概率论课本习题答案

1、1 / 12 2.设在 15 只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样，以 x表示取出的次品个数，求：（ 1） x的分布律；（ 2） x的分布函数并作图；(3) 133,1,1,12222p xpxpxpx. 【解】313315122133151133150,1,2.c22(0).c35c c12(1).c35c1(2).c35xp xp xp x故 x 的分布律为x 0 1 2 p 22351235135（2） 当 x0 时， f（x）=p（xx）=0 当 0 x1 时， f（x）=p（xx）=p(x=0)= 2235当 1x2 时， f（x）=p（xx）=

2、p(x=0)+p(x=1)=3435当 x2 时， f（x） =p（xx）=1 故 x 的分布函数0,022,0135( )34,12351,2xxf xxx(3) 2 / 12 1122()( ),2235333434(1)( )(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535p xfpxffpxp xpxpxffp x7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000 辆汽车通过， 问出事故的次数不小于2 的概率是多少 （利用泊松定理）？【解】 设 x 表示出事故的次数，

3、则xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)p xp xp x0.10.11e0.1e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数x 满足 p x=1= p x=2 ，求概率 p x=4. 【解】 设在每次试验中成功的概率为p，则1422355c(1)c(1)pppp故所以4451210(4)c ( )33243p x. 9.设事件 a 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 a 发生不少于3 次时，指示灯发出信号，（1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】 （1） 设 x 表示 5 次独立试验中a 发生的次数，则

4、x6（5，0.3）5553(3)c (0.3) (0.7)0.16308kkkkp x(2) 令 y 表示 7 次独立试验中a 发生的次数，则yb（7， 0.3）7773(3)c (0.3) (0.7)0.35293kkkkp y10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数x服从参数为 （1/2）t 的泊松分布，而和时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12 时至下午3 时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12 时至下午5 时至少收到1 次呼救的概率 . 【解】 （1）32(0)ep x(2) 52(1)1(0)1ep xp x12.某教科书出版了2000

5、册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中3 / 12 恰有 5 册错误的概率. 【解】 令 x 为 2000 册书中错误的册数，则xb(2000,0.001).利用泊松近似计算, 20000.0012np得25e 2(5)0.00185!p x14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在1 月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从保险公司领取2000 元赔偿金 .求：（1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于10000 元、 20000 元的概率 .

6、【解】 以“年”为单位来考虑. （1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为250012=30000 元. 设 1 年中死亡人数为x，则 xb(2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)pxp xp x由于 n 很大， p很小，=np=5，故用泊松近似，有5140e 5(15)10.000069!kkp xk(2) p(保险公司获利不少于10000) (30000200010000)(10)pxp x即保险公司获利不少于10000 元的概率在98%以上p（保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)pxp x即保险公司获利不少于2000

7、0 元的概率约为62%16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命x的密度函数为f(x)= 求： （1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） f（x） . 【解】（1150)d.3p xxx33128(150)()327pp x(2) (3) 当 x100 时 f（x）=0 4 / 12 当 x100 时( )( )dxf xf tt100100( )d( )dxf ttf tt故1001,100( )0,0 xf xxx18.设随机变量x 在2，5上服从均匀分布.现对 x 进行三次独立观测，求至少

8、有两次的观测值大于 3 的概率 . 【解】 xu2,5，即故所求概率为22333321220c ()c ()33327p19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间x （以分钟计） 服从指数分布1( )5e.某顾客在窗口等待服务， 若超过 10 分钟他就离开 .他一个月要到银行5 次，以 y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求py1. 【解】 依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e de5xp xx2(5,e)yb,即其分布律为225525()c (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1 e )0.516

9、7kkkp ykkp yp y20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间x服从 n（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间x服从 n（ 50，42）. （ 1） 若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（ 2） 又若离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路，xn（40，102） ，则406040(60)(2)0.977271010 xp xp若走第二条路，xn（50，42） ，则506050(60)(2.5)0.993844xp xp+ 5 / 12 故走第二条路乘上火

10、车的把握大些. （2） 若 xn（40，102） ，则404540(45)(0.5)0.69151010xp xp若 xn（50，42） ，则504550(45)( 1.25)44xp xp1(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 xn（3，22） ，（ 1） 求 p2x 5，p 4x 10，px 2，px3; （ 2） 确定 c 使 p xc= p xc. 【解】 （1）23353(25)222xpxp11(1)(1) 1220.841310.69150.5328433103( 410)222xpxp770.999622(|2)(2)(2)pxp xp x3233

11、23222215151122220.6915 10.99380.6977xxpp333(3)()1(0)0.522xp xp-(2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）xn（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12 内为合格品 ,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06xpxp6 / 12 1(2)( 2)21(2)0.045628.设随机变量x的分布律为x 2 1 0 1 3 pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求 y=x2的分布律 . 【解】 y 可取的值为0，1，4，9 1(0)(0)5117(

12、1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30p yp xp yp xp xp yp xp yp x故 y 的分布律为y 0 1 4 9 pk1/5 7 /30 1/5 11/30 49.设随机变量x 在区间（ 1，2）上服从均匀分布，试求随机变量y=e2x的概率密度fy(y). 【解】因为 p（1x2）=1,故 p（e2ye4）=1 当 ye2时 fy（y）=p(yy)=0. 当 e2ye4时，2( )()(e)xyfyp yypy当 ye4时，( )()1yfyp yy即22440,e1( )ln1,ee21,eyyfyyyy故241,ee2( )0,yyyfy其他8.设二

13、维随机变量（x，y）的概率密度为f（x，y）=4.8 (2),01,0,0,.yxxyx其他7 / 12 求边缘概率密度. 【解】( )( , )dxfxf x yyx204.8 (2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx其他( )( ,)dyfyf x yx12y4.8 (2)d2.4 (34),01,=0,.0,yxxyyyy其他题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（x，y）的概率密度为f（x，y）= 求边缘概率密度. 【解】( )( , )dxfxf x yye de ,0,=0,.0,yxxyx其他( )( , )dyfyf x yx0e de,0,=0,.0,yyxxyy

14、其他题 10 图10.设二维随机变量（x，y）的概率密度为f（x，y）= （1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度. 【解】 （1）( , )d d( , )d ddf x yx yf x yx y如图2112-14=dd1.21xxcx y yc得. (2) ( )( , )dxfxf x yy212422121(1),11,d840,0,.xxxxx y y其他8 / 12 ( )( , )dyfyf x yx522217d,01,420,0,.yyx y xyy其他13.设二维随机变量（x，y）的联合分布律为2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12

15、 0.03 （1）求关于x和关于 y的边缘分布；（2） x 和 y 是否相互独立？【解】 （1）x 和 y的边缘分布如下表2 5 8 p y=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 ip xx0.2 0.42 0.38(2) 因20.40.20.8p xp y0.160.15(2,0.4),p xy故 x 和 y 不独立 .22.设随机变量x和 y相互独立， 下表列出了二维随机变量（x，y ）联合分布律及关于x和 y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1y2y3px=xi=pix1x21 /8 1/8 py=yj=

16、pj1/6 1 【解】因21,jjijip yypp xx yy, 故11121,p yyp xx yyp xx yy从而11111,.6824p xx yy而 x 和 y 独立，故,ijiip xxp yyp xx yy, 从而11111,.624p xxp xx yyx y x y y x 9 / 12 即：1111/.2464p xx又1111213,p xxp xx yyp xx yyp xx yy即1,3111,4248p xx yy从而131,.12p xx yy同理又,故31111623p yy. 同理从而23313111,.3124p xxyyp yyp xx yy故1y2y3

17、yiip xxp1x12418112142x18381434jjp yyp1612131 1.设随机变量x的分布律为x 1 0 1 2 p 1/8 1/2 1/8 1 /4 求 e（x） ，e（x2） ，e（2x+3）. 【解】 (1) 11111()( 1)012;82842e x(2) 2222211115()( 1)012;82844e x(3) 1(23)2 ()32342exe x5.设随机变量x的概率密度为y x 10 / 12 f（ x）= 求 e（x） ，d（x）. 【解】12201()( )dd(2)de xxf xxxxxxx213320111.33xxx122232017

18、()( )dd(2)d6e xx f xxxxxxx故221()()().6d xe xe x6.设随机变量x，y，z 相互独立，且e（x）=5，e（y）=11，e （ z）=8，求下列随机变量的数学期望 . （1） u=2x+3y+1；（2） v=yz4x. 【解】 (1) (231)2()3 ()1e uexye xe y253 11 144.(2) 44 ()e ve yzxe yze x,( )( )4 ()y ze ye ze x因独立11 84568.7.设随机变量x，y 相互独立， 且 e （x）=e （y）=3，d（x）=12，d（y）=16，求 e （3x2y） ，d（2x3

19、y）. 【解】 (1) (32 )3 ()2( )3 3233.exye xe y(2) 22(23 )2()( 3)4 129 16192.dxyd xdy9.设 x，y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fx（x）= fy（y）= 求 e（xy）. 【解】 方法一：先求x 和 y的均值5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzze yyyzzz令由 x 和 y 的独立性，得2()()( )64.3e xye xe y方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 x 和 y独立，故联合密度为(5)2 e,01,5,( , )( )( )0,yxyxxyf x yfxfy其他11

20、 / 12 于是11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yye xyxyxx yxxyy34.设随机变量x和 y的联合概率分布为1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 试求 x 和 y 的相关系数 . 【解】 由已知知e(x)=0.6,e(y)=0.2，而 xy 的概率分布为yx1 0 1 p0.08 0.72 0.2 所以 e（xy）=0.08+0.2=0.12cov(x,y)=e(xy)e(x) e(y)=0.120.6 0.2=0从而xy=01.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为x.估计 p10 x18. 【解】设ix表每次掷的点数，则22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iie