初中数学中被删掉的有用知识(相似形)

1、相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想， 有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例 5 如图3.1-11，四边形abcd的对角线相交于点o，baccdb?，求证：daccbd?. 证明在oabv与odcv中，,aobdocoabodc?行= ?oabvodcv，oaobodoc=，即oaodoboc=. 又oadv与obcv中，aodboc?，oadvobcv，daccbd?. 例 6 如图 3.1-12,在直角三角形abc 中，bacd为直角，adbcd于. 求证： （1）2abbd bc=?，2accd cb=?；（2）2adbd cd=?证 明（ 1

2、 ） 在rt bacv与rt bdav中 ，bb?，bacvbdav，2,.babcabbd bcbdba=?即同理可证得2accd cb=?. （2）在rt abdv与rt cadv中，90occadbad?- ?，rt abdvrt cadv，2,.addcadbd dcbdad=?即我们把这个例题的结论称为射影定理 ，该定理对直角三角形的运算很有用. 例7 在abcv中 ，,adbcd deabe dfacf于于于， 求 证 ：ae abaf ac?. 证明adbcq，adbv为直角三角形，又deab，由射影定理，知2adae ab=?. 同理可得2adafac=?. ae abaf a

3、c?. 图 3.1-11 图 3.1-12 图 3.1-13 例 8 如图 3.1-14， 在abcv中，d为边bc的中点，e为边ac上的任意一点，be交ad于点o. 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211aeac=+时，有22321aoad=+.（如图 3.1-14a）（2）当11312aeac=+时，有22422aoad=+.（如图 3.1-14b）（3）当11413aeac=+时，有22523aoad=+.（如图 3.1-14c）在图 3.1-14d 中，当11aeacn=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示aoad的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）

4、. 解：依题意可以猜想：当11aeacn=+时，有22aoadn=+成立 . 证明过点 d 作 df/be 交 ac 于点 f，qd 是 bc 的中点，f 是 ec 的中点，由11aeacn=+可知1aeecn=，22,.2aeaeefnafn=+. 2.2aoaeadafn=+想一想，图3.1-14d 中，若1aoadn=，则?aeac=本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.数学的发展史就是不断探索的历史. 练习 2 1 如图 3.1-15， d 是abcv的边 ab 上的一点， 过 d 点作 de/bc 交 ac

5、 于 e.已知 ad：db=2：3，则:adebcdessv四边形等于（）a2:3b4:9c4:5d4: 21图 3.1-14 2 若一个梯形的中位线长为15， 一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3: 2，则梯形的上、下底长分别是_. 3已知：abcv的三边长分别是3，4，5，与其相似的a b cv的最大边长是15，求a b cv的面积a b csv. 4已知：如图3.1-16，在四边形abcd 中， e、f、g、 h 分别是 ab、bc、 cd、da 的中点 . （1）请判断四边形efgh 是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形 abcd 是平行四边形，对角线ac、bd 满足

6、什么条件时，efgh是菱形？是正方形？5如图 3.1-17,点 c、d 在线段 ab 上，pcdv是等边三角形，（1）当 ac、cd、db 满足怎样的关系时，acpvpdbv？（2）当acpvpdbv时，求apbd的度数 . 习题 3.1 a 组1 如图 3.1-18，abcv中， ad=df =fb，ae=eg=gc，fg=4，则（）ade=1，bc=7 b de=2，bc=6 cde=3，bc=5 d de=2，bc=8 2 如图 3.1-19，bd、ce 是abcv的中线， p、q 分别是 bd、ce 的中点，则:pqbc等于（）a1：3 b1：4 c1：5 d1：6 3 如图 3.1-

7、20，abcdy中，e 是 ab 延长线上一点，de 交 bc 于点 f，已知 be：ab=2：图 3.1-15 图 3.1-16 图 3.1-17 图 3.1-18 图 3.1-19 3，4befs=v，求cdfsv. 4 如图 3.1-21，在矩形 abcd 中，e 是 cd 的中点，beac交 ac 于 f，过 f 作 fg/ab交 ae 于 g，求证：2agaf fc=?. b 组1 如图 3.1-22，已知abcv中， ae：eb=1：3，bd：dc=2：1，ad 与 ce 相交于 f，则efaffcfd+的值为（）a12b1 c32d2 2 如图 3.1-23，已知abcv周长为1

8、，连结abcv三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003 个三角形周长为（）a12002b12003c200212d2003123 如图 3.1-24，已知 m 为abcdy的边 ab 的中点， cm 交 bd 于点 e，则图中阴影部分的面积与abcdy面积的比是（）a13b14c16d5124 如图 3.1-25，梯形 abcd 中， ad/bc，ef 经过梯形对角线的交点o，且 ef/ad. （1）求证： oe=of；图 3.1-20 图 3.1-22 图 3.1-23 图 3.1-24 图 3.1-21 （2）求oeoeadbc+的值；（

9、3）求证：112adbcef+=. c 组1 如图 3.1-26，abcv中， p 是边 ab 上一点，连结cp. （1）要使acpvabcv，还要补充的一个条件是_. （2）若acpvabcv，且:2:1ap pb =，则:bc pc=_. 2 如 图3.1-27 ， 点e是 四 边 形abcd的 对 角 线bd上 一 点 ， 且bacbdcdae?. （1）求证：be adcd ae?；（2）根据图形的特点，猜想bcde可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想. 3 如图3.1-28，在rt abcv中， ab=ac，90oa?，点d 为 bc 上任一点，dfab于 f，deac于 e，m 为 bc 的中点， 试判断mefv是什么形状的三角形，并证明你的结论. 4 如图 3.1-29a，,abbd cdbd垂足分别为b、 d， ad 和 bc 相交于 e，efbd于 f，我们可以证明111abcdef+=成立 . 图 3.1-25 图 3.1-26 图 3.1-27 图 3.1-28 图 3.1