,5-2 ?dx.2 d5.计算定积分min X,0解:m i n1,x -2 = <x2I1x2 <1x2 >11 辽x2x-21所以,5min、1,0x -25m.dx 2x-2dx弋5.设曲线C的极坐标方程为r二asin33求曲线C的全

4、长.解:3日日曲线r = asin周的定义域为0 -3 3，即0 - d - 3二.因此曲线C的全长为3：S =02 fa si n-3a2sin"coV d33asi n d： - 3二a.032（本题满分45分，共有5道小题，每道小题 9分）,sin（兀 x）6.求出函数仁“啊心2n的所有间断点，并指出这些间断点的类型.解:sin 二 xf x，lim 斗n +1+(2xfn12_ 121x < -21x =-21 .x = 21x > -211因此xi与x2是函数22f x的间断点.limfx = lim0=0,1 _1 Xx一 .221lim . f x = li

5、m sin 二 x = -1 ,类可X >J.22 2去型间断点.1lim f x = lim sin：x =1 , lim f x 二 lim 0 = 0，因此 x 是函数 f x 的第一类可去型 1 - 1 1 1 2xr 2xpX. 2间断点.7.设是函数f x =arcsinx在区间0, b上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的中值”匕求极限limt b解:f xAarcsx在区间0, b上应用Lagrange中值定理，知存在，0,b，使得所以，2 =1 -1arcs in b - arcs inO =b-0 .广 b、2j .因此,lares inb 丿-2 1 -l

6、im 2 = lim b0 b2 bTf bi<arcs inb 丿b2(ar csbrf -b2 b " b2 arcsbri令 t 二 arcsin b，则有2 _l i m 2 = l i m 22b)0b2 七卩 t2si ntt2 -si nt.2 . 2 .t sintl i mt0t42t si n 2t=lim 3= limt 卩 4t3 t 02 - 2cos2t12t211 -coQt 1 2s i r2t 1l i m 2l i m610t261P 2t 31 3-t - bmTH.D1 _x1&设 f Xey 2dy，求 f x dx .00解：

7、11f x dx =xf x 0 - xf x dx001 _x在方程f X二ey2dy中，令X =1，得010f(1)=dy = Jey(2_y dy =0 -001-x再在方程fx = ey 2 dy两端对x求导，得e1'01 1 11因此， f x dx = xf x 0 - xf x dx - - xf x dx0 0 01r 1-x2二 xe01 2xe2/r-1 -9.研究方程ex二ax2二内实根的个数.解：设函数 f xi=axe" -1, f x A2axe* - ax2e=ax 2 - x e".令x =0，得函数f x的驻点 =0,*2=2 .由

8、于a0 ,所以2xlim _f x = lim ax e T 二：,Jim：f x rim/x22x2X " - ： x -因此，得函数f x的性态XoQ(-叫0)0(0, 2)2(2,+辺)+0f '（X）0+0f(x)+ Q01-14ae二-11-122e2 x若 4ae -10，即 a 时，函数 f x；=ax e -1 在-：:,0、0,2、2,亠i 内4各有一个零点，即方程 ex =ax2在-:,:内有3个实根.22e2 _x 若4ae -1 = 0，即a时，函数fx二axe -1在-二，0、0, 二 内各有一个零4点，即方程ex二ax2在-：,内有2个实根.2e2

9、 若4ae -1 ：0，即a 时，函数 f x；=axe»-1在-：:，0有一个零点，即方程4x e ax在-匚片：内有1个实根.10.设函数f x可导，且满足f -x 二xf x-1 , f0=0.试求函数f x的极值.解：在方程 f I.-'X = X f X d 中令 t = -X，得 f t = -t f I.-'t I-'1 , 即卩f XiX f -x -1 .在方程组舊黑霍二x中消去S，得X X21 X2积分，注意f 0 =0，得 f X - f 0 二dt .即xt+t线方程为 兀1ef x arctan xdx = - , f 1 = 0.0

10、212f x2dt=x In 1 x - arctanx.01+t222 2x + x1 + 2x _ x由X牙得函数fx的驻点X1 =0, X2=-1 而X 2 所以,1 +x(1+X2)1f 0 =10, f -10 .2所以，f 0=0是函数f x极小值；f _1；=1 In 2 - 是函数f x极大值.24三应用题与证明题(本题满分20分，共有2道小题,每道小题10 分),11.求曲线y =、x的一条切线，使得该曲线与切线l及直线x=0和x = 2所围成的图形绕 x轴旋转的旋转体的体积为最小.解:设切点坐标为t, t ,由y = 丄，可知曲线y = < x在(t, v t )处的

11、切线方程为2jty =(x _t)，或 y(x +t).2jt2jt因此所求旋转体的体积为_4+2t4 3t所以，dVdt2 2.得驻点t3t223，舍去t23 .由于d2Vdt2163t2-0，因而函数V在t t上3处达到极小值，而且也是最小值因此所求切12.设函数f x在闭区间0, 1上连续，在开区间o, 1内可导，且证明：至少存在一点0,-112 arctan解:因为f x在闭区间0, 11上连续，所以由积分中值定理，知存在 0, ?，使得 !环efarcta n兀ef f brctanxdx2帀f1由于 ef ? ferctanxdx= 0 20Q4所以，一ef arctan =一 .再由 f 1 =0，得兀2efObrcta =ef( brctan 1 .4作函数g(x )=ef F brctanx，则函数在区间右，1上0, 1】上连续