函数的单调性在解奥赛题中的应用01

1、 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS编号 学士学位论文函数的单调性在解奥赛题中的应用学生姓名： 学 号： 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级： 指导教师： 完成日期：2011 年 5 月 13 日12中文摘要函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用,因此它是研究函数的重要内容和手段、也是解决其他一些数学问题的有力工具.本文主要讲函数的单调性在解决求最值、比较大小、求参数值、解不等式、证明不等式、求函数的定义域、值域、讨论方程有解的条件等问题中的应用.关键词：奥林匹克数学竞赛题、函数的单调性、应用. 目录中文摘要1引

2、言11. 函数单调性的理解11.1对函数单调性概念的认识11.2函数单调性的判断22. 函数的单调性在解奥赛题中的应用32.1比较大小32.2求最值42.3求参数值或取值范围42.4解不等式52.5证明不等式62.6求函数的定义域62.7求函数的值域62.8求值72.9讨论方程有解的条件82.10解决函数或方程问题9总结10参考文献11致谢12引言函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用、因此它是研究函数的重要内容和手段、也是解决其他一些数学问题的有力工具.解奥林匹克数学题中如果能充分发掘有关问题的隐含条件、把问题化归到单调函数模型上去、灵活应用单调

3、性、常能给学者一种简洁明快、耳目一新的感觉、往往可以快速、简捷地解决问题、有时甚至能收到独特神奇之效.1.函数单调性的理解 1.1对函数单调性概念的认识在数学课的学习过程中,掌握教材是学习的根本,尤其是函数作为讨论数学问题的常用工具,对其内涵,性质和更多特性的认识及应用更显重要.函数单调性是函数知识中的重要概念,它反映了函数值随自变量增大（减少）而增大（减少）的变化规律,也就是说当函数是增（减）函数时,就具有单调性.增（减）函数的定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值（1）若当时,都有,则在这个区间上是增函数.（2）若当时,都有,则在这个区间上是减函数.注意：增函数满足自变量的

4、变化与相应函数值的变化有相同的变化趋势,减函数满足自变量的变化与相应函数值的变化有相反的变化趋势,简称同步增,反步减.（3）两个值是“任意”的而不是存在着.1.2函数单调性的判断1判断某函数在某区间上具有某种单调性,常用的是定义法即根据定义来判断.由单调性的定义证明函数单调性的过程是: 在所给区域内任取两数 且, 再作差, 判断差值的符号(正负). 步骤简记为：设置作差变形定号结论.2运用简单函数的性质直接退出所求函数的单调性,注意以下几个性质的运用：函数与的单调性相反；函数与的单调性相反；复合函数的单调性取决于构成复合函数的两个函数的单调性,遵循以下口诀“同增同减为增,一增一减为减” ；若判

5、断函数在某区间上不是单调函数,只要举一反例说明即可.2. 函数的单调性在解奥赛题中的应用函数的单调性是函数的重要性质,通过研究函数的单调性可以揭示函数值的增大或减小的变化特性,从而使一些数学问题如比较大小,求最值,证明不等式求函数最值、求参数的范围的问题得到较好的解决.用函数单调性来解题时,首先,要有应用单调性来解题的意识。其次,要善于构造合理的函数,也就是在对问题细致地观察和透彻的分析地基础上,透过现象,把握问题的本质,从而构造出合理的函数.2.1比较大小利用函数的单调性来比较大小是一种常用方法.例1：（1998年一试二.1题）若是以2为周期的偶函数,当时,则,由小到大的排列是（ ）.分析：

6、由题设可知要比较它们的大小,首先是要将三个函数值等价转化,使其,其次利用,的单调性即可.解：由于是以2为周期的偶函数,根据函数的周期性和奇偶性可得又而,在上是严格递增的.所以即.2.2求最值例2：已知函数,求的最大值与最小值.解：函数图像为抛物线,开口向上,对称轴为的最大值为,的最小值为.例:若函数的最小值为,求实数的值.解:当时,函数在其定义域上单调递增,故当时, 从而;当<时, 在其定义域上单调递增, 故当时, ,从而.2.3求参数值或取值范围例3：已知函数 在区间上是减函数,求实数的取值范围.解：函数图像的对称轴为,函数的单调减区间为由已知条件可得,解得.例4:设其中如果当时, 有

7、意义,求的取值范围.解:由题设得,当时, .恒成立,变形得: ,要使式恒成立,对, 的最大值. 在是增函数,所以当时,取得最小值0,故,因此的取值范围是.2.4解不等式在解不等式时,往往要先根据函数单调性进行等价变形后在求解.例5: 已知求的范围.分析：去对数符号,转化为代数不等式求解.解：(意对数函数的定义域)原不等式等价于由对数函数的定义域及单调性有：(1) 当时,等价于 解得(2) 当 时, 又等价于 , 解之得.因此, 当 时, ； 当 时, .2.5证明不等式有些不等式的证明,若采用常规解法法,往往不易下手,但若从函数思想考虑,由函数单调性构造函数,问题就能容易解决.例6：已知 ,且

8、,求证: 证明：设 易证在上是增函数,又,所以,即 2.6求函数的定义域此类题型主要是根据函数表达式的具体的特征,列出使函数有意义的关于x 的不等式, 如果不等式含有对数, 则可根据对数函数的单调性进行求解.例7：求函数 （为常数）的定义域.解：由若,由于得,即定义域为R;若,则当时,知,得定义域为;当时, <,得定义域为.2.7求函数的值域利用函数单调性,是求值域的一种重要的方法.例8:求下列函数的值域:;解: 由,令,则且而在上是增函数, 故.令,则且,而在上是减函数, 故.2.8求值例9：（1997年一试二1题）设为实数,且满足,则（ ）.解：原方程组化为 .令,则 由在上单调递增

9、,故, .例10：若且满足方程和求的值.解:由题设条件有,.由此构造函数易知在上是单调递增函数.于是由=有,故.2.9讨论方程有解的条件构造出原方程未知量为自变量的函数,通过利用函数单调性讨论方程有解的情况.例11:已知方程问为何值时方程有唯一实根,两实根,无实根.解:设则,方程可化成为 易知此函数的单调区间是和.当时, 当时, .当时,原方程有两实根;当时, 原方程有唯一实根;当时,原方程无实根.2.10解决函数或方程问题例12:解方程.解:将原方程变形为设,则原方程变为又在上是单调递增函数,故,得.例13：证明两个函数的图象有且仅有一个公共点.分析:设,要证明两图象有且仅有一个公共点,可看

10、成证明方程有且仅有一个实根.解:显然,故两函数的图象有一个公共点.设是函数图象的另一个公共点, 则 ,所以令则在上是减函数,且,故方程有唯一解从而与矛盾,从而两函数图象仅有一个公共点.总结函数的单调性在解决相关奥赛题中有着重要的应用,即函数的单调性在解决证明不等式,求函数的定义域,求函数的值域,求值,解决函数或方程问题及讨论方程有解的条件等问题中有重要的应用。由以上应用不难看出,利用函数单调性解题关键在于把握题目的特点,恰当地构造出单调函数（有些问题不一定要求出或构造出函数的具体表达式）.参考文献1李开珂,张斌,十年全国奥林匹克竞赛试题分类解析（高中数学）M课堂内外杂志社,2003年.2 商俊宇 ,函数单调性的理解及应用,高中数学教与学J 2006年第3 期.3 黄学波,巧用函数的单调性解题,中学生数学J 2004年11月.4 李相普,巧用函数的单调性解不等式有关问题,问题讨论J2003年第1期.5 管宏斌,例说函数的单调性证明中的变形技巧,数理化学习(高中版) J.6 唐正敏,对数函数单调性的应用,数学爱好者J,2006年12月.7 刘义,对函数单调性的几点理解,学科教学J,2010 年6 月.8 陈方杰, 奥林匹克数学竞赛题的解题思维,教师J,2009年9期.致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习,我在做人做事各个方面得到了很大的提高