例谈数列中的数学思想

1、例谈数列中的数学思想 高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例1：等差数列的前n项和为Sn，且S12=84，S20=460，求S28。解：由已知得 ，解得.故.在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间

2、的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。例2、实数都不为0，且，求证：成等比数列，且为其公比。分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以为主研究简单。证明：由题设知，是一元二次方程的实数根所以所以因为所以成等比数列由求根公式得：所以为其公比。评注：对已知等式进行整体观察，发现是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。例3、已知，则的值是_。分析：初观之，易两边同时平方-比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解-非常简洁。解：由，知成等差数列设公差是，则由,解之得:又,即,所以评注：也可将同时平方得，进而得到

3、解方程组求解。2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。例4、已知数列的通项，为其前项的和。求证：证明：构造函数则两式作差得：因为，所以即，则函数在其定义域内是减函数又因为，即，也就是评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明，即例5、已知数列中，且点，在直线（1）求的通项公式；（2）求的最小值。分析:(1)由等差数列的通项是关于的一次函数,易判断是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求

4、数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口.解：（1）由题设，即（2）构造函数则于是，即函数是增函数故的最小值是评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。例6、已知等差数列的前 项和为，前项和为，则它的前项和为（）A、130 B、170 C、210 D、260分析:等差数列的前项和 =,可以看成关于 的二次式函数,则可以看成关于的一次式函数. 一次函数图像是

5、一条直线,那么三个点就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前项和为.选(C).例7、递增数列，对任意正整数，恒成立，求.分析：看成函数，它的定义域是，要使函数为递增函数，即单调增区间为,抛物线对称轴至少在的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴在的左侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，得例8、若等差数列和等比数列的首项均为1，且公差，公比，则集合的元素个数最多是（ ）个xOyA、1 B、2 C、3 D、4解析：数列是特殊的函数，等差数列是直线上的点且直线的斜率是公差，由知，对应函数是增函数；等比数列的图象是指数函数图象上的点由图象易知选B。例9、已知是等差数列，是等比数列，其公比，若，则（ ）

6、A、 B、 C、 D、解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B；可推广至：例10、在等差数列中，是前项的和，公差。（1）若，求；（2）若，求。解析：（1）由知是关于的一次式则三点三点共线，故任意两点连线斜率相等xOynmm+nf(m)即，解得（2）由可知:是关于的二次式，且无常数项故可构造函数由得则是此函数的对称轴，因此，即另解：由得则大关于的一次式，所以三点共线利用任意两点连线斜率相等易求得。例11、已知等差数列的前项和是，满足，下列结论不正确的是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由可知，故；由有最大值，且与相对应的二次函数的对称轴在区间内又，所以，故选D。例12、在等差数列中，且，则使数

7、列前项和是取最小值的等于_。解析：传统解法是得，再由知所以，即但若注意到等差数列中是一次函数，则由一次函数的线性特征可知即所以，又得例13、已知，定义，试确定的取值范围，使得对于大于1的自然数，不等式恒成立。解：构造关于的函数若恒成立，只需即可而易证即是增函数所以从而解之得：评注:不等式恒成立的常见问题是，或，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最值。例14：已知数列的通项，比较的大小。通常做法是先求出，然后作商与1比较或作差判断符号。但无论作商还是作差，都不好做。这时正是渗透数学思想方法的良好契机，将看成是关于正整数集的函数，如果能判断该函数的增减性，则可判断的大小。由知，当n10nN+

8、时，数列为递减数列，所以.函数思想在数列中的运用不是学生容易想到的，学生往往对运用函数思想解决问题有一种可遇不可求的感觉，正是这种感觉说明学生的知识结构在函数应用方面的欠缺，问题的关键在于转化意识。由数列情景转变为函数情景，是运用函数思想解决问题的意识在起作用。3、分类讨论思想在数列中的运用分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决。分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗。例15：设等比数列的前n项的和为Sn，而数列 的前n项的和为Tn，求证：Sn=Tn.证明：设等比数列的公比为q。，数列是首项为，公比为的

9、等比数列。（1）当q=1时，Sn=na1, 。（2）当q1时，。由(1) (2)，所以。例16.（0519）设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。解:设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q>1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1<q<1.综上，q的取值范围是（）由得于是又>0且1<<0或>0当或时即当且0时，即当或=2时，即分类讨论，前提是要讨论的对象有着多种不同的情况，这些不同的情况有的显露在

10、算式之中，有的隐含在概念之内。在解决问题当中，必须概念清晰，必须对问题的本质有深刻的理解，才会想到需要分类讨论，才能准确确定要讨论的对象，并按情况需要正确地进行讨论。分类讨论思想是数学学科特点之一，在运用数学方法解决实际问题当中有着广泛的应用，分类讨论在中学教学中经常出现，具有自然而来，层次分明的特征。4、整体思想在数列中的运用整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。整体思想的灵活运用，通常是将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简洁。例17：数列为正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比q。解：由

11、已知有，故q1。依题意，有得, qn=81.由题意知q1，所以前n项中第n项最大，即.将qn=81代入，得. (3)将qn=81代入(1)得. (4)联立(3)、（4），解得整体思想出现在问题解决当中，具有一气呵成、豁然开朗的特质，呈现结构明快、巧妙生成、简洁流畅的思维特征。整体思想的运用基于对问题的敏锐观察力，基于缜密的分析思考，往往在经过观察分析过后迸发出的灵感。在问题解决中懂得运用整体思想，一般依赖于解题经验的积累，其运用场合是由多元问题转化为一元问题。5、转化与化归思想在数列中的运用转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法。数列中有很多复杂的问题都可以

12、通过转化与化归获得解决。例18：已知数列的前n项和为Sn，若，求.解：由 ，得 。即 数列是首项为1，公差为2的等差数列。 。 ，则即 例19.（06江西）已知数列满足:.求数列的通项公式;解：两边同时取倒数得：，即设，则，故所以是公比为的等比数列则有即评注：引入新数列是“无中生有”的策略，也是解数学问题常用的想法。例20.（05湖北）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足求证分析：本题“穿着”不等式的“光彩外衣”，给我们以假象，但只要用“慧眼”认真观察，就会把问题看得“清清楚楚、明明白白、真真切切”喔！原来是数列求通项，继而奇妙的思路就会从心底升腾。证明：

13、当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项相消求和得证.例21.设为常数，且证明:对任意1，；分析：由于欲证明的式子与有关，因此可以把证明问题转化为计算问题，即求出通项。由已知得 ，对于这种类型，一种变形方向是把的系数化为1，另一种是把式中的最后一项化成与n无关的数或式子，从而转化为新的等差或等比数列来解。证法1：两边同除以（-2）得令,则，差后等比（累加）=证法2：由得 设，则b. 构造：,所以是以为首项，为公比的等比数列则=即：故 证法3：用待定系数法构造 即:比较系数得：,所以 所以,则是公比为2，首项为的等比数列. 即 .例22、设数列的前项和求首项与通项；解：（I），