北京市顺义区2013届高三下学期第二次统练数学(理)试题

1、1北京市顺义区2013 届高三下学期第二次统练数学理试题一、选择题 .共 8 小题 ,每题 5 分,共 40 分 .在每题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合034,232xxxbxxarr,则baa.1 , 3b.1 , 3c.2, 1d., 32,2.复数ii123a.i2521b.i2521c.i2521d.i25213.在极坐标系中,直线的方程为224sin,则点43,2a到直线的距离为a.2b.224.执行如下列图的程序框图,输出的s值为a.10b.3c.4 d.5 5.已知数列na中,54nan,等比数列nb的公比q满足21naaqnn,且21ab,则nbbb

2、21a.n41b.14nc.341nd.314n6.设变量yx,满足约束条件14, 42, 22yxyxyx则yx32的取值范围是a.21,42b.64,21c.64,42d.22 ,6417. 已 知 正 三 角 形abc的 边 长 为1, 点p是ab边 上 的 动 点 ,点q是ac边 上 的 动 点 ,且r,1,acaqabap,则cpbq的最大值为a.23b.23c.83d.838.设rnm,假设直线01:nymxl与x轴相交于点a,与y轴相交于点b,且坐标原点o到直开始1, 1 sk?5k1kkkss2输出 s结束否是2线的距离为3,则aob的面积s的最小值为a.21b.2 c.3 d

3、.4 二、填空题 (本大题共6 个小题 ,每题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上) 9.91xx的展开式中含5x的项的系数为(用数字作答 ). 10. 设abc的 内 角cba,的 对 边 分 别 为cba,且5,4,31cosbba,则csin,abc的面积s. 11.如图 ,已知圆中两条弦ab与cd相交于点ef,是ab延长线上一点 ,且bfafcfdf2,2,假设ce与圆相切 , 且27ce,则be. 12.一个几何体的三视图如下列图,假设该几何体的外表积为92m2,则hm. 13.已知双曲线0,012222babyax的离心率为362,顶点与椭圆15822yx的焦点相同,那么

4、该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为. 14.设定义在r上的函数xf是最小正周期为2的偶函数,xf是xf的导函数 .当,0 x时,10 xf;当, 0 x且2x时 ,02xfx.则函数xxfycos在3,3上的零点个数为. ebafdc正(主)视图侧(左)主视图俯视图2 4 5 h 3三、解答题 (本大题共6 小题 ,总分值 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题总分值13 分) 已知函数21cos22sinsincos3xxxxxf. (i) 求3f的值 ; (ii) 求函数xf的最小正周期及单调递减区间. 16.(本小题总分值14 分) 如 图 , 在 长 方 体

5、1111dcbaabcd中 ,11adaa,e为cd的 中 点 ,f为1aa的中点. (i) 求证 :1ad平面eba11; (ii) 求证 :/df平面eab1; 45, 求(iii) 假设二面角11aeba的大小为ab的长 . 17.(本小题总分值13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500 名志愿者中随机 抽 取100名 志 愿 者 , 其 年 龄 频 率 分 布 直 方 图 如 下 列 图 , 其 中 年 龄 分 组 区 间是:45,40,40,35,35,30,30,25,25,20. (i) 求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500

6、名志愿者中年龄在40,35岁的人数 ; (ii) 在抽出的100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为x,求x的分布列及数学期望. 20 25 30 35 40 45 年龄 /岁频率 /组距0.07 0.02 x 0.04 0.01 o fed1a1c1b1dacb418.(本小题总分值13 分) 已知函数21axexfx,其中a为正实数 ,718.2e. (i) 假设21x是xfy的一个极值点 ,求a的值 ; (ii) 求xf的单调区间 . 1

7、9.(本小题总分值14 分) 已知椭圆01:2222babyaxc的两个焦点分别为21,ff,且221ff,点p在椭圆上,且21fpf的周长为6. (i)求椭圆c的方程 ; (ii) 假设点p的坐标为1 , 2,不过原点o的直线与椭圆c相交于ba,两点 ,设线段ab的中点为m,点p到直线的距离为d,且pom,三点共线 .求2216131312dab的最大值 . 20.(本小题总分值13 分) 已知函数2ln1lnln, 12axxgaexfx,其中a为大于零的常数,718. 2e,函数xfy的图像与坐标轴交点处的切线为1l,函数xgy的图像与直线1y交点处的切线为2l,且21/ ll. (i)

8、 假设在闭区间5, 1上存在x使不等式xxfxmx成立 ,求实数m的取值范围 ; (ii) 对于函数xfy和xgy公共定义域内的任意实数0 x,我们把00 xgxf的值称为两函数在0 x处的偏差 .求证 :函数xfy和xgy在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 5顺义区 2013 届高三第二次统练数学试卷 (理工类 )参考答案一、 abba bcdc 二、 9.36 10.9225100,62411.2112.4 13.xy315,0 ,2214.6 三、 15.解 :(i)3f213cos232sin3sin3cos321212232321321021.4 分(ii)0cosx,得zkkx2

9、故xf的定义域为zrkkxx,2. 因为21cos22sinsincos3xxxxxf21sincos3sinxxx21sin2sin232xx2122cos12sin23xx6xx2cos212sin2362sinx, 所以xf的最小正周期为22t. 因为函数xysin的单调递减区间为zkkk232 ,22, 由zkkxkxk2,2326222, 得zkkxkxk2,326, 所以xf的单调递减区间为zkkkkk32,2,2,6. 13 分16.(i)证明 :在长方体1111dcbaabcd中, 因为11ba平面11adda, 所以111adba. 因为adaa1, 所以四边形11aadd为

10、正方形 , 因此daad11, 又1111adaba, 所以1ad平面dba11. 又cdba/11,且cdba11, 所以四边形cdba11为平行四边形. 又e在cd上 , 所以1ad平面eba11. 74 分(ii) 取1ab的中点为n,连接nf. 因为f为1aa的中点 ,所以1121/banf且1121banf, 因为e为cd的中点 ,所以cdde21, 而11/bacd,且11bacd, 所以denf /,且denf, 因此四边形nedf为平行四边形, 所以endf /,而en平面eab1, 所以/df平面eab1. 9 分(iii) 如图 ,以a为坐标原点 ,建立空间直角坐标系xyz

11、a,设aab, 则1 ,0 ,0 ,1 ,2,1 , 1 ,0,0, 1 ,0,0,0,011abaedda, 故0 ,1 ,2,1 ,0 ,1 , 1 ,011aaeaabad. 由(i)可知1ad平面eba11, 所以1ad是平面eba11的一个法向量 . 设 平 面eab1的 一 个 法 向 量 为zyxn, 则0, 01aenabn, 所以02,0yxazax令1x,则azay,2, nfed1a1c1b1dacbx y z 8所以aan,2, 1. 设1ad与n所成的角为,则22114122cosaaaaadnadn. 因为二面角11aeba的大小为45, 所以45coscos,即2

12、24512232aa, 解得1a, 即ab的长为 1.14 分17.解:(i)小矩形的面积等于频率, 除40,35外的频率和为0.70, 06.0570. 01x.3 分500 名志愿者中 ,年龄在40,35岁的人数为150500506.0(人). (ii) 用分层抽样的方法,从中选取20 名, 则其中年龄“低于35 岁”的人有12 名, “年龄不低于35 岁”的人有8 名. 故x的可能取值为0,1,2,3, 28514032038ccxp, 9528132028112cccxp, 9544232018212cccxp, 57113320312ccxp, 9故x的分布列为x0 1 2 3 p2

13、8514952895445711所以95171571139544295281285140ex. 13 分18.解:222112axeaxaxxfx. (i)因为21x是函数xfy的一个极值点, 所以021f, 因此0141aa, 解得34a. 经检验，当34a时，21x是)(xfy的一个极值点，故所求a的值为34. 4 分(ii)0112222aaxeaxaxxfx令0 xf得0122axax(i)当0422aa,即1a时 ,方程两根为aaaaxaaaaaaaax22221,2442. 此时xf与xf的变化情况如下表: xaaaa2,aaaa2aaaaaaaa22,aaaa2,2aaaa10

14、xf0 0 xf极大值极小值所以当1a时,xf的单调递增区间为aaaa2,2aaaa; xf的单调递减区间为aaaaaaaa22,. (ii) 当0442aa时,即10a时,0122axax, 即0 xf,此时xf在,上单调递增 . 所以当10a时,xf的单调递增区间为,. 13 分19.解:(i)由已知得22c且622ca, 解得1,2 ca, 又3222cab, 所以椭圆c的方程为13422yx. 3 分(ii) 设2211,yxbyxa. 当直线与x轴垂直时 ,由椭圆的对称性可知,点m在x轴上 ,且与o点不重合 , 显然pom,三点不共线 ,不符合题设条件. 故可设直线的方程为0mmkx

15、y. 由1243,22yxmkxy消去y整理得0124843222mkmxxk.则0124434642222mkmk, 11222122143124,438kmxxkkmxx所以点m的坐标为22433,434kmkkm. 因为pom,三点共线 ,所以22432433,kkmkmkkopom, 因为0m,所以23k, 此时方程为033322mmxx,则01232m,33,22121mxxmxx所以2122122yyxxab21221241xxxxk2121213m, 又1342232822mmd, 所以352344344121613131222222mmmdab, 故当0,3234m时,2216

16、131312dab的最大值为352. 13 分20.解:(i)函数xfy的图像与坐标轴的交点为12,0a, 又xaexf2,af20. 函数xgy的图像与直线1y的交点为1 ,2a, 又xxg1,aag212. 由题意可知 ,41,2122aaa, 又0a,所以21a.3 分不等式xxfxmx可化为xxfxxm, 12即xexxm. 令xexxxh,则xexxxh211, 221, 0 xxx. 又0 x时 ,1xe, 121xexx, 故0 xh, xh在, 0上是减函数 , 即xh在5 , 1上是减函数 , 因此 ,在闭区间5, 1上,假设存在x使不等式xxfxmx成立 , 只需ehm11, 所以实数m的取值范