第2章信息融合中的数学基础

1、轨道交通安全智能融合技术岳建海目录第1章信息融合概述第2章信息融合中的数学基础第3章信息融合系统结构和功能模型第4章信息融合的数据支持第5章基于统计的信息融合第6章目标跟踪融合If J第7章城市轨道交通的信息融合技术第8章铁道车辆的信息融合技术第二章信息融合中的数学基础2.1粗糙集与证据理论2.2模糊集合理论基础2.3 Bayes统计方法2.4 He滤波理论2.5灰色系统理论21粗糙集与证据理论211粗糙集理论基础粗糙集理论中把知识看作是对对象的分类能力, 该理论以不可分辨关系为基础，引入近似空间等概 念来描述知识的不确定性，且利用属性的重要性和 知识的依赖关系这两个重要因素来度量属性间的关

2、系，最后通过属性约简和值约简等约简过程实现分 析和处理不精确、不确定和不完备数据.最终达到 从原始数据集中获取规则和知识的目的。2.1粗糙集与证据理论2.1.1粗糙集理论基础1 信息系统信息系统可以表示成四元组S=(U, A, V, f),其中U是对 象的非空有限集合，称为论域。A是属性的非空有限集合, V是属性值的集合，f为一个信息函数，定义为：f： UXA->Vo 信息系统也可以采用二维表的形式来描述研究对象的信息, 表的行表示的是论域U中的研究对象，表的列表示的是对象 的属性。决策表可以表示成S= (U, CUD, V, f),其中C为条件 属性，D为决策属性，CcD =(p ,且

3、" 决策表是一类特殊而又重要的信息系统，也是一种特殊的 知识表述系统，它比一般的信息系统多了决策属性。A信息系统S=(U, A, V, f), Ro A,定义属性集上的 不可区分关系为IND(R)= (x，y)|x，ywu x C7|Va e R, R(x) = R(y), 不可区分关系IND(R)在U上导出的划分用U / IND(R)表ZJN oA简而言之，U中任意的两个对象x, y,如果满足在等 价关系R上所有属性值都相等，则说明在等价关系R上 x和y是不可区分的，即在等价关系R上对象x和y具有 不可区分关系。2 近似空间与不确定性表示粗糙集的近似空间也可以用看作是一个信息系统S

4、=(U,A, V, f),且对于信息系统中的每个概念X而言，如果集合X能用一个不可区分关系IND(R)中等价类的并来表示，那 么称该集合X是可定义的；否则称它是不可定义的。如果集合X不可定义，则需要通过近似空间来刻画集合X。信息系统S=(U, A, V, f),对每个集合炬U和任一等价关 系RUA, R上集合X的下近似R(X)为：g(X) = GU A xR信息系统S=(U, A, V, f),对每个集合XUU和任一等价 关系RGA, R上集合X的上近似为：R(X) = xx e t/ axR cX 工(p信息系统S=(U, A, V, f)对每个集合XUU和任一等价关 系Rc A, R上X的

5、边界域BN(X)为：BN(X) = R(X)-R(X)根据集合X的上下近似取值的不同，可以把集合z归为两大类:（1）当RW = R（X）时，此时边界域为空，称其为R的精确集, 此时的X是可以定义集，可以用基本集的并集表示，论域 中所有可定义集O（U / R）称为CT代数;（2）当&x）拯（X）时，此时边界域非空，称其为R的粗糙集。由于论域中存在不确定性知识，此时的R不可定义。-下近似-上近似对于知识的不确定性，又可以分为以下四种情况:如果 少）切且范#U,贝U称集合X是U上的R粗糙可定 义；义:如果&x）卯且范）=U,则称集合X是U上的R外不可定如果&x）= 0且范#U

6、,则称集合X是U上的R内不可定 义：如果0且范）=U,则称集合X是U上的R完全不可 定义。出2-1集合旳上、下近似3属性的核与约简III在一个决策系统中，各个条件属性之间往往存在着某些 程度上的依赖或关联，约简的过程可以理解为在保持信息 不丢失的前提下，删除其中一些不相关或不重要的知识， 最简单地表示决策系统的决策属性对条件属性集合的依赖 和关联。即在保持分类能力不变的情况下，删除冗余属性和冗余属性值，从而获取信息系统的分类或决策规则。在信息系统S=(U, A, V, f)中，属性A=C D,其中C表 示条件属性集，D表示决策属性集。对每个集合XUU和任 一等价关系RUA, X关于等价关系R的

7、近似分类质量定义如下：=1 1 u 1在信息系统S=(U, A, V, f)中，属性A=CD,其中C表 示条件属性集，D表示决策属性集。对每个集合X匸U和任 一等价关系RUA, X关于等价关系R的近似分类精度定义如下：近似精度具有如下性质:（1）它的取值范围为：O“R（X）S1OOSdR（X）l表示集合X为R不可定义，X是关丁R 的粗糙集。_一Qr（X） = 1，即|&X）| = F（X）|,表示集合并为R可 定义，X是关于R的精确集。在信息系统S二(U, A, V, f)中，属性A二CuD,其中C表示 条件属性集，D表示决策属性集。如果存在条件属性cC, 那么c相对于决策属性集D的重

8、要度SIG(c)的定义如下：5ZQc) = rc(D)-7?c_|c|(D)给定一个决策系统S=vU, CU D, V, f>,其中C表示条件 属性集，D表示决策属性集。如果任意的cEC,满足rc(D) = 7?c_|c|(D)则称C是条件属性C中相对于决策D可省略的，否则是不 可省略的。如果一个决策表中某个条件属性是可省略的，则约去该 属性并不会改变条件属性对论域U的划分，因此不会改变它的分类能力。如果条件属性C中的所有属性都是决策D不可省略的，则称C相对D独立。给定一个决策系统S=vU, CuD,V, f>,其中C表示条 件属性集，D表示决策属性集。如果条件属性C的一个 非空子

9、集C。满足如下条件：rc (D) = Rc (D)不存在，C c C使得rc(D) = rc (D),则称C'为C的 一个关于决策膚性D的约简(简称D约简)，此时C是独立 的。所有D约简的交集称为关于D的核，并记作red(C)o给定一个决策系统S=<U,C 5, v, f>,其中C表示条件属 性集，D表示决策属性集，且11=兀1，兀2，兀“，则可分辨 矩阵为M= m. ,其中伽的定义如下：= aa C/(x,., a) f(Xj, a) a f(xi, £>)/(x., D)iJ 0计算约简与核时可以使用识别矩阵，识别矩阵的维度为nxn ,其中n表示论域中对

10、象的个数，而其元素定义为所 有可识别基本集合M与虬的属性的集合。结论口在约简时，条件属性对决策属性的分类能力在约简前后并没 有发生变化，这正是属性约简的理论依据。利用可分辨矩阵对决策表进行约简，并不需要计算决策属性 与条件属性之间的依赖关系，因此计算过程较为简单，但是只 适用于较为简单的决策表的约简。如果决策表较大时，用可分辨矩阵进行约简的计算量会很大, 因此也会需要消耗很大的存储空间OIII口在保持决策系统中分类能力不变的情况下，通过粗糙集中的 约简算法对各个条件属性之间的依赖或关联关系进行分析，删 除其中一些不相关或不重要的知识，用最简单的形式表示决策 系统的决策属性对条件属性集合的依赖和

11、关联。利用粗糙集中的方法预先对信息进行处理，得到约简后的决 策表，会简化利用证据理论进行信息融合的过程。2.1.2证据理论基础1.信度函数与似然函数设0为识别框架，A是0中的任意子集(命题)，则在识别框架0上，函数m： 2®0, 1,若满足下列条件:二 0(2)m(A) = 1Ac®则称函数m是2®上的基本可信度分配函数(mass函数), m(A)为A的基本可信度分配。基本可信度分配函数表示的意义如下：若且A舸，则m(A)表示对A的精确信任程度;(2)若则表示可信度不知如何分配。对识别框架0的任意子集A,若Beh 2®->0, 1满足: Bel(p

12、) = m(cp) 0 (2) Bel(&)= m(B) = 1Bel(A u A? u u & '工 Bel(A) -Bel(A c A,) + + (o A2 c 则称Bel： 20->0, 1为信度函数。若m() > 0,则把e称为信度函数Be啲焦元，并把所有焦元的并称为识别框架0的核。信度函数Bel(A)与基本可信 度分配函数m的对应关系如下：Bel(A) =BqABel(A)表示对命题A的全部信任程度，即命题A中所有子 集对应的基本可信度分配的和。一批证据如果可以对一个命题提供支持，那么它也应该对 该命题的推论提供同样的支持。因此，对一个命题的信度

13、应该等于证据对它的所有前提本 身所提供的信度之和。而基本可信度分配m(A)反映的只是支持命题A本身发生的程度，它的本质是命题A发生的概率，因此并不能替代el(A)o对识别框架0的任意子集A,若函数Q： 20, 1满足:0（力）=AuB则称函数21为众信度函数。m(A)=由上述定理可知, 可以相互转化。訥为u上的信任测度，则对应皿工(_1)心)阳(B)BcA信度函数与基本可信度分配函数之间2信任区间与不确定性表示证据理论的不确定性区间表示如图0不碗定区问拟信度区何(1) Bel(A)表示对命题A的支持证据区间，肯定命题A为真 的程度；(2) Bel(A), Pls(A)表示对命题A信任度的不确定

14、性，不能 肯定命题A为真或为假的程度；(3) Pls(A),1表示对命题A的拒绝证据区间，肯定命题为真 的程度；(4) 0, Pls(A)表示对命题A的拟信度区间。3.Dempster合成法则假设Be谜别是同一识别框架上的两个不同的信度函 数,ml. m2分别为与之对应的基本可信度分配函数，两个 信度函数的焦元分别为九企,和弘爲,厲 那么基本可信度分配函数加(4),"(人2)，加1 (4k)可以用图23(1)表示，基本可信度分配函数加2(即“2(2)，心(乞)可以用图2-3(2)表示，这两个基本可信度分配函数的合成过 程可以用图23表示：m I ( A «),-ni)( A

15、 J .m i ( A J(1)黑天u的基机可低度分配ia I ( B i) | in a (B )| m * ( A.3(2)徴元R的氐呂可怯度分配(3)饥元A与B的虽札可怙度合成 图2-J IJempster合底規刘图解假设 叫叫、加是在同一识别框架上由n个独立的证 据源导出的基车可信度分配函数，则组合规则可以表述 为：x n叫州出=g表示的是证据的冲突程度cA=。i=11 k称为归一化因子22模糊集合理论基础2.2.1多传感器融合数据有效性模糊处理技术1 模糊信息处理技术的发展与应用模糊集的基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵 活化，使元素对集合的隶属度从原来只能取0, 1值扩 充到取

16、0, 1区间中的任一数值，因此很适合于用来 对传感器信息的不确定性进行描述和处理。在应用多 传感器信息进行融合时，模糊集理论用隶属函数表示各传感器信息的不确定性，再利用模糊变换进行数据模糊集合理论是美国加利弗尼亚大学控制论学者L. A. Zadeh教授开创的。他在1965年发表了开创性的论文Fuzzy sets,首次提出 了模糊子集的概念，给出了其定量的表示方法，用来描述 具有模糊性的现象和事物。模糊性量化了事物的不确定性 程度，模糊集合理论提供了一种有效表述这种不确定性和 不精确性信息的方法，提供了一种更接近于人类思维方式的方法。模糊集合理论有助于将问题形式化，它还提供了大量的 各类模糊算子

17、和各种决策规则，这些特点使模糊信息处理 逐渐开始应用到信息融合领域，为处理信息融合过程中来 自多传感器信息中的不确定性问题创造了良好的数学环境, 因此引起了各研究领域学者的重视。迄今为止，模糊信息 处理已经以多种方式应用于信息融合处理。2模糊信息的表示模糊集合隶属度是这样定义的: 论域x上的模糊集合A由隶属函数来表征，在实轴的闭区间0, 1上取值，的值表示X中的元素x隶属于模糊 集合A的程度。模糊集合的概念消除了普通集合中“非 此即彼”的观念，有效地刻划了现实世界中事物分类 边界的不确定性。模糊度是指论域X上的一个模糊集A的模糊度D(A)G0, 1： (Wv xGX,当且仅当A(x)=0或1时

18、，即A退化为经典集时, D(A)=O,模糊度最小；当A(x)=O.5时，D(A)=1,模糊度最大；Al(x)和A2(x),如果对于X上的两个模糊集，A (x) n 企(兀)n 0.5 或4 (x) < A2(x) < 0.5D(A) = D(A)成立。则有 D(Ax)<DA2)(4)对任意AGF(X),都有3综合评判中的变权重分析法所谓综合评判，就是对受多种元素影响的事物或现象做出总的评判。在综合评判中起综合作用的综合函数Mm。常常nt取作形如下式所规定的映射（算子），即Mg （旺，工2、* I，耳）（工1T，工E ）=1该式通常叫做加权平均或加权求和。权重是常数，故称上式确

19、定的综合为常权综合匕叫做常权重。若置W=（W,W2, 则称W为常权重向量。为了克服常权重的缺点，可以釆用变权重法进行综合评判'设W =（W,坐,是一组（m维）变权重，令：工：为（m维）变权综合函数。222多传感器融合数据有效性模糊评判实现A所谓对车辆运行状态参数的模糊处理，即对将子系统中 各个传感器的测量值进行量化。针对车辆运行状态参数对 信息融合精度的影响方式，可以采用隶属函数和相关分析 的方法来进行子系统中各个传感器的测量值的模糊处理。A目前，确定隶属函数的各种方法尚处于在依靠经验，从实践效果中进行反馈，不断校正自己认识，以达到预定的 目标这样一种阶段。在很多情况下，用一些常见的分

20、布函 数作为隶属函数来近似表达一些模糊变量是最简便的方法。2-3 Bayes统计方法2.3.1 Bayes 公式Bayes公式的密度函数形式p(x兀(0)J p(x / 0)TV(3)dd2.3.2先验分布1 无信息验前分布兀© oc 77W兀®为8的近似无信息验前分布密度。Ae是e的最大似然(ML)估计2运用历史数据确定验前分布去估计m(x)的各阶当验前分布已知时，剩下的问题只要去估计分布的未知参数。运用的思想是利用x的历史数据西,，兀矩，然后再去估计8的验前分布中的参数。当验前分布未知时，如果x的历史数据比较多，那么可以比较精确的做出x的边缘密度m(x)的迫近。于是利用

21、下列关系式e较精确地确定出n。3 共轨先验分布如果e的验前、验后分布具有不变性，即 龙矽）具有同一分布形式，则称它们是共轨的兀® 是e的共轨先验分布-2.3.3 Bayes估计设B是总体分布中 卩(&的参数，为了估计该参数，可从该总 体随机抽取一个样本X = (%!, , Xn )同时依据8的先验信息选择一个先验分第兀再用Bayes公式算得后验分布兀0 Q 这时，作为8的估计可选用后验分布“X)的某个位置特征量，如后验分布的众数，中位数或期望值。 使后验密度71(0lx)达到最大的值&疇为最大后验估计；后验分布的中位数oMe称为e的后验中位数估计；后验分布的期望值&#

22、169;醸为目的后验期望估计，这三个估计也都称为。的Bayes估计。2.3.4 Bayes决策8n为决策问题关于验前分布龙(0)的Bayes解或Bayes决策WinfQ)2.4 Hs滤波理论A从多传感器融合估计算法中，融合估计算法的思想基础 是Kalman滤波，庙统的Kalman滤波算法是建立在最小均 方误差准则基础之上，它要求准确的系统模型和确切已知外部干扰信号的统计特性。A在多传感器融合许多实际应用中，不仅对外部干扰信号的统计特性缺乏了解，而且系统模型本身存在一定范围的 摄动，即外部扰动和系统有不确定性。AHs控制是针对系统中模型不确定性和外界扰动不确定性 而发展起来的控制技术。针对滤波系

23、统，控制理论的一 个重要分支就是应用Hs性能指标来对系统进行状态估计， 它主要解决系统噪声的能量谱密度或系统模型的参数不确 定时的状态估计问题。而当系统噪声的密度已知时，则可 利用Kalman滤波方法给出线性系统状态估计的最优滤波 器，但当对象的精确数学模型难以得到或噪声（干扰）信号 属于某一集合时，H®滤波理论是提高系统鲁棒性的有效途 径之_。A对于系统的外界干扰输入而言，在Kalman滤波方程推导 时，假定系统噪声和观测噪声均为零均值白噪声序列。实 际应用中，它们也可能为有色噪声。A尽管对于特定的有色噪声，可用单位强度的白噪声通过 成型滤波器来表示，但这样的结果是近似的。A在H®滤波理论中，对于干扰的统计特性不做任何假设， 只认为它为能量有限的信号。A显然，对于外界干扰这样的处理更具合理性，更接近于 系统的实际状态。2.5灰色系统理论概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确, 外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是