随机变量及其分布

1、概率论与数理统计厦门大学经济学院厦门大学经济学院第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量的概念随机变量的概念 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 分布函数分布函数 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在前面的学习中，我们用字母在前面的学习中，我们用字母A、B、C.表表示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间的子集；针对的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。计算事件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等

2、数学的方法描述、研究随机现象。采用高等数学的方法描述、研究随机现象。o2.1 随机变量的概念随机变量的概念n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示。有些随机试验的结果可直接用数值来表示。 例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来来表示。表示。n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化数量化 例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表示的可规定来表示的可

3、规定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”。 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白 球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个, ,观察抽球结果。观察抽球结果。 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系X X表示取得的红球数表示取得的红球数可记为可记为 XX=2=2 记为记为记为记为 试验结果的数量化试验结果的数量化随机变量的定义随机变量的定义 定义：定义：设随机变量的样本空间为设随机变量的样本空间为 ，若对任意，若对任意样本点样本点，都存在一

4、个实数，都存在一个实数X( )与之对应，与之对应，即存在一个定义于即存在一个定义于 的单值实函数的单值实函数X=X( )，则，则称称X( )为随机变量，简记为为随机变量，简记为X。 一般用大写英文字母表示随机变量一般用大写英文字母表示随机变量 随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点： 变异性变异性 随机性随机性随机变量的实例随机变量的实例某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在在0，1区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X 的可能取值为的可能取值为 0,+

5、 )Y 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，3，.,X 的可能取值为的可能取值为 0，1上的全体实数。上的全体实数。用随机变量表示事件用随机变量表示事件n 若若X X是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SRR，那么那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数, ,则则 “ “出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为： X=2X=2X=4X=4X=6X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为： X 4X 4 或或XX 3 3 n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X

6、的不同取值来表示的不同取值来表示.随机变量的类型随机变量的类型 离散型：离散型：随机变量的所有取值是有限个或随机变量的所有取值是有限个或可列个；可列个； 非离散型：非离散型：随机变量的取值有无穷多个，随机变量的取值有无穷多个，且不可列。且不可列。o2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念 定义：若随机变量定义：若随机变量X只可能取有限个或可列只可能取有限个或可列个值，则称个值，则称X为为离散型随机变量离散型随机变量 定义：设定义：设X为离散型随机变量，它的一切可为离散型随机变量，它的一切可能取值为能取值为x1,x2,xk,，记：，记

7、： P(X=xk)=pk, k=1,2, 称上式为称上式为X的的概率函数概率函数或或概率分布概率分布，简称，简称分分布律布律（Probability distribution) 。 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律用如下表格表示：的分布律用如下表格表示： 概率分布具有以下两条性质概率分布具有以下两条性质 非负性：非负性：pk 0 完备性：完备性： pk=1Xx1 x2 x3 xk Pp1 p2 p3 pk 例例2.6（P33） 例例2.7（P34） 例例2.8（P34） 例例2.9 假定一个试验成功的概率为假定一个试验成功的概率为p(0p1)，不断重复进行试验，直到首次成功为止，不断重复

8、进行试验，直到首次成功为止，用随机变量用随机变量X表示试验的次数，求表示试验的次数，求X的分布的分布律。律。解：解：P(X=k)=(1-p)k-1p, k=1,2, 通常称此例中的通常称此例中的X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布。例例 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3分布律确定概率分布律确定概率解解 =P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举例 例例 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意抽件次品，从中任意抽取取2 2件，如果用件，如果用X X表示

9、取得的次品数，求随机变量表示取得的次品数，求随机变量X X的的分布律及事件分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)PX=1PX=2=P(只有一件为次品只有一件为次品)PX=01131722051190C CC217220136190CC232203190CC故故 X X的分布律为的分布律为kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1 = = X=1X=1 X=2X=2P P X1X1 = P= P X=1X=1 +P+P X=2X=2 注意：注意

10、： X=1X=1 与与 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！952719054190319051 实际上，这仍是实际上，这仍是古典古典概型的计算题，只是表达事概型的计算题，只是表达事件的方式变了件的方式变了故故例：例： 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽样直到的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X的分的分布律。布律。 解解 记记A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 则则 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互独立的！是相互独立的

11、！ 且且X X的的所有所有可能取值为可能取值为 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )对应着事件对应着事件 kkAAAA121设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为2( ) ,1,2,3,3kP Xkbk试确定常数试确定常数b.解解由分布律的性质由分布律的性质,有有11223()()2313kkkbP Xkb例例232113bb1.2b 二、常用的离散型随机变量二、常用的离散型随机变量 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布,背景背景样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述

12、。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。 若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:X 0 1 P 1-p p例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1”1”代表取得红球，代表取得红球，“0”0”代表取得代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为其概率分布为3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服从两点分布。服从两点分布。(1)

13、0,1, 2.,;kknknP XknkCpp 其中其中0 p 1, 则称则称X服从参数为服从参数为 n, p 的的二项分布二项分布(也称也称Bernoulli 分布）分布）,记为记为XB( n, p)二项分布二项分布Binomial distributionn 在在n n重贝努利试验中重贝努利试验中, ,若以若以X X表示表示事件事件A A发生的次数发生的次数, , 则则X X可能的取值为可能的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,n.n.n 随机变量随机变量X X的分布律的分布律 从一批由从一批由9 9件正品、件正品、3 3件次品组成的产品中件次品组成的产品中, ,有放回有放回地抽取地抽取

14、5 5次次, ,每次抽一件每次抽一件, ,求恰好抽到两次次品的概率求恰好抽到两次次品的概率. . 有放回地抽取有放回地抽取5 5件件, ,可视为可视为5 5重重BernoulliBernoulli实验实验记记X X为共抽到的次品数，则为共抽到的次品数，则)41,5( BX25 225112144P XC A=“A=“一次实验中抽到次品一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,P(A)=3/12,n=5 pn=5 p=1/4=1/4例例解解例：例：一大批种子一大批种子发芽率为发芽率为90%，今从中任取，今从中任取10粒粒.求播种后求播种后, 求求（1 1）恰有）恰有8 8粒发芽的概率；（粒发芽的

15、概率；（2 2）不小于不小于8 8粒发芽的概率。粒发芽的概率。解解XB（10, 0.9）(1) P(X=8)=1937. 01 . 09 . 028810 C2( ) P(x8)= 8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10)超几何分布超几何分布 定义：若随机变量定义：若随机变量X的分布律为：的分布律为： max0,M+n-N k minM,n 其中其中MN，n0, 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP( )n 定义定义 服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X； 交换

16、台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y; 矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数; ; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中有些随机变量实际问题中有些随机变量X X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从4 的泊松

17、分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838实际应用中实际应用中当当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1 (二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似The Poisson Approximatio

18、n to the Binomial Distributionnp若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 o2.3 分布函数分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数则对任意实数x x，(Xx)(Xx)是一个随机事件，称是一个随机事件，称为为分布函数分布函数定义域定义域为为（-，+）；）；值域值

19、域为为 ，。，。F(x)F(x)是一个是一个普通的函数普通的函数！Distribution Functionn 分布函数的定义分布函数的定义( )()F xP Xx 分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率n P(X b)=F(b)n P(ab)=1 P(X b)=1 - F(b)P(aP(aX Xb)=P(Xb)=P(Xb)-P(Xb)-P(Xa)= F(b)- F(a)a)= F(b)- F(a)ab已知已知 X X 的分布律为的分布律为XP10121111231212求求X X的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)1

20、1 12 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx 分布函数的性质分布函数的性质1. F(x)是单调不减函数：是单调不减函数：2. 0 F(x) 1, 且且 ()lim( )0,()lim( ) 1xxFF xFF x 12xx12()()F xF x()FP X 不可能事件不可能事件()FP X 必然事件必然事件3. F(x)处处右连续：处处右连续：F(x+0)=F(x)4. 对任意实数对任意实数x，有：，有：P(X=x) = F(x) - F(x-0) 性质（性质（3）的说明：）的说明： 离散型随机变量离散型随机变量的概率分布函数：从一式中的的概率分布函数：从一式中的X x0可以看出可以

21、看出F(x0)包括包括P(X=x0),所以，所以，x0点左点左边的边的F(xx0)=P(Xx0)=P(X x0)=F(x0)所所以是以是“右连续右连续”。 连续型随机变量连续型随机变量的概率分布函数：在的概率分布函数：在R上任何上任何一点一点x0的概率的概率P(X=x0)=0，所以，它实际上左，所以，它实际上左右都是连续的。右都是连续的。01F(x)x分布函数分布函数 F(x)F(x)的的图形图形nF(x)是单调不减函数是单调不减函数21( )1F xx是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 lim( )0 xF x函数函数 21 (0)( )1 1 (

22、0)xG xxx可作为分布函数可作为分布函数 例：设随机变量例：设随机变量X只取一个值只取一个值c，即，即P(X=c)=1，求求X的分布函数的分布函数F(x)。 解：解：F(x)=P(X x)。 当当xc时，为时，为“X x”不可能事件，则不可能事件，则F(x)=0； 当当x c时，时，F(x)=P(X=c)=1。故：。故：0,( )1,xcF xxc称此例中的随机变量称此例中的随机变量X服从退化分布。服从退化分布。 例例2.19（P42）：）： 例例2.20（P43）：）：o2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布( )( )xF xf t dtn 定义定义 设设F(X)是随机变

23、量是随机变量X的分布函数，若存的分布函数，若存在非负实函数在非负实函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 x，有，有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念2112( )xxP xXxf x dx1xn 密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分 = = 随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率2x概率密度函数的性质概率密度函数的性质( )0,(,)f xx n 1.1.非负性非负性( )1f x dxn 2.2.规

24、范性规范性( )f x1Px 凡满足上述两个性质的函凡满足上述两个性质的函数数f(x)均可作为密度函数。均可作为密度函数。 3. 对任意（对任意（x1x2），有：），有： 4. 在在f(x)的连续点的连续点x处，有：处，有： 211221( )xxP xxxF xF xf x dx( )( )f xF x 由于：由于： 当当 x很小时，很小时， 它表明：虽然它表明：虽然f(x)本身并非概率，但它决定了本身并非概率，但它决定了随机变量随机变量X落入区间落入区间(x,x+ x) 的概率大小，的概率大小，f(x)反映了点反映了点x附近所分布的概率的疏密程度。附近所分布的概率的疏密程度。 ( )xxx

25、P xxxxf t dtfx P xxxxf xx 密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系n 积分关系积分关系n 导数关系导数关系( )( )xF xf x dx( )F xP Xx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 处连续，则连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P(X=a)=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)( )baf x dx X X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机

26、变量的分布函数的性质因此，连续型随机变量取任意指定实数值因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为的概率为0cos( )20Xaxxf x随机变量的概率密度为其它(0)4PX求解解 首先首先: 利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424PXxdx例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率 其次其次: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数200( )0111XxF xxxx随机变量的分布函数为(0.30.7

27、)PX(1)求(2)X(2)X 的密度函数的密度函数22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF(1)201( )( )0 xxf xF xotherwise(2)(2)密度函数为密度函数为解解 1(1, 5 )()40其 它fx 解解 当当 x 1 时时( )( )xF xf x dx01 2 3 4 5yxx当当1 5 时时151551( )( )( )( )( )1100(5 1)144xxF xf x dxf x dxf x dxf x dxdx所以所以011( )(1) 15415xF xxxx0 1 51已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的概率密度为的

28、概率密度为( )xf xAe( 11)PX (1)求（2 2） 求求 X X 的分布函数的分布函数(1)1021( )0121112xxXexF xxex随机变量的分布函数为( 12)PX (1)求（2)2)求求X X 的密度函数的密度函数 教材的例题：教材的例题： P46，例，例2.21 P47，例，例2.22均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为1()0axbfxba其 它则称则称X在区间在区间 （a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U (a, b) xbbxaabaxaxxF,1,0)(Uniform Distributionn 定义定

29、义n 分布函数分布函数二、常见的连续型随机变量二、常见的连续型随机变量 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关于子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaban 意义意义 102 102电车每电车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，

30、在任一时刻 某一乘客某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。 设随机变量设随机变量X X为候车时间，则为候车时间，则X X服从（服从（0 0，5 5）上的）上的均匀分布均匀分布220012(2)(2)( )55P XFf x dxdx解解例例X XU U（0 0，5 5）几何概型（一维）几何概型（一维） 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程2210 xx 有实根的概率。有实根的概率。解解 方程有实数根方程有实数根 2440即即 1而而 的密度函数为的密度函数为 1 ( 15)( )60 xf x 其它所求概

31、率为所求概率为 1121( )( )3Pf x dxf x dx指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为0( )(000 xexf xx为常数）10( )00 xexF xx Exponential Distribution( )XEn 定义定义n 分布函数分布函数则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .例例设设X X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的密度函数的指数分布，求它的密度函数 及及2360( 12)31xPXedxe 和和(1)P X 330( )00 xexf xx解解X X的概率密度的概率密度3311(1)( )3

32、xP Xf x dxedxe( 12)PX 2112()( )xxP xXxf x dx正态分布正态分布 Normal Distribution2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 为常数 则称则称X X服从参数为服从参数为2, 正态分布， 记为n 若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为);21,(21 e 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x = x = 对称对称（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降12f最大（ ）n 单调性单调性n 对称性对称性n 拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+21x2，对

33、密度曲线的影响对密度曲线的影响 12122110.7521.25 相同， 不同图形相似，位置平移 不同， 相同越小，图形越陡；越大，图形越平缓正态分布的分布函数正态分布的分布函数dxexFxx222)(21)( F(x)121 x221( )2xxxedx 标准正态分布标准正态分布n 定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 n 密度函数密度函数221( )2xxen 分布函数分布函数Standard Normal distributionStandard Normal distribution01偶函数偶函数 ( )yx)(1)(xx 5 . 0)0( 22( )1

34、2xxxP Xxedx标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n 分布函数分布函数( )yxX -x ( )( )P aXbba （）标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 时,0( )xx时，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n 公式公式n 查表查表n 例例(0,1)XN(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化2( ,),( )xXNF x 如果则n 定理定理()(

35、)()baP aXb 2( ,)XN 若查标准正态分布表n 概率计算概率计算()P aXb2( ,)XN 一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率()P Xb()P Xa( )x为标准正态分布函数n 。n 。n 。()()ba ()b 1a 设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解(0.3)1(0.5) ()()()baP aXb 例例1,2(01.6)PX1.6 10 1()()22(0.3)( 0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094 正态分正态分布的实际应用布的实际应用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人

36、，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率为录取率为 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601

37、 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0解解 查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被录取。被录取。 X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径为半径的区间内。这是因为：的区间内。这是因为：),(2 NX33(3)( 3)PX (3)1(3)2 (3) 10.9974 330.9974F(x)3 3

38、准则准则3X是小概率事件是小概率事件 o2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在许多实际问题在许多实际问题中，常常中，常常需要研究随机变量的函数的需要研究随机变量的函数的分布分布问题。问题。 例例:测量圆轴截面的直径测量圆轴截面的直径d，而，而关心的却是截面积：关心的却是截面积：2d41Sd为随机变量为随机变量, S 就是随机变量就是随机变量d的函数。的函数。2mx21y 的分布。的分布。 已知已知分子的运动速度分子的运动速度x的的分布，求分布，求其动能其动能： n 背景背景一般地，设一般地，设y=g(x)是一元实函数，是一元实函数，X是一个随机变量，若是一个随机变量，若X的取的取值在

39、函数值在函数y=g(x)的定义域内，则的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。也为一随机变量。X()Yg X随机变量的函数随机变量的函数随机变量随机变量( )Xfx( )XFx密度函数密度函数分布函数分布函数( )YFy( )Yfy若若X为离散型为离散型 随机变量随机变量, 其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn则随机变量则随机变量X的函数的函数 Y= g (X) 的分布律为的分布律为Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn如果如果g( x i )与与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，

40、此时将两项合并，对应概率相加 一、离散随机变量函数的分布一、离散随机变量函数的分布设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求Y=2X2 +1的分布律的分布律解解例例由题设可得如下表格由题设可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，所以，y=2x2+1的分布律为的分布律为 y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1解解由题设可得如下表格由题设可得如下表格 设圆半径设圆半径X的分布律为的分布律为求周长及面积的分布律求周长及面积的分布律例例X 9.5 10 10.5 11pk 0.06 0.5 0.4

41、0.04x9.51010.511周长19202122面积90.2521002110.2521212概率0.060.50.40.04解解周长19202122概率0.060.50.40.04所以，周长的分布律为所以，周长的分布律为 面积90.2521002110.2521212概率0.060.50.40.04面积的分布律为面积的分布律为 例例2.31，P56 例例2.32，P57 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布律为：的分布律为： P(X=xi)=pk，k=1,2, 则则Y=g(X)也为离散型随机变量，它们全部可也为离散型随机变量，它们全部可能取值为：能取值为： yk=g(

42、xk)，k=1,2, 由于其中可能有重复的情况，所以在求由于其中可能有重复的情况，所以在求Y的的分布律，即计算分布律，即计算P(Y=yi)时，应将使时，应将使g(xk)=yi的的所有所有xk所对应的概率所对应的概率P(X=xk)=pk累加起来，累加起来，即：即：()()(),1,2,.kiikg xyP YyP Xxi设设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密的概率密度函数度函数 二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布n 首先，将事

43、件首先，将事件“随机变量随机变量Y在某个范围内取值在某个范围内取值”转化为转化为“随机变量随机变量X在相应范围内取值在相应范围内取值”；n 其次，根据已知其次，根据已知X的分布计算出的分布计算出Y的分布函数的分布函数FY(y)；n 第三，利用密度函数与分布函数的关系，就可第三，利用密度函数与分布函数的关系，就可以求得以求得Y的密度函数的密度函数fY(y)。(1) 求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)( )YFy根据分布函数的定义()P Yy( ()P g Xy(2) 对对FY(y) 求导，得到求导，得到 fY(y) 二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布n 一般方法一般方法

44、( )( )YYfyFy( )P Xx g xy设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为, 04( )80,xxfx其 它求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。 先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数 FY (y).( )YFy 28PXy8()2yP X()PYy82( )yf x dx解解（1 1）8822yyf1818, 048222 0, yy 其它（2） 求求Y=2X+8的概率密度的概率密度( )( )YYfyFy8, 81632 0 , yy其它设随机变量设随机变量X的密度函数为：的密度函数为： ,00, 0 xXexfxx 0,1ln,1XYyF yP

45、YyP eyP Xyy求随机变量求随机变量Y=eX的概率密度函数的概率密度函数fY(y)。解：由分布函数的定义，有：解：由分布函数的定义，有：例例2.33 lnln1ln1yyxXP Xyfx dxe dxy 当当y 1时，时，lny 0，故：，故： 因此：因此： 0,111,1XYyFyP YyP eyyy从而：从而： 20,11,1YYyfyFyyy设随机变量设随机变量X的密度函数为：的密度函数为： 1, 110, otherXxxfx 求随机变量求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数。的分布函数与密度函数。解：由于解：由于 2211YFyP YyP XyP Xy 0, 111 , 1

46、21, 2yPyXyyy 例例2.34所以当所以当1 y0上式两边对上式两边对y求导，得求导，得Y的密度函数：的密度函数： 设设g(x)为严格单调为严格单调减减函数，则它的反函数函数，则它的反函数x=h(y)也也是严格单调是严格单调减函数减函数。事件。事件“Y y”当且仅当事件当且仅当事件“X h(y)”发生时发生，故：发生时发生，故： ( ),YXh yF yP YyP Xh yfx dx g byg a ,0 ,XYfh yh y g byg afyother此处，此处，h(y)0其中：其中： =ming(a),g(b), =maxg(a),g(b) 综合以上两式，得：综合以上两式，得： ,0 ,XYfh yh yyfyother解解 先求分布函数先求分布函数 FY (y)。( )()()YFyP YyP aXby设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求YaXb