如何用空间向量求解二面角

1、如何用空间向量求解二面角万立勇（河南省信阳市新县高中，465550）求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面 法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是 向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还 是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。 本文 就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量a、b，有COSV a , b 二a b .利用这一结论，|a| |b|我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题.例1 （2005年全国高考理科试题）在四棱锥V-ABCD中，底 面AB

2、CD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABCD求 面VAD与面VDB所成的二面角的大小.向量，则T、n VB 一|T、n VB=0,=0.y- -1,It “心 n = (1 ,z =3-1,二 COSV AB ,|AB| |n|又由题意知，面VAD与面VDE所成的二面角为锐角，所以其大小7例2 (2004年全国高考四川、云南、 吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三 棱柱 ABC-ABC 中，/ ACB=90°, AC=1 CB=2 ,侧棱AA=1，侧面AABB的两条 对角线交点为D, BG的中点为M.求证CDL平面BDM求面BBD与面CBD所成二面角的大小.解：略如图

3、，以C为原点建立坐 标系.设BD中点为G,连结BG 则依 G(2 , 1 ,丄),BD =(444PD!底面 ABCD PD=DC E是 PC2，2)，BiG=(一乎，；，寸)，二 BD B<|G = 0 , BDL B1G.又CD! BD, CD与BiG的夹角二等于所求二面角的平面角.CD B1GCOS 二=|CD|BiG|所以所求二面角的大小等于 二arccos辽.3例3 (2004年天津高考理工试题)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD正方形，侧棱 的中点，作EF丄PB交PB于点 F.求二面角C- PB-D的大小解：如图所示建立空间直 角坐标系，D为坐标原点，设DC = a设

4、点F的坐标为(xo, yo, zo) , PA= PB，则(xo, y°,勺-a) = (a, a, -a).从而 x° 二 a, y° 二 a, z° = (1 - )a .所以“a a11PE =(一心-Y0,刁Z0)=(- a,( - - )a, (' ?)a).由条件 EFl PB知，PE' PB = 0，即卩-a2 （- - a2 -（- -丄）a2 =0，解得兔.223点F的坐标为（？, a,空），且PE、（一a，旦,-a）,333366a2a3 PB FD 二一32 2 2 a a 2a _+3厂°，即PB _ F

5、D，故.EFD是二面2 a18a ,/ PE FD2 a 石，角C PB- D的平面角.2a+=9PE FD- cos EFD|PE |FD |2a663231二 EFD =3所以，二面角C-PB-D的大小为丄.3例4已知三棱柱OAB Oi A1B1中，平面OBBQi丄平面OAB，/ AB =90，/ O1OB =60 , 且 OB=OO1= 2 , OA = 3，求二 面角O1 AB- O的大小.解：以0为原点，分别以OA, OB所在的直线为x, y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为Z轴，建立空间直角坐标系.如图，则 0（0，0，0），Oi（0, 1, 3）, A（.3，0，0），Ai（ 3，1，3) , B(0, 2, 0).-AOi = ( - 3 , 1 ,. 3 ) , AB = ( 3 , 2, 0).显然0Z为平面AOB的法向量，取n； = (0,0,1),设平面OiAB的法向量为n2 = (x , y, z)，贝yT 、T 、n2 AO1 = 0 , n2 AB = 0 .即厂+y + 託z =0，令 y =廳,x = 2 , z = 1 ,则忙二(2 , 、一 I3x +2y =03 ,