部分教学大纲

1、部分教学大纲目 录数学分析 3高等代数 13几何学 20概率论与数理统计 24初等数学研究 28学科教学论 33常微分方程 40近世代数 43复变函数 46实变函数 50分析学专题选讲 54代数学专题选讲 58近代数学专题选讲（一）62近代数学专题选讲（二）67点集拓扑学 70微分几何 74泛函分析 77群论 80图论 84运筹学方法 87数学模型 92计算方法 95初等数论 99解题研究 102数学方法论 106数学史 110离散数学 114论文写作 118竞赛数学 121数学分析课程教学大纲一、说 明适用专业数学与应用数学先修课程高中数学总学时312总学分17（一）本课题的目的要求和任务数

2、学分析是高等学校数学与应用数学专业必修的一门重要基础课程，是学习后继课程，如复变函数、微分方程、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等课程的必备基础。同时，对学生今后的学习、研究起着关键的作用。通过教学应达到以下目的和要求（1）正确理解和掌握数学分析的基本概念，基本理论，尤其是极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学以及无穷级数等方面的基本知识、基本技能。（2）灵活掌握数学分析中论证方法，提高分析问题和解决问题的能力。（3）能用数学分析的基本理论，对数学中的有关重要事实、现象和公式给出理论上的解释与处理。（二）内容选取和实施中应注意的问题（1）极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学在

3、保持理论体系完整的前提下，合理地组织教学和安排内容。（2）实数集与函数一章中的函数的定义、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等有关内容，因中学已介绍可略讲，应突出本课程的需要，力求避免不必要的重复。（3）本课程应精讲基本内容，注意教学方法，阐明基本概念和基本规律，突出重点，提高教学效果。（4）为了培养学生分析问题和解决问题的能力，应讲解适当的例题或安排一定的习题课，同时布置适量的思考题，促使学生牢固掌握所学知识。（5）大纲中带“*”号的内容，供选学，教学时根据实际情况决定讲或不讲。（三）教学方法1、以课堂教学为主，适量布置课外作业，坚持课后辅导答疑，并适当增加习题课，使学生的疑难问题能及时得到

4、解决；2、适度利用现代化的教学手段，如多媒体电子课件、网络资源等，提高教学效果。（四）考核方式1、期中测验成绩占总学期成绩的10%；2、作业、课堂笔记、课堂讨论等方面的分数占总学期成绩的10%；3、期末考试成绩占总学期成绩的80%；4、期末试卷严格实行教考分离。考试卷从卷库中抽取，流水阅卷，批阅规范，严格执行评分标准。（五）教学内容与学时分配教学章节教学内容学时安排备注1实数集与函数62数列极限123函数极限204函数的连续性185导数与微分206微分中值定理及应用207实数的完备性88不定积分169定积分2210定积分的应用1011反常积分812数项级数1413函数列与函数项级数1214幂级

5、数1215傅里叶级数集合1016多元函数的极限与连续1617多元函数微分学2018隐函数定理及其应用1419含参量积分1220曲线积分1021重积分2222曲面积分10注：1、分三学期授完，第一学期：第一至第六章；第二学期：第七至第十五章；第三学期；第十六至第二十二章。2、在保证完成教学大纲所规定的基本内容的前提下，对讲授次序，课时分配，教学内容及教学的方法可以灵活掌握，适当调整。（二）大 纲 内 容第一章 实数集与函数1、实数及性质，绝对值与不等式，区间与邻域。2、实数集的确界，确界原理。3、函数定义、函数的表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数。4、具有某些特性的函数：有界函数

6、、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。说明和要求：1、了解实数集及其性质，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式。2、掌握区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函数的概念，函数的简单性质，会求数集的上、下确界，掌握确界原理。3、了解函数的几种表示法，及其分析中常用的一些函数,如分段函数、符号函数、狄里克雷函数、黎曼函数等的表示法。4、本章重点是区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函数的概念，确界原理。难点是确界原理。第二章 数列极限1、数列极限的概念：数列极限定义及其几何意义，无穷小数列。2、收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性，保不等式性，无穷小数列收敛性。3、收敛数列的四则运算。4、数列的

7、收敛判别法：迫敛法、单调有界法则、柯西准则。5、重要极限：说明和要求:1、理解数列极限的概念，能够应用“-N”语言进行极限证明和处理极限问题。2、能正确叙述和证明数列极限的唯一性，保号性、及不等式等性质。3、能应用极限定义、四则运算、极限存在的判别法，柯西收敛准则，熟练地求出数列极限和证明数列存在极限。4、本章重点是数列极限，难点是求出数列极限和证明数列存在极限。第三章 函数极限1、函数极限的概念：趋于无穷大时函数极限，趋于某一定数时函数极限，单侧极限，极限与单侧极限的关系。2、函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，极限的四则运算法则。3、函数极限存在判别法：迫敛性定理、

8、单调有界定理，归结原则、柯西准则。4、两个重要极限： 5、无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较。6 曲线的渐近线说明和要求：1、掌握函数极限的概念，无穷小量与无穷大量及其阶的比较。2、能够运用“-”与“-M”的语言处理函数极限问题。3、能正确叙述和证明函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。4、能应用定义、四则运算、极限存在判别法熟练地求出或证明函数的极限。用等价无穷小量替代求极限。5、了解归结原则的内容。6、本章重点是函数极限。难点是运用“-”与“-M”的语言处理函数极限问题。应用函数极限的性质证明相关问题。用等价无穷小量替代求极限。第四章 函数的连续性1、连续性概念：函数在一点的连续性，

9、左连续与右连续，函数在一点处连续的充分必要条件，间断点及其分类，区间上的连续函数。2、连续函数的性质：连续函数的局部性质，复合函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，一致连续性。3、初等函数的连续性。说明和要求：1、弄清连续、间断的概念，并能对间断点进行分类，对可去间断点能进行连续延拓。2、能正确叙述和应用连续函数的性质。3、了解初等函数的连续性。4、本章重点是函数的连续性。难点是应用连续函数的性质。第五章 导数与微分1、导数概念：导数的定义及其几何意义，左导数，右导数的定义，费马定理，导函数，可导与连续的关系。2、求导法则：导数的四则运算、反函数的导数，复合函数的导数，基本

10、求导法则与公式。3、参变量函数的导数。4、微分：微分概念，微分的运算法则，一阶微分形式不变性，微分近似计算中个应用。5、高阶导数与高阶微分：高阶导数，高阶微分。说明和要求：1、掌握导数与微分的概念，它的几何意义。2、能熟练地应用导数运算性质和求导法则（特别是复合函数求导法则）求函数的导数，一阶微分。3、能求函数的高阶导数。4、利用微分进行近似计算。5、本章重点是导数与微分，难点是复合函数求导。第六章 微分中值定理及其应用1、中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2、不定式极限：0/0型不定式极限，/型不定式极限，其它类型不定式极限。3、泰勒公式：泰勒定理，带皮亚诺型、拉格朗日

11、型余项的泰勒公式，某些应用。4、函数的单调性与极值：函数的单调性，极值，最大值与最小值。5、函数的凸性与拐点：函数的凸性，拐点。6、函数图象讨论：函数作图。说明和要求：1、掌握中值定理的内容与证明。2、能熟练地应用洛必达法则求不定式极限。3、能把某些函数按泰勒公式展开。4、能熟练地求出连续函数的极值与闭区间上的最大值、最小值。5、能应用函数单调性证明一些不等式。6、了解凸函数的概念，并能应用凸函数概念证明相关不等式。7、能对函数图象进行讨论，并较正确地作出函数的图形。8、本章重点是中值定理，不定式极限，函数的性质。难点是中值定理;不定式极限;以及利用中值定理证明相关不等式。第七章 实数的完备性

12、1、实数完备性的基本定理：闭区间套定理与柯西收敛准则，聚点定理与有限覆盖定理。2、闭区间上连续函数性质的证明。说明和要求：1、了解实数连续性的几个基本定理。2、能够证明闭区间上的连续函数的基本性质。3、本章重点是实数完备性的基本定理。难点是证明闭区间上的连续函数的基本性质。第八章 不定积分1、不定积分的概念与基本积分公式：原函数与不定积分，基本积分表，不定积分的线性运算法则。2、换元积分法与分部积分法：换元积分法，分部积分法。3、有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分。说明和要求：1、理解原函数与不定积分概念。2、熟练掌握换元积

13、分法与分部积分法。3、掌握有理函数和三角函数有理式积分法。4、会计算某些无理根式的不定积分。5、本章重点是不定积分。难点是有理函数和三角函数有理式积分法，某些无理根式的不定积分。第九章 定积分1、定积分的概念：问题的提出，定积分的定义。2、牛顿-莱布尼茨公式3、可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。4、定积分的性质：线性性质，积分区间可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。5、微积分学基本定理·定积分计算：微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，泰勒公式的积分型余项。说明和要求：1、理解定积分的概念，可积的必要条件，了解可积的充要条件。2、掌握三类可积函数。3、掌

14、握定积分与可变上限定积分的性质。4、能熟练地应用牛顿莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算某些定积分。6、本章重点是应用牛顿莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。难点是可积的充要条件，定积分与可变上限定积分的性质。第十章 定积分的应用1、平面图形的面积。2、由平行截面面积求立体体积。3、平面曲线的弧长与曲率。4、旋转曲面的面积：微元法，旋转曲面的面积。5、定积分在物理上的应用：压力，功等。说明和要求：1、重点掌握定积分的几何应用。2、掌握定积分在物理上的某些应用。3、在应用中逐步掌握“微元法”。4、本章重点是定积分的几何应用。难点是微元法。第十一章反常积分1、反常积分的概念。2、无

15、穷积分的性质与收敛判别。3、瑕积分的性质与收敛判别。说明和要求：1、掌握反常积分的收敛、绝对收敛、条件收敛的概念，并能判别反常积分的敛散性。2、本章重点是反常积分。难点是判别反常积分的敛散性。第十二章 数项级数1、数项级数的收敛性：无穷级数收敛、发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质。2、正项级数：正项级数收敛性的一般判别原则，比较原则，比式判别法与根式判别法，积分判别法。3、一般项级数：交错级数，莱布尼茨判别法，绝对收敛与条件收敛，绝对收敛级数的性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。说明和要求：1、理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。2、能正确叙述收敛级数的性质（包括绝对收敛

16、与条件收敛的性质）。3、能够应用正项级数与任意项级数敛散性判别法判断级数敛散性。4、掌握几何级数与P级数的敛散性。5、本章的重点是无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念，级数敛散性判别法。难点是判断级数敛散性第十三章 函数列与函数项级数1、函数列与函数项级数的收敛性与一致收敛性：函数列的极限函数，数项级数的和函数，函数列与函数项级数的一致收敛概念，函数项级数的一致收敛性判别法一致收敛柯西准则，维尔斯特拉斯优级数判别法。2、一致收敛函数列与函数项级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项可微）。说明和要求：1、掌握收敛域，极限函数、和函数和一致收敛等概念。2、掌握极限函数与和函

17、数的分析性质及其证明。3、能够比较熟练地判断某些函数项级数与函数列的一致收敛性。4、本章的重点是函数列与函数项级数的收敛性与一致收敛性，一致收敛函数列与函数项级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项可微）。难点是函数项级数的一致收敛。第十四章 幂级数1、幂级数：收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，一致收敛性，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项微分）；幂级数的运算。2、函数的幂级数展开：泰勒级数及展开的条件，初等函数的幂级数展开式。3、求幂级数和函数。说明和要求：1、了解幂级数，函数的泰勒级数等概念。2、掌握幂级数的性质。3、会求幂级数的收敛半径与某些幂级数的收敛域。4、会将某些

18、函数展开成幂级数，会用间接法求函数的泰勒展开式。5、会求幂级数的和函数。6、本章的重点是幂级数收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，函数的幂级数展开，求幂级数和函数。难点是求幂级数的和函数第十五章 傅里叶级数1、傅里叶级数：三角级数，正交函数系，以2为周期的函数的傅里叶级数，收敛定理。2、以2为周期的函数的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。3、收敛定理的证明。说明和要求：1、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。2、能正确叙述傅里叶级数收敛性的判别法。3、能将某些函数展成傅里叶级数及正弦、余弦级数。4、本章重点是傅里叶级数，以2为周期的函数的傅里叶级数。难点是将某些函数展成傅里叶级

19、数及正弦、余弦级数。第十六章 多元函数的极限与连续1、平面点集与多元函数：平面点集，邻域、内点、界点、聚点，开集、闭集，区域、闭区域，的完备性定理，二元函数，n元函数。2、二元函数的极限：二元函数的极限；累次极限。3、二元函数的连续性：二元函数连续性概念，有界闭域上连续函数的性质（有界性，介值性，取最大值与最小值，一致连续性）。说明和要求：1、正确理解平面点集的基本概念，多元函数的极限，累次极限及连续性等概念。2、了解闭区域套定理，有限覆盖定理及多元连续函数的性质。3、本章的重点是二元函数的极限，二元函数的连续性。难点是二元函数的连续性。第十七章 多元函数的微分学1、可微性：多元函数可微性与全

20、微分，偏导数，可微性的条件，可微性的几何意义与应用 。2、复合函数微分法：复合函数的求导法则，复合函数的全微分。3、方向导数与梯度。4、泰勒公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理和泰勒公式 ，极值问题。说明和要求：1、掌握偏导数，全微分，方向导数和梯度等概念，能熟练地计算多元函数偏导函数和全微分，可微性的几何意义与应用 。2、弄清多元函数可微、偏导数存在、连续之间的关系。3、掌握混合偏导数与求导顺序无关的条件。4、会求二元函数的极值。5、本章的重点是偏导数，全微分，方向导数和梯度等概念，计算多元函数偏导函数、混合偏导数和全微分，二元函数的极值。难点是混合偏导数。第十八章 隐函数定理及应用1、隐函

21、数概念，隐函数定理，隐函数求导。2、隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。3、几何应用；平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。4、条件极值。说明和要求：1、理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。2、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。3、会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。4、本章的重点是隐函数，隐函数求导，隐函数组，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，几何应用，拉格朗日乘数法求函数的条件极值。难点是隐函数求导，隐函数组求导，几何应用。第十九章 含参变量积分1、含参变量正常积

22、分。2、含参量反常积分。3、欧拉积分。说明和要求：1、掌握含参量正常积分的概念，含参量正常积分的性质。2、掌握含参量反常积分的概念，含参量反常积分的一致收敛性的概念 ，含参量反常积分的一致收敛判别法， 含参量反常积分的性质 。3、掌握函数与函数，函数与函数的关系4、本章的重点是含参变量积分，含参量反常积分的收敛与一致收敛，含参变量积分的性质，函数与函数。难点是含参量反常积分的收敛与一致收敛，含参变量积分的性质。第二十章曲线积分1、第一型曲线积分的概念和计算。2、第二型曲线积分的概念和计算。说明和要求：1、掌握第一型、第二型曲线积分概念和计算方法。2、本章的重点是第一型曲线积分，第二型曲线积分。

23、难点是计算第一型曲线积分，第二型曲线积分的。第二十一章 重积分1、二重积分的概念 ：平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分的性质。2、直角坐标系下的二重积分计算。3、格林公式 曲线积分与路线无关性。4、二重积分的变量变换。5、三重积分：三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法。6、重积分的应用：曲面的面积，重心等说明和要求：1、掌握二重积分与三重积分的定义和性质。2、能熟练运用适当方法计算二重积分和三重积分。3、掌握格林公式，曲线积分与路线无关的条件和应用。4、熟悉重积分在几何上的应用。5、本章的重点是二重积分的概念和性质，二重积分的计算，格林公式，曲线积分与路线无关

24、的条件，三重积分的定义与计算，重积分在几何上的应用。难点是二重积分的计算，格林公式，曲线积分与路线无关的条件，三重积分的计算。第二十二章 曲面积分1、第一型曲面积分的概念和计算。2、第二型曲面积分的概念和计算。3、高斯公式与斯托克斯公式。说明和要求：1、掌握曲面积分的概念和计算方法。2、掌握高斯公式，熟悉斯托克斯公式。3本章的重点是第一型曲面积分，第二型曲面积分，高斯公式与斯托克斯公式。难点是计算第一型曲面积分，第二型曲面积分。三、教材和主要参考书目教材：华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）上、下册，北京：高等教育出版社；2003。教学参考书：1、华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）上

25、、下册，北京：高等教育出版社；1980。2、刘玉琏等编.数学分析（第四版）上、下册，北京：高等教育出版社；2003。 3、陈传璋等编，数学分析，北京：高等教育出版社4、北京大学编，数学分析，北京：高等教育出版社修订人：朱成莲 审核人：柏传志修订日期： 2007年4月高等代数课程教学大纲一、说 明适用专业数学与应用数学先修课程初 等 数 学总 学 时186学时总 学 分10学分（一）本课程的目的、要求本课程是学习其它数学学科和其它自然科学学科的必备基础，也是数学与应用数学专业(师范)的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，而且对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀

26、人才的专业知识保证。通过本课程的学习，应达到下列目标和要求：（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。(4) 逐步培养学生对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质

27、量。（二）内容选取和实施中注意的问题本课程以一元多项式理论作为“缓冲”，以行列式、矩阵、线性方程组等内容为主体，完成由初等数学到高等数学的顺利过渡，并着力培养学生的代数计算能力、逻辑思维能力和运用知识解决实际问题的能力；最后以向量空间的基本理论进一步提高学生的抽象思维能力。近年来，计算机技术的普遍应用和飞速发展促进了边缘学科的兴起和各学科的互相渗透，其中不少学科都要用到代数工具，另外本专业的许多后继课程也要用到代数知识，因此在本课程的教学中，要充分体现出其它学科对代数知识的需求，处理好课与这些相关学科的衔接，同时也要为后续课程提供必需的代数基本理论和基本方法。本课程在一年级开设，由于学生在中学

28、时期形成的思维方式和学习方法多半不再适用，因此在教学过程中还要注意学习方法的指导，引导学生养成正确的代数思维方式和良好的学习方法。（三）教学方法以课堂讲授为主要教学手段，理论课与习题课交互进行。理论课上注意对学生思维能力地培养，习题课中加强对学生推理能力与计算能力的训练。同时，合理使用计算机多媒体辅助教学。（四）考核方式 期末考核采用闭卷考试的方式进行。学期总成绩的评定:期末考试占80，平时占20。平时成绩包含平时作业10分，出勤10分。（五）教学内容与学时分配教学章节教学内容学时安排备注1多项式32学时2行列式18学时3线性方程组22学时4矩阵24学时5二次型18学时6线性空间24学时7线性

29、变换26学时8欧几里得空间22学时二、大纲内容第一章 多项式1数域数域的定义与基本性质。2一元多项式一元多项式的概念、运算及代数性质。3整除的概念带余除法定理 ，整除概念及基本性质。 4最大公因式辗转相除法 ，最大公因式的定义及唯一性、存在性及求法， 互素的概念与性质， 最大公因式、互素概念的推广。5因式分解定理 不可约多项式的概念及性质，因式分解及唯一性定理。6重因式 重因式的概念、性质、判别及求法。7多项式函数多项式函数的概念及多项式根的概念，余式定理，根与一次因式的关系。8复系数与实系数多项式代数基本定理，实系数多项式根的性质，复系数与实系数多项式的因式分解。9有理系数多项式本原多项式，

30、高斯(Gauss)引理，整系数多项式在有理数域上的可约性问题，有理根的性质，艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法。说明和要求：本章以带余除法定理为基础，以因式分解及唯一性定理为主线，重点是多项式的整除关系、互素关系、不可约多项式和多项式的根。通过本章的教学，应使学生理解并掌握带余除法定理，掌握整除、最大公因式、互素、不可约多项式、重因式和多项式的根等基本概念及其性质，了解因式分解及唯一性定理，理解复系数与实系数的因式分解定理，理解并掌握有理系数多项式的有关结论。会求两个多项式的最大公因式，能判别一个多项式有无重因式、两个多项式是否互素以及一个多项式是否整除另一个多项式。第二章行列式1排列

31、 排列及其逆序数、对换的概念与性质，排列的奇偶性及确定排列奇偶性的方法 。2.n级行列式n级行列式的定义，确定行列式的符号的其它方法，行列式的转置。3. n级行列式的性质n级行列式的性质，应用实例。4. 行列式的计算矩阵及其初等变换，用行列式的性质计算行列式。5行列式按一行(列)展开余子式与代数余子式的概念，行列式依行(列)展开定理，范德蒙德(Vandermonde)行列式，拉普拉斯(Laplace)定理。6 克拉默(Cramer)法则线性方程组，克拉默(Cramer)法则，齐次线性方程组有非零解的一个必要条件。说明和要求：本章的主要任务是行列式的计算,重点内容是行列式的定义、性质和依行(列)

32、展开定理，难点是行列式的定义和行列式的计算。通过本章的教学，应使学生理解排列的奇偶性、行列式、代数余子式、矩阵的初等变换等概念及基本性质，掌握行列式的性质和依行(列)展开定理，会用行列式的定义、性质和依行(列)展开定理计算一些行列式，理解并能运用克拉默(Gramer)法则。第三章 线性方程组1消元法方程组的初等变换，阶梯形方程组，方程组的一般解与自由未知量。2n维向量空间n维向量的概念，运算及其性质。3线性相关性向量组的线性组合，两个向量组的等价，向量组线性相关性的定义及性质，向量组极大线性无关组与秩。4矩阵的秩矩阵的秩的概念、性质及求法。5线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理，解的个

33、数。6线性方程组解的结构线性方程组解的性质，基础解系的概念与求法，齐次线性方程组解的结构，一般线性方程组解的结构。说明和要求：本章以维向量组的秩为基础引入矩阵的秩，并以此为工具建立了完美的线性方程组理论与方法(包括有解判别定理、解的个数、解的结构与求法)，重点是向量组的线性相关性、线性方程组有解判别定理和解的结构，难点是向量组的极大线性无关组和方程组解的结构。通过本章的教学，应使学生理解维向量组的线性相关性、向量组和矩阵的秩、基础解系等概念及性质，掌握线性方程组有解判别定理，会求齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组的所有解。第四章矩阵1矩阵的运算零矩阵、单位矩阵与数量矩阵，矩阵的加法、数乘

34、、乘法和转置的定义与性质。3矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式，非退化矩阵，矩阵乘积的秩。4矩阵的逆可逆矩阵与逆矩阵的概念，矩阵的伴随矩阵，矩阵可逆的个充分必要条件，可逆矩阵的性质。5矩阵的分块 分块矩阵，分块矩阵的加法、数乘、乘法与转置，对角线分块矩阵。6初等矩阵初等矩阵的概念，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵可逆的一个充分必要条件，用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。7分块乘法的初等变换及应用举例分块乘法的初等变换，应用举例。说明和要求：本章的主要内容是矩阵的运算以及方阵可逆性的判别，另外还介绍了矩阵分块运算的技巧，重点是矩阵的乘法和方阵可逆性的判别，难点是初等矩阵与初等变换的关系以及分块矩阵的

35、初等变换。通过本章的教学，应使学生熟练掌握矩阵的基本运算，正确理解初等矩阵与初等变换的关系，能判别方阵的可逆性，会求可逆矩阵的逆矩阵，掌握分块矩阵的运算技巧。第五章二次型1二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示，合同矩阵与非退化线性替换的定义及性质。 2标准形二次型的标准形，配方法，初等变换法。3唯一性 实二次型的规范形、惯性指数与符号差，复二次型的规范形。4正定二次型正定二次型、正定矩阵及顺序主子式的定义，实二次型为正定二次型的几个充要条件。 说明和要求：本章以矩阵为工具，重点讨论用非退化线性替换化二次型为标准形的方法和正定二次型的判定，难点是二次型的化简与矩阵合同之间的关系。通过本章的教学，

36、应使学生掌握二次型、非退化线性替换、矩阵的合同、实二次型的惯性指数、正定二次型和正定矩阵等基本概念，能用非退化线性替换将二次型化成标准形，能求出实二次型的规范形及惯性指数,能准确判别实二次型的正定性。第六章线性空间1集合、映射映射，单射，满射，一一映射。2线性空间的定义及简单性质3维数、基与坐标向量组的线性相关性及几个结论，线性空间的基与维数，向量的坐标。4基变换与坐标变换过渡矩阵，基变换公式与坐标变换公式 。5线性子空间线性子空间的定义与判别，生成子空间。6子空间的交与和子空间的交与和的定义，维数公式，生成子空间交与和的求法。7线性空间的同构线性空间同构的定义、性质与判定。说明和要求：本章介

37、绍线性空间的基本理论，重点是线性空间的维数和线性空间的同构，内容比较抽象，在教学中，既要处理好抽象与具体，一般与特殊、无限与有限等关系，也要注重代数思想方法的灌输。通过本章的教学，应使学生深刻理解线性空间的概念，掌握子空间、维数、同构等基本内容，理解线性空间的基本结构，会求线性空间的基与维数及向量的坐标，能判定一个子集是否是子空间以及两个线性空间是否同构。第七章 线性变换1线性变换的定义线性变换的定义及基本性质。2线性变换的运算线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换。3线性变换的矩阵线性变换在一组基下的矩阵，在取定基之下线性变换与矩阵的对应关系，相似矩阵的定义及性质，线性变换在两组

38、基下的矩阵的关系。4特征值与特征向量线性变换的特征值、特征向量及特征子空间的定义与求法，矩阵的迹和行列式与特征值的关系，相似矩阵的特征多项式。 5对角矩阵属于不同特征值的特征向量的线性无关性，线性变换和矩阵可对角化的条件和对角化方法。说明和要求：本章在介绍线性变换及其运算以后，主要讨论有限维线性空间中的线性变换，目标是将线性变换问题转化为矩阵问题，工具是线性变换的特征值和特征向量，重点是线性变换在基下的矩阵、线性变换的特征值和特征向量。通过本章的教学，要使学生在理解线性变换及其运算、线性变换在基下的矩阵、矩阵的相似、线性变换的特征值与特征向量等概念的基础上，熟练掌握线性变换的运算、线性变换在某

39、基下的矩阵的求法、线性变换的特征值与特征向量的求法以及在对角化问题中的作用。第八章 欧几里得空间1定义与基本性质内积，欧氏空间，向量的长度，非零向量的夹角、两个向量的正交，基的度量矩阵。2标准正交基正交组，正交基，标准正交基，正交基扩充定理，施密特正交化方法，正交矩阵的定义与性质。3同构欧氏空间同构的定义、性质与判定。4正交变换正交变换的概念，线性变换是正交变换的几个充分必要条件。5子空间子空间的正交，正交子空间的性质，正交补。6实对称矩阵对称变换的定义，对称变换与实对称矩阵的关系，实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，用正交矩阵化实对称矩阵为对角形，二次型的化简及二次曲面分类。说明和要求：本章

40、在实线性空间中引入内积，并利用内积对欧几里得空间的结构及线性变换进行了讨论，重点是内积、标准正交基和实对称矩阵的相似合同标准形。通过本章的教学，应使学生掌握欧氏空间中与内积有关的长度、夹角、正交、度量矩阵、正交组、正交基、标准正交基、正交子空间、正交变换、对称变换等概念，会求标准正交基并理解标准正交基在讨论有限维欧氏空间的作用，能判定一个线性变换是否是正交变换和对称变换，理解并掌握实对称矩阵的相似合同对角化的理论与方法。三、教材和主要参考书1北京大学几何与代数教研室代数小组编.高等代数(第三版).北京：高等教育出版社，20032丘维声编.高等代数.北京：高等教育出版社，20023杨子胥编.高等

41、代数习题解.山东：山东科技出版社，20014莫宗坚等编.代数学（上）.北京：北京大学出版社，19865邱维生等.高等代数讲义.北京：高等教育出版社，1988 修订人：胡宏 审核人：孙智宏 修订日期： 2007年4月几何学课程教学大纲一、说 明适用专业数学与应用数学先修课程高等代数总学时120学时总学分6学分（一）本课程的目的、要求几何学是高等师范院校数学与应用数学本科专业的一门主干课程.通过本课程的教学，应达到以下目的和要求：1使学生掌握向量代数、空间几何的基础知识和基本技能,学会运用解析的方法解决平面和空间几何中的实际问题，也为进一步学习数学分析、高等代数等课程作好准备.2使学生掌握射影几何

42、学的相关知识和研究方法，了解几何学的群论观点以及用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想, 加深对几何学和空间概念的理解.3对学生进行几何基础理论的教育，提高其观念，灵活其思维，使今后更好地胜任中学几何教学.（二）内容选取和实施中应注意的问题  （1）本课程以讲授解析几何、射影几何的相关知识为主，把几何结构有系统地代数化、数量化，并介绍几何学的群论观点和公理体系.（2）尽可能介绍向量代数和高等几何知识在初等几何中的应用.  （3）根据几何学发展的历史和兄弟院校开设本课程的经验，应兼用综合法和解析法进行讲授，尽可能从几何的概念出发，利用直观图形帮助理解，利用代数方法确认本质.（

43、4）在课程讲授中，要注意教学方法，激发学生的学习兴趣;适度运用投影仪及多媒体教学，提高课堂教学效率.（5）安排一定量的习题课，引导学生正确运用所学知识解决问题，处理好学习中的疑难点，培养学生分析问题的能力.（6）教学时应保证大纲规定的基本内容，对系统安排、课时分配、章节划分及教学方式等方面可视不同学期、不同年级的具体情况进行适当调整. 大纲中带“*”号的内容为选讲内容.（三）教学方法课堂以教师讲授为主，辅以自学、讨论和习题课，适度运用多媒体教学.（四）考核方式期末考核采用闭卷考试的方式进行.学期总成绩的评定，期末考试占80，平时占20.平时成绩根据作业完成情况、期中测验成绩和课堂或小组讨论中的

44、表现综合给出.（五）教学内容与学时分配教学章节教学内容学时安排备注第一部分几何学(一)共48学时1向量代数12学时2空间的平面与直线12学时3常见曲面12学时4二次曲线12学时第二部分几何学(二)共72学时1射影平面24学时2射影变换16学时3二次曲线的射影性质20学时4从变换群观点看几何6学时5几何基础*6学时注：根据教学计划的安排，几何学(一)在一年级上学期开设，每周3学时；几何学(二)在一年级下学期开设，每周4学时。二、大 纲 内 容几何学（一）第一章 向量代数1向量及其线性运算. 2向量的内积、外积与混合积.3向量的坐标.说明和要求：(1) 掌握向量的各种运算、位置关系、向量的坐标表示

45、.(2) 本章重点与难点：向量的运算及位置关系的判定.第二章 空间的平面与直线1平面的方程，点到平面的距离.2平面之间的相关位置.3直线的方程，点到直线的距离.4直线、平面之间的相关位置.5平面束.说明和要求：(1) 掌握平面和直线方程的各种表示形式，明确平面与平面、平面与直线、直线与直线间的各种位置关系和度量关系，理解平面束的概念.(2) 本章重点与难点：平面和直线方程的确定.第三章 常见曲面1空间中曲面和曲线的方程.2球面、柱面、锥面.3旋转曲面.4二次曲面.5直纹面.说明和要求：(1) 掌握建立球面、柱面、锥面及旋转曲面方程的方法.掌握球面、典型位置的柱面、锥面、以坐标轴为轴线的旋转曲面

46、的方程，明确二次曲面的图形特征，了解直纹面的概念.(2) 本章重点与难点：特殊曲面方程的确定.第四章 二次曲线1平面上的坐标变换.2坐标变换下二次曲线方程系数的变化.3二次曲线方程的化简与二次曲线的分类.*4二次曲线的不变量.说明和要求：(1) 掌握化简二次曲线方程及判别二次曲线特征的方法，了解二次曲线的简易绘制步骤.(2) 本章重点与难点：二次曲线方程的化简.几何学（二）第一章 射影平面1拓广平面与其上点的齐次坐标.2射影平面与其上点的射影坐标.3射影坐标变换.4交比、调和比.5对偶原理.说明和要求：(1) 掌握中心射影、齐次点（线）坐标、射影坐标、交比及调和比的概念、明确完全四点形和完全四

47、线形的调和性质，会作对偶图形和对偶命题.(2) 本章重点与难点：齐次坐标,Desargues透视定理,对偶原理.第二章 射影变换 1一维基本形之间的射影变换.2透视变换.3对合变换.4直射变换，射影性质.说明和要求：(1) 掌握一维射影变换的基本概念、性质及二维射影变换不变元素的求法.明确对合变换的定义、性质及分类.(2) 本章重点与难点：一维与二维射影变换的概念、性质及其代数表达式，对合变换的实现.第三章 二次曲线的射影性质1二次曲线的射影定义.2二次曲线的射影性质.3二次曲线的射影分类.4二次曲线的仿射性质.说明和要求：(1) 掌握二阶（级）曲线的射影定义、巴斯加定理和布利安森定理及其应用

48、、极点（线）的求法及作用、配极原则，理解二次曲线的射影分类.掌握二阶曲线的中心、直径、渐近线的射影定义及确定.(2) 本章重点与难点：二阶（级）曲线的概念和配极理论及其应用.第四章 从变换群观点看几何1射影群与其子群.2Klein关于几何学的观点.3几种几何的比较.说明和要求：(1) 掌握变换群的概念，理解几何学的群论观点，明确三种几何学的关系及各自的研究对象.(2) 本章重点与难点：变换群观点.  第五章 几何基础 *1公理化思想的产生.2射影几何的公理体系.3欧氏几何的公理体系.4罗氏几何的平行公理. 说明和要求：  (1) 了解欧几里德第五公设问题

49、的由来，领会近代公理化的思想和方法，明确罗氏几何与欧氏几何的区别.(2) 本章重点与难点：几何公理法及其相关的基本问题.三、教材和主要参考书1郑崇友等编.几何学引论.北京：高等教育出版社（面向21世纪课程教材），2000.32朱德祥编.高等几何.北京：高等教育出版社，1983.9  3梅向明等编.高等几何（第二版）.北京：高等教育出版社，2000.5  4吕林根、许子道等编.解析几何（第三版）.北京：高等教育出版社，19875傅章秀.几何基础.北京：北京师范大学出版社，1984.4修订人：徐淮涓、殷建莲 审核人：胡宏修订日期：2007 年 4月概率论与数理统计课程教学大纲一

50、、说 明适用专业数学与应用数学先选课程高等代数、数学分析总学时72学时总学分4学分（一）课程的目的、要求概率论与数理统计是高等师范院校数学与应用数学专业的一门基础课，它是研究随机现象中数量规律的一门基础学科，其理论与方法已广泛应用于工农业生产、国民经济及几乎一切科学技术领域，在理论联系实际方面，已成为数学中最活跃的分支之一，通过本课程的教学，应达到以下目的和要求：(1)提高学生的数学修养，懂得随机系统中的基本数量规律，并初步学会用概率统计思想与方法去思考随机系统中的数量关系与问题。(2)培养学生处理随机数据的能力，作为专业研究的有力工具。(3)通过学习，要求学生掌握概率统计的基本概念，基本理论与方法，掌握主要的公式及其重要应用，并进行必要的基本训练，较熟练地掌握概率统计中的基本题型与解法，掌握常用的数理统计的基本原理与方法，便于在专业研究时能恰当选择模型，正确地运用统计软件。（二）内容选取和实践中注意的问题 （1）本课程以讲授概率论与数理统计基本知识为主，适当地介绍一些近代的内容以及发展史。 （2）在讲清概念的基础上，精选范例，加强基础训练，使学生掌握一定的解题技巧，以克服解题困难。 （3）为了培养学生分析问题和解决问题的能力以及创新能力，适当安排一定的习