离散频谱校正技术及其在发动机扭转振动测试分析中的应用

1、讲座1离散频谱校正技术及其在发动机扭转振动测试分析中的应用一、频谱分析频谱分析是现代信号处理技术的最基本和常用的方法之一，在生产实践和科学研究川获得日益广泛的应用。 例如，对汽车、飞机、轮船、汽轮机等各类旋转机械、电机、机床等机器的主体或部件进行实际运行状态下的 谱分析，可以提供设计数据和检验设计效果，或者寻找振源和诊断故障，保证设备的安全运行等；在声纳系统 中，为了寻找海洋水面船只或潜艇，需要对噪声信号进行谱分析，以提供有用信息，判断舰艇运动速度、方向、 位置、大小等。因此对谱分析方法的研究，受到普遍注意和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。在频谱分析屮需要考虑两个重要的问题，一是

2、怎样提高分析速度，包括釆用fft等各类算法、减少分析点 数等；二是怎样提高分析精度，这需要采用加窗、频谱修正等技术压低旁瓣、抑制泄漏或修正吋域截断的彫响。1 傅立叶级数(1) 周期信号与傅立叶级数一个周期信号f(t),当满足狄义赫利(dirichlet)条件，即：周期性函数在一个周期内只有有限个极值点，只 有有限个第一类间断点(这种间断点处左、右极限存在)，而其余各处都是连续的，这时可以用一个傅立叶级数 來表示：/w =+£d“ cos®如+休 sin(h690r)/=1- ( (1.1.1)n=i式中：do =*；：/("力(1.1.2)j = ¥ 匸

3、：/ cos(®m(1.1.3)bn =力(1-1.4)为静态分量，t为信号周期，./o为基频且/0 = /t , ”0为第n次谐波的频率(n二1,2, 3) = 27t/t = 20o为基频园频率。第n次谐波的幅值：4” = 賦 + b；(1.1.5)第n次谐波的初相位：(pn = tan-1 (1.1.6)(2) 傅立叶级数的物理意义a. 任意一个周期函数，只要满足一定条件，都可以由以基频f的谐波与整数倍基频的高次谐波的和，这就是 周期信号合成的原理。b. 周期信号中的任一阶频率成分的幅值、相位都可以通过傅立叶级数展开得到，这是周期信号分解的原理,在机械振动分析屮，常用这一原理来

4、求旋转机械基频以及高次谐波的幅值和相位。也就是说周期函数的频谱实 质上是由一系列与基频人有关的离散频谱构成，基波频率人和谱线间隔勾；都是1/t。c. 这一原理也可以扩展来求周期信号的（m, k均为正整数，kvm）倍谐波，只要将新周期扩大 为原周期的m倍，在机械振动分析小，常用这一原理来求旋转机械涡流振动的半频成分和扭振中有理数分频成 分的幅值和相位。根据式1.1.3和1.1.4,周期信号的+（m, k均为正整数，kvm）倍谐波的实部和虚部可变换为：2 cmt,2 . 、 r(nm + k) n 7= yj_/mz/2/(ocoscddt2 rmt/2. (nm + k) t fb伽+約2/ws

5、inlco.tdt相应的幅值和相位为:(nm + k )j a (nm +k)d. 利用整周期信号的傅立叶级数展开求出的基频以及高次谐波的幅值和相位对应于对同一周期信号进行 整周期截断做傅立叶变换（dft）求得的各条谱线的幅值和相位。其实质是対周期信号进行整周期采样、无泄漏离 散dft求出的基频和高次倍频的幅值和相位。第n阶的幅值和相位为：&二仏2+矿nan（3）傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式存在有下列关系：p 一丿如+»哪 cos（g）/）=iz?沟3 q-j30sin（/2 690r）=-j；将（1.1.15）代入（1丄1）中并整理得：84) = 5+工(c0叫+j小讪

6、)/?=!式中:c = =(b ja )n2""c =(/?+ /6z )72"n若令（1.1.15）式中第三项n取值从-co到-1,则该项可表示为工 j严r,于是得到另一种傅立叶级数的展开 式，即指数展开式：式中，c”为傅立叶系数:c吕曬时7( =0,±1,±2,)(1丄18)c”为一复数，故将上式称为周期信号的复数形式傅立叶展开式。由于n可取负数，4fo就意味着“负频率”, 这是由复数表示所引起的。例：周期方波的傅立叶级数展开函数表达式为：t0<t<-/(0 =-a2t <t<t2满足狄义赫得条件,其傅立叶级数存在。

7、ao = °2an =二 ¥(facos=02n7rt .cosatt2”加-ro1-7/t qcos(l1.20)b=zfl rrf、 inm . )sinattasmat- t/tt.兀tjeo2/177jxasmat- t/asnat)t卜t 2nm 八 asmat)” =12 (i.l21)2a 2acos/77tn7t n7t则:j4a4a34a4a5tzt7tt1 -0 a死罚 f图1.1.1周期方波的傅立叶级数式屮九=1/7/(/)二玆 sin/:=12n7t4a. 2加4。. 6加4a. 10加sin+sin+ sin+ 兀 t3兀 t兀 t4ci4

8、6;4q=万血(2曲)+寿sin(6曲)+弟sin(10曲)+5龙2.傅立叶变换(1) 傅立叶变换傅立叶级数是将周期信号分解为离散谱线，其积分的上、下限必须满足整周期的条件，也只能分析离散谱 线，具有很大的局限性。对于一个非周期信号，我们可以把它看成-个周期t趋于无穷大的周期信号，这种信 号的基频办、谱线问隔纣。都将变成无穷小而趋近于零。显然，这时组成频谱的谱线越来越密集，从而使离散 谱线过渡到连续频谱，由此可引出傅立叶变换对的概念。傅立叶正变换的定义：(1.2.1)(1.2.2)幵/)二匚/不曲力傅立叶逆变换的定义是：傅立叶正变换和逆变换构成一个傅立叶变换对，其典型表达式如下:(1.2.3)

9、傅立叶变换的物理意义是建立了吋间域和频率域的关系，可以将连续的吋间域函数变换成连续的频率域函 数，观察信号的频率分布；也可以将连续的频率域函数变换成连续的时间域函数，观察信号的波形特征。(2) 脉冲函数的傅立叶变换建立脉冲函数的傅立叶变换是重要的，因为它的使用可极大的简化许多函数傅立叶变换的推导。a. 脉冲函数力(/)定义为：oot = 0心 0(124)f 8 (t)dt = 1j 8/函数的筛选特性(采样特性)：匸 力=x(0)(1.2.5)(1.2.6)j x 8t - txt)dt = x(/0 )(1.2.7)其川无(。是在(0处连续的任意函数。应用脉冲函数序列的傅立叶级数展开的定义

10、可以直接得到许多重要 函数的傅立叶变换。b.力函数的傅立叶变换函数为：兀(/) = k8t)(1.2.8)5函数的傅立叶变换为j oo=keq=k(129)x(/)的傅立叶逆变换为：x(r) =、二 ke df=k j"jcos( 17tft)df + jk 匚 sin( 17tft)df(1210)因为第二个积分的被积函数是奇函数，在对称区间的积分为零。第一个积分要使用广义函数的概念才能算 出(参见papoulis的书第281页)为：x(r) =kej2df = kcos(2勿)妙=jooj8(1211)即存在下列关系式:匸严加妙二匚cos( 2劝)0*(/)(1212)(1213

11、)ji e dt =匚 cos( 27rft)dt = 5(/)这个关系式是推导许多傅立叶变换的基础j也豪严)图1.2.1 /函数的傅立叶变换(3) 儿种典型信号的傅立叶变换给出一些典型信号的傅立叶变换对，了解它们变换过程和结果，可使我们进一步加深对傅立叶变换的理解,深入认识信号从时域到频域的转换过程，为今后的推导和了解傅立叶变换的性质提供帮助。a.余弦信号的傅立叶变换x（r）= acos（2 型/）其傅立叶变换为:x（/）=f acos（2劝。”旷以劝加j 8j2耐+ £-丿2 刃(/+/o)(1215)j2加(“九)根据（1213）式有：aa(1216)x（/） = y（/-/0

12、） + y（/ + /0） 余弦信号的傅立叶变换为纯实数，虚部为零，见图122。亍兀r+几）3)尹（/-几）-/o0 /f（q时域波形（b）.傅立叶变换图122余眩信号的傅立叶变换余弦信号的傅立叶变换对：(1217)4cos（2 硏/） o/o） + fs（/+办）b. 正弦信号的傅立叶变换(1218)%（/）= a sin（2对j/）参考（1.2.13）式，其傅立叶变换为：x（./asin（2矶”不曲力=丄4曲严叫-曲力j 2 jp=_沦严皿）_2曲+叫2 =-丿矢（/-办）+丿哼5（/+/。）正弦信号的傅立叶变换为纯虚数，实部为零，见图123。 正弦信号的傅立叶变换对：图123正弦信号的傅

13、立叶变换+ /()ayw-/o)(1.2.20)c. 一般谐波信号的傅立叶变换(1.2.21)x(r)= acos(2;/ + 观)参考(12式，其傅立叶变换为：x(/) =匚acos(2如的叭* =”(2肘0"阳)+妙0"处)卜-/2和力(1.2.22)弓厂(/-无)+ £厂治+ /j =£次/一 托)cos 此 + jsin 亦+ £§(/ + 托)cos0) jsin£)sin 規=q/(/ z)cos©)+空/(/ + /)cos©> +j- fa)sin- 3(f一般谐波信号的傅立叶变换为

14、复数，见图124。显然令00=0°，贝9(1221)变为:x(/) = y<j(/-/o)+y(/ + /o)即余弦信号的傅立叶变换令0o=9o°,贝9(1221)变为:x(/) = -j(/-/0)+jy(/ + /0)即正弦信号的傅立叶变换一般谐波信号的傅立叶变换对：(1.2.23)a cos(2 矶 f + 0 j o y 8if -/j cos 如 +£/(/ + ./； j cos+ j 力(/ 一 /o)sin 00(/ + /o)sin 0()(a) 时域波形j cos仇亍/一几)cos血a寸gh)sin 仇*o几f0 几fa(/几)sin血(

15、b).傅立叶变换图124 般谐波信号的傅立叶变换d. 直流信号的傅立叶变换兀($) = k(1.2.24)参考(1.2.13)式，其傅立叶变换为:=k 匚 cos( 2兀ft )dt=k(/)(1.2.25)直流信号的傅立叶变换为纯实数，是频率为零而幅值为k的§函数，见图125。 直流信号的傅立叶变换对：k o w)k f欣)«严(1.2.26)0t0q).吋域波形(b).傅立叶变换图125直流信号的傅立叶变换e. 矩形窗的傅立叶变换矩形脉am < toa(l2.27)xo =y|/| = ±r00t傅立叶变换=cos(2硼)力-丿冯打 sin(2 硼)df

16、aja(1.2.28)77 sin(2 对兀)-sin(-2 对兀)+ -± cos(2 对兀)-cos(-2 对乙)2砒2可-w(f)1-t0t t时域信号图126矩形窗的时域信号与窗谱模函数令积分区间为|-r/2,t/2l即新区间为原区间的一半，则上式变为:x(/)= at （ "jt、sm（二一）2兀jt2sin(x(0)= atcotf哈明(hann i ng)和海宁(hamm i ng)窗d + (l-q)c()s(加/ 仏)0(1.2.29)考虑被积函数为奇函数时积分为零，其傅立叶变换为:令:a 4-（1- a） cos（学jf-"顽 dt詢；厂力+（

17、 _心严任|严刃c sin（2/t（.）/ 、m （加）=2血好+（5l严日 =2血疇厶（-ox（/f则(1.2.30)可以写为:cos（2劝）+ 丿 sin（2 劝）mcos(2和)力=a+ 丄（一幺）j； cos（空 + ijtft） + cos（ - 27vf't）dt20t（）人=a "2严' + 斗（1 一a）/； cos2加（/ + 十）+ cos2加（/ + 当）m 血2愿）（/ + *） sin2 龙7；（/ +龙（/ +丄）27；3 （）7t（f） 27；x（f） = aq（f-a）q（1.2.30）（1.2.31）（1.2.32）哈明(hannin

18、g) w：令e 5,新的区间为原区间的-半，即“少哈明(hanning)窗的傅立叶变换为:（、1 sin（ jtft ） x"fsin rct厂)右+丄v t)sin ttt f-+ i rv兀f i ）t）（1233）令4 = 2砒,贝9(1233)式变换为:sin（卑）.x（69）=匸=v 72 co 41t2严头+判sin4-60岛（1234）令:（1235）则(1234)式变换为:x(q = *q(q)+2tua)+ t )/+ q co亍丿(1.2.36)(b) 傅立叶变换图127哈明(hanning)窗的傅立叶变换哈明(hanning)窗的傅立叶变换对:(1.2.37)x

19、(/) =1 sin(勿)24%7171(1238)海宁(having) w：令a=0.54,新的区间为原区间的-半，即"知参照哈明亦斶窗的傅立叶变换推导得到海亍窗的傅立叶变换对:0.5 - 0.46cos(%壯(1239)x(/j = 054s"n©7)+0 23< 1、r 1、sin/+tsintf一一t17丄1 /2%( /-丄t /(1.2.40)（q.吋域波形（b）.傅立叶变换图1.2.8海宁（ilammi ng）窗的傅立叶变换g.脉冲序列（采样函数）用脉冲序列（采样函数）傅立叶级数的指数形式展开式进行傅立叶变换得:(1.2.41)xrm &quo

20、t;弘叫v,孚（）(1.2.42)(b)】cz)-l/a/=-7o1/az = /o/（a）时域波形（b）傅立叶级数图129脉冲序列（釆样函数）函数的傅立叶变换时域 曲）频域x(/)线性相加 如+曲）线性相加 x&）+2）时间尺度的改变 xkt）频率尺度的改变ki u丿（3）傅立叶变换的性质表4.1.1傅立叶变换的性质时间尺度的改变频率尺度的改变 x(幼)1 i兀4丿对称性 灿)对称性4-/)时间位移 x(o)相移x(f)小2矶调制频率位移x"-九)实、偶函数实、偶函数 xe(f)=raf)实、奇函数 兀0("虚、奇函数x°(/)二。(/)实函数 兀ck)

21、实部为偶函数 虚部为奇函数x二心+儿虚函数)= jao)实部为奇函数 煨部为偶函数 x(n=&&)+儿(力时域卷积定理40 加)x(/) h(r)两时域信号卷积的傅立叶变换 为各信号傅立叶变换的乘积频域卷积定理w) 加)xh®两时域信号相乘的傅立叶变换 为各信号傅立叶变换的卷积fx(r>(z)=x(/)*w(/)巴什瓦定理x(/)时域信号的总能量等于 频域中计算的总能量 £/(讪二匚|x(/f妙3.频谱分析(1) 频谱分析的基本用途图131是典型时域信号的频谱分析，其实质是谐波(余弦波)分解确定谐波的频率、幅值和相位，其特 点是把复杂的吋域信号变换成简

22、洁的频率信号，一目了然的观察到信号有哪些频率，其相位和幅值大小是多少, 可对信号进行简明和直观的分析。图1.3.1典型吋域信号的频谱分析(2) .频谱的作法(离散傅立叶变换dft)时域连续信号x(t)的采样信号为x(n) - %(!)& (?) =_ 血v)=班込)n = 0,±1,±2,±8卜为釆样间隔。离散傅立叶变换为：%(/)=匚兀力频率、时间离散化得：(1.3.1)(1.3.2)x(k) = £ x(nt)ej2mtn = -oo(1.3.3)进行时域截断，得到实际计算的离散频谱为n-l也丄x伙)=工兀(泌/)n fs/j=0二-jknh

23、=0(1.3.4)n-l=x4)cos(n=0式中k为谱线号，n为时域序列长度，y = v-taf-i2 龙实部x r(k) = x(n)cos( z：h)/=on(1.3.5)nt2兀虚部x,伙)=一 £xo)sin(加)n=0n_ 込 令w =严,则n-1 x仏)=£兀0)“如?i=0w"-n=w"(1.3.6)(1.3.7)市此有离散傅立叶变换对:1 匕jknx(n) = xx(k)e “n w=ox 伙)=£ xn)e nn=0 = 0,l,，nl£ = 0,l,，n l(1.3.8)这就是离散傅立叶变换(dft)的基本公式。

24、(3)由dft的结果作谱ftldft 得到：实部 r(k) £ = 0,1,nl 虚部人伙)k=0,l,7v-l幅值谱£ = (),1,n l(1.3.9)功率谱b二右住(£) + /：“)k = 0,l,n_(1310)对数谱c() = 10 logb() = 20 loga(k) (db)分贝(1.3.11)相位谱(1312)上述四种谱£=0,1,n / 2 1是正频率部分；k =jv/2,.,/v_l是负频率部分。幅值谱代表了该谐波频率时域信号的有效值，是时域信号各谐波的幅值随频率的线性分布；功率谱代表功 率，是谐波频率时域信号幅值的自乘，突出主要

25、频率成分；对数谱反应平均主义，小值加大权，大值加小权， 突出幅值小的频率成分。谱图横坐标确定频率：f = fk af频率分辩率(1.33)» fs 采样频率(hz)分析点数(山以n=8为例，fs=80hz,图1.3.2是某信号的谱分析结果，要特别注意图屮横坐标正负频率的关系。 对实信号来说，dft实部为偶对称，虚部为奇对称，故幅值谱为偶对称，如图1.3.3所示。-40 -30 -20 -100 10203040506070 f (hz)(1 1) 123|4|567 k(0n-l)j负频率正频率负频率图1.3.2谱分析横坐标止负频率的关系幅值谱系数的说明：a. 由于作dft为n点投影

26、累加，故n增大，x(k)增大，以直流为 例很容易理解这一点，为使谱分析幅值能反应信号的实际幅值大小, 故应除以n,这样a(0)就是均值；b. 由于作dft后有一半的能量到了负频率区域，故要真实反应 信号幅值，应乘以2,这样系数就是2/n；频谱分为双边谱和单边谱, 双边谱是指正负频率都存在时的频谱，单边谱是指只存在正频率部 分，把负频率部分的能量叠加到相应正频率部分，即正频率部分幅 值乘2时的频谱。c. 按照电学上的习惯，对正弦交流信号，有效值为峰值的1/v2, 故为使幅值谱反应交流信号的有效值，这样：幅值谱系数幅值谱中a(/) =如信号为xr) = asin(乃班/)a为幅值d. 频谱的幅值有

27、三种表示方法，一种是有效值谱，一种是单峰值谱，一种是双峰值谱。单峰值谱就是上式 幅值谱乘以系数血，双峰值谱是上式幅值谱乘以系数2血。各种频谱分析仪器根据测试分析对象的不同采用 英屮的一种，如用电涡流相对式位移传感器测试分析旋转机械轴相对轴承的振动位移时采用双峰值谱；测齿轮a(k)ai箱箱体的振动吋多采用有效值谱。(4)由谱分析的结果合成时域波形(相位6的含义)图1.3.4是某信号的谱分析结果，根据此结果合成的时域信号为:e(k)0 切aa兀=右 cos( 2 妙 / + & j + 定 cos( 2硏 / + 2)( 1.3.图1.3.5相位o对应于时间序列起点的位置但要说明，ftld

28、ft而得到的相位角0误差极大，最大误差达±90°。4信号处理的里程碑：时域到频域的转换(1) .快速傅立叶变换fft (fast fourier transform)的历史概述在十九世纪六十年代中期的美国“总统科学i咨询委员会”的一次会议期间，加文(garwin)注意到图基正在 写有关傅立叶变换的文章。当时加文在他自己的研究中，极需要一个计算傅立叶变换的快速方法，因此，他详 细询问了图基关于计算傅立叶变换的技术知识。图基概括地对加文介绍了一种方法，它实质上就是后来著名的 库利一图基算法。随后加文就到约克敦(yprktown heights)的ibm研究所计算中心去，请求把该方法程序化。当时，库利是ib m研究中心的一个比较新的工作人员，由于他是唯一的一个没有重要工作的人，因此主动承担了这个任务。在 加文的迫切要求下，库利很快设计出一个计算机程序，之后他就回到自己的工作项目上去，他以为这个题目已 经结束，可以把它忘掉。然而，人们纷