全等三角形拓展题尖子生专用

1、全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016 武汉江汉区压轴题（本题12 分）abc是等腰三角形，abac，ad是abc的中线，以ac为边作等边ace，be分别与直线ad、ac交于点f、g，连接cf(1) 如图 1，若abc、ace位于ac异侧，求efc的度数 试判断线段ef、df、af之间的数量关系，并说明理由(2) 若abc、ace位于ac同侧，试完成备用图，并直接写出线段ef、df、af之间的数量关系解： (1) abae，设abeaebabac，ad是abc的中线设badcad又 22 60 180，60afedfc60efc180 6

2、0 60 60 过点c作chbe于haebaec60，abebad60badhec可证：abdehc（aas）head易证：cfhcfd（aas）fhdfeffhafdf即efaf2df (3) 作图、证明的过程一样afef2df2016 武珞路中学（本题10 分）已知等边三角形abc，m为ab上的一点，以cm为边作等边cmn，连接bn(1) 求证：ambn(2) 作mhbc于h，连接ah若ahmn，am1，求ch的长证明 ：(1) acmbcn（sas） (2) 由(1) 知：acmbcncbnmac60mbn60 60 120过点m作mdbc交ac于damd为等边三角形amadbn，adm

3、60bmcd，mdc120在bmn和dcm中bmndcm（sas）bmndcmahmnbmnbahdcm在bah和acm中bahacm（asa）bham1bmhcmhbc，mbh60bm2bh2ch22016 武珞路中学（本题10 分）如图1，已知等腰abc中，abac，ad为bc边上的中线，以ab为边向外作等边abe，直线ce与直线ad交于点f(1) 若af10，df3，试求ef的长(2) 若以ab为边向内作等边abe，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出ef、af、df三者的数量关系，并证明你的结论解：(1) 设badcad，aecace在ace中， 2602180

4、，60连接bfbfdcfd60bfcf2df6在ec上截取egcf，连接agaegacf（sas）eagcaf，agafgaf60afg为等边三角形efeggfaffc106 16 (2) 尺规作图：先作ab的垂直平分线，再利用半径得到等边设badcad，aceaeccae180 2bae2180260，60badbef在af上截取agef，连接bg可知：abgebf（sas）agef，bgbfbfg为等边三角形afaggfbfef2dfef武汉二中广雅中学2016（本题12 分）在abc中，abac，bac（ 060），以线段bc为边在abc内作等边dbc(1) 如图 1，abd_（用含的式

5、子表示）(2) 如图 2，bce150，abe60，判断abe的形状并加以证明(3) 在(2) 的条件下，连接de，若dec45，求的值例 1、（1）在 abc 中， b=c，与abc全等的三角形有一个角是130，那么abc中与这个角对应的角是（）a、a b 、b c、c d 、b或c（2）如图 1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）a、sss b 、sas c 、aas d 、asa（3）如图 2，ad平分 bac ，bf ad于 d，交 ac于 f，de ac ，bad=30 ，则 bde=_例 2

6、、如图 3，om 平分 aob ，ao=ob，ad与 bc相交于 m 。求证： ac=bd例 3、如图 4，在 abc中， b=c ，d、e、f分别在 ab 、bc 、ac上，且 bd=ce ，def= b。求证：ed=ef例 4、如图 5，abc 中，ab=ac ，点 d、e、f 分别在 bc 、ab 、ac上，且 bd=cf ，be=cd ，g是 ef的中点。求证：dg ef 例 5、如图 6，abc=90 ，ab=bc ，d为 ac上一点，分别过 c、a作 bd的垂线，垂足分别为 e、f求证：ef=ce-af 例 6、 如图 7， p为aob 平分线上一点， pc oa于 c， oap+

7、 obp=180 ，若 oc=4cm 。求 oa+ob 的值。例 7、如图 8，ad bc ，1=2，3=4，点 e在线段 dc上。求证：ad+bc=ab例 8、如图 9，1=2，p为 bn上一点，且 pd bc于 d，ab+bc=2bd。求证： bpa+ bcp=180 巩固：1、如图，点 p为aef外一点， pa平分 eaf ，pd ef于 d，de=df ，pb ae于 b。求证：af-ab=be2、如图，在四边形abcd 中，ab=ad ，ca平分 bcd ，ae bc于 e，af cd交 cd延长线于 f求证：be=df 3、如图， ca=cb ，cd=ce ，acb= dce= ，

8、ad 、be交于点 h ，连 ch 。（1）求证： acd bce ；（2）求证： ch平分 ahe ；（3）求 che的度数（用含 的式子表示）4、如图（1），在abc中，bac=90 ，ab=ac ，ae是过点 a的一条直线，且点b、c在 ae的异侧， bd ae于 d，ce ae于 e（1）试说明： bd=de+ce（2）若直线 ae绕 a点旋转到图（ 2）位置时（ bd ce ），其余条件不变，问bd与de 、ce的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线 ae绕 a点旋转到图（ 3）位置时（ bd ce ），其余条件不变，问bd与de 、ce的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由5、

9、如图，在 abc和ade 中，ab=ac ，ad=ae ，bac= dae=90 （1）当点 d在 ac上时，如图 1，线段 bd 、ce有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图 1 中的 ade绕点 a顺时针旋转角（ 0 90），如图 2，线段 bd 、ce有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由6、如图，在平面直角坐标系中， 点 b的坐标为（2，2），点 a为 y 轴正半轴上一动点，过 b点作bc ab交 x 轴的正半轴于点 c。（1）求证： ba=bc ；（2）当点 a运动时， oa+oc 的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、已知四边形 abcd

10、 中，ab=bc ，abc=120 ，mbn=60 ，mbn 绕 b点旋转，它的两边分别交 ad ，dc （或它们的延长线）于e，f（1）当 mbn 绕 b点旋转到 ae=cf 时（如图 1），求证 ae+cf=ef ；（2）当mbn 绕 b点旋转到 ae cf时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ae ，cf ，ef又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明8、已知：如图，abc 中，abc=45 ，cd ab于 d，be平分 abc ，且 be ac于 e，与 cd相交于点 f，h是 bc边的中点，连接 dh与 be相交于点 g （1）

11、求证： bf=ac ；（2）求证： ce=21bf ；（3）若把题目中“ be平分 abc ”改为“ be平分线段 dc ”，其他条件不变，连接hf 求证： hf=ad 9、直线 cd经过 bca的顶点 c，ca=cb e、f 分别是直线 cd上两点，且 bec= cfa=（1）若直线 cd经过 bca的内部，且 e、f 在射线 cd上，请解决下面两个问题：如图 1，若 bca=90 ， =90，则 ef_ |be-af| （填“”，“”或“=”号）；如图 2，若 0 bca 180，若使中的结论仍然成立，则与bca应满足的关系是 _ ；（2）如图 3，若直线 cd经过 bca 的外部， =b

12、ca ，请探究 ef、与 be 、af三条线段的数量关系，并给予证明第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例 1、如图，在 rtabc 中，acb=90 ，cd ab于 d ，ae平分 bac ，交 cd于 k，交bc于 e，f 是 be上一点，且 bf=ce ，求证：fkab 例 2、如图 1，abc中， bac=90 ，ba=ac ，（1）d为 ac的中点，连 bd ，过 a点作 ae bd于 e点，交 bc于 f点，连 df ，求证：adb= cdf （2）若 d，m为 ac上的三等分点，如图2，连 bd ，过 a

13、作 ae bd于点 e，交 bc于点f，连 mf ，判断adb与cmf 的大小关系并证明例 3、如图，在 abc 中， c=90 ，m为 ab的中点， dm ab ，cd平分acb ，求证：md=am例 4、在 abc 中， acb为锐角，动点 d（异于点 b）在射线 bc上，连接 ad ，以 ad为边在 ad的右侧作正方形adef ，连接 cf （1）若 ab=ac ，bac=90 那么如图一， 当点 d在线段 bc上时， 线段 cf与 bd之间的位置、大小关系是 _ （直接写出结论）如图二，当点 d在线段 bc的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）若 ab ac ，bac 90

14、点 d在线段 bc上，那么当 acb等于多少度时？线段cf与 bd之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由例 5、如图所示， 已知 a，b为直线 l 上两点，点 c为直线 l 上方一动点， 连接 ac 、bc ， 分别以 ac 、 bc为直角边向 abc外作等腰直角 cad 和等腰直角 cbe ， 满足 cad=cbe=90 ，过点 d作 dd1l 于点 d1，过点 e作 ee1l 于点 e1（1）如图，当点 e恰好在直线 l 上时，试说明 dd1=ab ；（2）在图中，当 d，e两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段dd1，ee1，ab之间的数量关系，并说明理由例 6、如图 1，

15、已知点 a（a，0），点 b（0，b），且 a、b 满足044ba（1）求 a、b两点的坐标；（2） 若点 c是第一象限内一点，且ocb=45 ， 过点 a作 ad oc 于点 f， 求证： fa=fc ；（3）如图 2，若点 d的坐标为（ 0，1），过点 a作 ae ad ，且 ae=ad ，连接 be交 x轴于点 g ，求 g点的坐标巩固：1、 如图， 已知 bac=90 ， ad bc于点 d， 1=2， ef bc交 ac于点 f 试说明 ae=cf 2、如图， abc中，ad平分 bac ，dg bc且平分 bc ，de ab于 e，df ac于 f（1）说明 be=cf 的理由；（

16、2）如果 ab=5 ，ac=3 ，求 ae 、be的长3、如图， abc中，ac=2ab ，ad平分bac交 bc于 d ，e是 ad上一点，且 ea=ec 。求证：eb ab 4、如图，在 abc中， acb=90 ，p为 ac上一点， pq ab于 q ，am ab交 bp的延长线于 m ，mn ac于 n ，aq=mn（1）求证： ap=am ；（2）求证： pc=an 5、如图， abc内， bac=60 ， acb=40 ，p，q分别在 bc ，ca上，并且 ap ，bq分别是 bac ，abc的平分线，求证：bq+aq=ab+bp6、将两个全等的直角三角形abc和 dbe 按图（1

17、）方式摆放，其中 acb= deb=90 ，a=d=30 ，点 e落在 ab上，de所在直线交 ac所在直线于点 f（1）求证： cf=ef ；（2）若将图（ 1）中的 dbe 绕点 b按顺时针方向旋转角a，且 0a60，其他条件不变，如图（ 2）请你直接写出af+ef与 de的大小关系： af+ef_ de （填“”或“ =”或“”）（3）若将图（ 1）中dbe的绕点 b按顺时针方向旋转角，且60 180，其他条件不变，如图（ 3）请你写出此时af 、ef与 de之间的关系，并加以证明7、如图，在平面直角坐标系中， 点 o为坐标原点， abc 的三点坐标分别为a （0， 5），b（-5 ，0

18、），c （2，0），bd ac于 d且交 y 轴于 e，连接 ce （1）求 abc的面积；（2）求aeoe的值及 ace的面积8、如图 1，在平面直角坐标系中，点a（4，4），点 b、c分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，s四边形 obac=16 （1）coa 的值为 _ ；（2）求 cab的度数；（3）如图 2，点 m 、n分别是 x 轴正半轴及射线 oa上一点，且 oh mn的延长线于 h，满足hon= nmo ，请探究两条线段mn 、oh 之间的数量关系，并给出证明9、在平面直角坐标系中，点a（2，0），点 b（0，3）和点 c（）；（1）请写出 ob的长度： ob=_ ；（2）如图：若

19、点 d在 x 轴上，且点 d的坐标为（ -3，0），求证： aob cod ；（3）若点 d在第二象限，且 aob cod ，则这时点 d的坐标是 _ （直接写答案）10、已知，在 abc中，ca=cb ，ca 、cb的垂直平分线的交点o在 ab上，m 、n分别在直线 ac 、bc上， mon=a=45 （1）如图 1，若点 m 、n分别在边 ac 、bc上，求证： cn+mn=am；（2）如图 2，若点 m在边 ac上，点 n在 bc边的延长线上，试猜想cn 、mn 、am 之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）11、（1）如图 1，以 abc 的边 ab 、ac为边分别向外作正方形a

20、bde 和正方形 acfg ，连接 eg ，试判断 abc与aeg面积之间的关系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米12、如图，将两个全等的直角三角形abd 、ace拼在一起（图 1）abd不动，（1）若将 ace绕点 a逆时针旋转，连接de ，m是 de的中点，连接 mb 、mc （图 2），证明：mb=mc（2）若将图 1 中的 ce向上平移， cae不变，连接 de ，m是 de的中点，连接 mb 、mc（图 3），判

21、断并直接写出mb 、mc的数量关系（3）在（ 2）中，若 cae的大小改变（图 4），其他条件不变，则（ 2）中的 mb 、mc的数量关系还成立吗？说明理由13、如图， abc中，d是 bc的中点，过点 d的直线 mn 交 ac于 n，交 ac的平行线 bm于 m ，pd mn ，交 ab于点 p，连接 pm 、pn （1）求证： bm=cn；（2）请你判断 bp+cn 与 pn的在数量上有何关系，并说明你的理由14、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点 a、b两点的坐标分别为a（m ，0）、b（0，n），且0623nnm，点 p从 a出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线ao匀速运动，设点

22、p运动时间为 t 秒（1）求 oa 、ob的长；（2）连接 pb ，若 pob 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；（3）过 p作直线 ab的垂线，垂足为d ，直线 pd与 y 轴交于点 e，在点 p运动的过程中，是否存在这样的点p，使eop aob ？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由等腰三角形小结一、构造等腰三角形例 1如图，在等腰 rtabc中， bac=90 ，ab=ac ， ad=ae ， af be交 bc于 f， fg cd交 ac于 h ，交 be的延长线于 g (1) 求证： ge=gh；(2) 问 bg 、af、fg有何数量关系？证明你的结论练习1等

23、边abc中，点 0 为 ac 、bc两边垂直平分线的交点， 点 p为 ab上一动点，pe ac交 bc于 e，点 f 为 ac上一点，且 cf=pe ，连 of 、ef ，求ofe的度数二、运用等腰三角形的性质例 2已知 rtabc. 中， ac=bc ，c= 90， d为 ab中点， edf=90 ，edf绕 d点旋转，它的两边分别交ac 、cb （或它们的延长线）于e、f图 图 图(1) 当edf绕 d点旋转到 de ac于 e（如图）时，显然sdef+scef=12sabc. 当edf绕 d点旋转到 de和 ac不垂直时（如图）， sdef、scef、sabc三者之间的数量关系是什么？证

24、明你的结论；(2) 当edf绕 d点旋转到如图所示的位置，请直接写出sdef、scef、sabc之间的数量关系是（不必证明）练习2如图， abc中，a=90 ab=ac ，d为 ac中点， ae bd于 e，延长 ae交 bc于点 f. 求证： adb= cdf. 3 abc中，过 bc边的中点 d作直线交 ab于 e 交 ca的延长线于 f， 使 ae=af. 求证：be=cf. 三、角平分线与等腰三角形例 3 如图，ab cd ，be 、ce分别平分 abc 、dcb. 求证： ab+cd=bc. 练习4如图， abc 中，a=90 ，ab=ac ，bd平分abc交 ac于 d，ce bd

25、交 bd延长线于 e (1)求证： ce=12bd ； (2)求aeb的度数5如图，在 abc中，m为 bc边中点， ad为bac的平分线， mf ad交 ad延长线于f，交 ab于 e求证： be=12(ab-ac)四、构造等边三角形例 4如图，已知在平面直角坐标系中， oa=ob=oc=2，点 p从 c点出发沿 y 轴正方向以1 个单位秒的速度向上运动，连接pa 、pb ，d为 ac的中点 (1)设点 p运动的时间为 t 秒，问：当 t 为何值时， dp与 db垂直且相等； (2)若 pa=ab ，在第一象限内有一动点q ，连 qa 、qb 、qp ，且pqa=60 ，问：当q在第一象限内

26、运动时， apq+ abq的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值. 图图练习6如图，a （o ，-1 ），a、c关于 x 轴对称，ab=2 ，ef bc ，交 ab的延长线于 e点，交 y 轴于 f点 (1)求aef ；dcbaedfcba (2)如图，将aef绕 a点顺时针旋转交bc延长线于 d点，当 d(m ，2)时，问 am+dh大小是否变化并证明图图全等三角形中常见辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三

27、角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中

28、线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图abc 中，ab=5 ，ac=3 ，则中线 ad的取值范围是_. 例 2、如图， abc中，e、f 分别在 ab 、ac上，de df ，d是中点，试比较 be+cf 与ef的大小 . 例 3、如图， abc中，bd=dc=ac，e是 dc的中点，求证： ad平分 bae. 应用：1、（09崇文二模）以abc的两边 ab 、ac 为腰分别向外作等腰 rtabd和等腰 rtace，90 ,badcae连接de ，m 、n分别是bc 、de 的中点探究： am 与de 的位置关系及数量关系（1）如图当abc为直角三角形时， am 与de 的位置关

29、系是，线段am 与de 的数量关系是；edcbadcbapqcbaoedcba（2） 将图中的等腰 rtabd绕点a沿逆时针方向旋转(0ad+ae. 四、借助角平分线造全等例 1、如图，已知在 abc中，b=60， abc的角平分线 ad,ce相交于点 o ，求证： oe=od 例 2、如图， abc中，ad平分 bac ，dg bc且平分bc ， de ab于 e，df ac于 f. （1）说明 be=cf 的理由；（2）如果 ab=a，ac= b ，求ae 、be的长. 应用：1、如图， op是mon 的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角

30、形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc中，acb 是直角，b=60，ad 、ce分别是 bac 、bca的平分线， ad 、ce相交于点 f。请你判断并写出fe与 fd之间的数量关系；nmefacbafedcba（2）如图，在abc 中，如果 acb 不是直角，而(1) 中的其它条件不变， 请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例 1、正方形 abcd 中，e为 bc上的一点， f 为 cd上的一点， be+df=ef ，求 eaf的度数. 例 2 、d为等腰 rt abc 斜边 ab的中点， dm dn,dm,dn 分别交bc,ca于点 e,f。（1） 当mdn 绕点 d转动时，求证 de=df 。（2） 若 ab=2 ，求四边形 decf 的面积。