第3章模糊理论

1、3模制理论Fuzzy Theory第一节引言一、模糊控制的发展an了理d用论年D函奠65g属此9 t畫人1 n劳刃o“,美国控制论专家L. A. Zadeh在Information 发表时笄閒性込文Fuzzy sets,首次提也 数”的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合 笼了模糊数学的基础。地应用麟蠶鮒蹄 模糊控制在实际工程上的应用先河。之后，模糊数学获得了长足的发展，在理论和应用上 都取得了壬硕成果。模糊数学的应用领域以涉及到自动控制、 分崭、航生、火车汽车轮船驾驶、企业管理和社会经济等锌 莪故面。二、模糊控制的特点1无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制模糊控制釆

2、用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出3、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易5、鲁棒性好第二节模糊集合论基础一、模糊集的概念集合：具有某种特定属性的对象全体。If J集合中的个体通常用小写英文字母如：11表 示；集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。wwtZ表示元素（个体）在集合论域（全体） ”内。集合表示法(经典集合):列举法:将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法:用集合中元素的共性来描述集合的方法O(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的 方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合onrTuS

3、owet/u例：设集合U由1到5的五个自然数组成，用上 述方法写出该集合的表达式。解：列举法 gl,2,3,4,5(2) 定义法U=uu为自然数且l<u<5归纳法 U=ui+i=u汁1，£=1,2,3? 4, w7=l经典集合论中任意一个元素与任意一个集 合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两 种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是 肴明确分界线的元素的组合。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。诸如"速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。经典集合对事物只用T”、”0”简单地 表示“属于”或“不属于”的分类；而模 糊集合则用

4、“隶属度(Degree of membership)，来描述元素的隶属程度，隶 属度是0到1之间连续变化的值。模糊集合特征函彗隶属度函数(01连续变化 值)例：人对温度的感觉（0°C -40°C的感觉）: “舒适” :15°C25°C“热” :25。（3以上“冷” :15°C以下经典集合：14.99°C属于“冷” ；15.01。（：属于模糊集合对温度的定义经典集合对温度的定义模糊集合：论域"中的模糊集合F用一个在区 间0,1上的取值的隶属函数衍来表示，即：衍：U 0,1（隶属函数隶属于F的程度）11-如（映射）|LIF (w

5、)=l： 完全属于C7；(w)= 0： 完全不属于U；0< iF («)<1："部分属于t/。u中的模糊集F可以用元素和它的隶属度来表示:F=(« 屮F («) )1 UU例：设F是远大于0的实数集合（显然F是模糊集合，而论域U表示全部实数集合）,U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度衍）可有下式来定义:2°°u <0w>0可算出衍(5)=t iF (10)=l |lif (20)=可见衍（M）是U到闭区间0,1的映射。U0,1模糊集合的表示方法:I、论域U为离散域（即论域U是有限集合）n（1）查德表示法F= 丫

6、“仏）/仏Z=1例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U=0,l,2,3,4,5）厂 1.00.90.750.50.20.1F = + + + + 012345(2) 序偶表示法P 二(叭，|1(“1)，仇2,卩仇2)，(知，卩(知)例：F =(0,1.0), (7 ,0.9), (2,0.75), (3,0.5),(4,0.2),(5,0.1) (3) 向量表示法F =p,(w1),g(tt2)v.,g(wn)(元素 u 按次序排列)例：F 二10,09,075,05,02,012、论域为连续域F = 例:以年龄为论域，取U二0,100 轻”的模糊集F,其隶属函数为o Zadeh给出了 “年

7、10.90.80.70.60.50.40.30.20.101<5-25、2 _1 +I 5丿0<u <25-i25 vu 5 IOCr1- r(20406080100120X Years模糊集合表示为：F = Jl/%+Jl + （伫兰打九“年轻”的隶属函数曲线 °-w-2525 <100二、隶属度函数的建立模糊集合是用隶属度函数描述的。隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在0,1区间）由于模糊集理论的研究对象具有模糊性和经验 性，因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实 的。确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制

8、约的。确定隶属函数应遵守的一些基本原则:1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 从最大隶属度函数点向两边延伸时，其隶属函数的值是 必须是单调递减的,而不允许有波浪形。“ 凸模糊集合非凸模糊集合0X例:适中开车速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度”二 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/702、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。8 6 4 2 o o o O d-llsqiuiuO6Q适中高很r器名：语v K值的/ / 个数和规0L52030507095100 / /5擞成正 速度（语言变量）3、隶属度函数要符合人们的语言顺序,避免不恰当的重叠速度 /(km-h)

9、注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不 相交。重叠指数：衡量隶属度函数与模糊 控制器性能关系的一个重要指标。包括：重叠率、重叠鲁棒性重叠范围重叠率=附近模糊隶属函数的$開重叠范围1.00.50附近隶属函数的范围AlA2LUx（0206为宜）重叠指数的定义重叠鲁棒性=2（U - L）（0307为宜）求重叠率和重叠鲁棒性例:重叠率=40/30 = 0.333重叠率和重叠鲁棒性越40idx in o重叠鲁棒性二= = 052(40 - 30)20大,模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精度越高。隶属度函数确立的方法:1、模糊统计法2、例证法3、专家经验法4、二元对比排序法1、模糊统计法基本思

10、想：论域t；上的一个确定的元素是否属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同 的边界。但它们都对应于同一个模糊集4。模糊肿1730岁清晰集41*年轻人清晰集A?*2035岁所有人计算步骤：在每次统计中，V。是固定的（如某 一年龄），A*的值是可变的，作n次试验，则模糊统计公式:儿对A的隶属频率=v0 e A的次数试验总次数卅例：求中等身材的集合A及叫（164）KI选10人，每人确定A*的元素，假设10个人所确定的 A*分别是：1.60-1.691.63-1.701.651.751.561.701.62-1.731.65-1.72 1.641.731.6

11、0-1.691.69-1.751.69-1.77心（156）二（1. 64） =“160）fa=+A 1.56 1. 60 1. 64d（l77）0. 50. 1+1. 69 1. 73 1. 77心64）令0.6模糊统计法的特点： 随着的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是对A的隶属度。 计算量大。2、例证法:从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A的隶属度函数。nr3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。if J4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状

12、。模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类:1左大右小的偏小型下降函数（Z函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定O0X0X如）1.0矩形分布0X2左小右大的偏大型上升函数（S函数）:适用 于输入值比较大时的隶属度函数确定。00/心）1.0矩形分布03对称型凸函数（口函数） 时隶属度函数确定。/心）1.0矩形分布:适用于输入值位于中间/心）1.0曲线分布0x三、模糊关系（用于模糊推理决策）1 模糊关系的定义关系：客观事物间的相互联系。 普通关系：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事模糊关系：父子相像。A、B两集合的直积：Ax B = (a ,b) a e A ,b e B 序偶:(Q，方

13、)例:设A=O,1, B=a,b,c则 A X B=(0,a), (l,a), (0,b), (l,b), (0,c), (l,c)BXA=(a,0), (a, 1), (b, 0), (b, 1), (c,0), (c, 1)注意：AXBBXA例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、 中、差，则A珂甲，乙，丙, B=优，良冲，差AXB： 12种序偶的集合。一次考试：R=（甲,优），（乙冲），（丙，差）A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来,关系之间地运算可转换为矩阵间运算。矩阵:tA B优良中差甲_1 0 0 0对应Mr=乙0 0 10关系丙0 0 0 1模糊关系R：以AXB为论

14、域的一个模糊子集且 V(Q ,»r ：心 B-(a . b)-> 0,1, b)定义：“/a, b）二模糊矩阵：有限集A, B,人二坷，a?,陽b2Mr（。 “3）“R （。2，”2 ）Ar （。2 “3）“ZQ）卩 r （。3，2 ）卩R （。3，”3）Ar（5，W）“皿力2）化*“r（Q,仇）冷（。2如“2少）其中卩2Z?7）eOJ（mxn）即序偶（q. , bj，bj模糊矩阵中的元素记为（）模糊矩阵R记为:R二（九(v) / V = 0.8 /1 + 0.6 / 2 + 0.4 / 3 + 0.2 / 4求模糊关系R=AXB,模糊矩阵（©）3x4解：Ax5 =

15、0.8/(l,l) + 0.6/(l,2) + 0.4/(l,3) + 0.2/(l, 4) +0.7/(2,1)+0.6/(2,2)+0.4/(2,3)+0.2/(2,4)+0.2/(3,1)+0.2/(3,2)+0.2/(3,3)+0.2/(3,4)求（勺）3x4方法1：（叽4方法2：（勺）3x4=4xB 二（0.21V 12340.80.60.40.20.70.60.40.20.20.20.20.2U=123对应元素取小/0.8 0.6 0.4 0.20.8二 0.70.6 0.4 0.20.6 0.4 0.20.2 0.2 0.2 0.2课内练习例：已知两个模糊集合A、C的隶属度函数分

16、别为人=快=0/0 + 0/20+0.3/40+0.7/60+1/80+1/100;C = ®=l/0 + 0.7/20+0.3/40+0/60+0/80+0/100o其中，C, A分别属于两个不同的论域U, V求它们的模糊关系CXA解:/? = CxA =0.70.30o00000000.30.30.70.710.710.7000.30.30.30.31 1=000000000000000000定义笛卡尔积若Al、A2分别是论域巧、q中的模糊集，则A、A?的笛卡儿积是在积空间中的一个模糊子集,其隶属度函数为:直积（极小算子）：g Al X A2（UV U2 ）=min|Li A1

17、（ux）, M A2（«2）代数积： MA1XA2（UV U2）= Ha1（«1）P A2（U2）对于连续情况，关系矩阵可定义为:R = AxB= f “/,%*)/(% °) = f JLiA(u)tjLiB(v)/(<u.v)JUxVJUxV记号t算子：表示笛卡儿积为了区分直积、代数积，用in表示直积；用AaP表示代数积。2、模糊关系的合成模糊关系的合成：如果R和S分别为笛卡儿空间DxV 和VxW±的模糊关系，则R和S的合成是定义在空间 V xW±的模糊关系，并记为凤S。其隶属度函数的 计算方法：RoS二冷。s(,w)二 sup(“R

18、(u ,巧/怂0 , w) ) >, ueU, vgV, weW上确界(Sup)算子sup-min C=< maxmin(/?(w,w),m eU.v gV.w gW >模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示例某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系, 可表示为也可以用模糊矩阵R来表示R父母了0.20.8女0.60.10.20.8R =0.60.1S祖父祖母父5 O.7母O用模糊矩阵S可表示为0.5 0.7S =0.1 0该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求RoS）解:RoS0.20.80.60.10.5 0.70.1 0(0.2 a 0.7)(0.6 a 0.7)(0.8 a 0)(O.IaO)(0.2 a 0.5) v (0.8 a 0.1)(0.6 a 0.5) v (0a 0.1)0.2 0.20.5 0.6此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度 为02、02;孙女与祖父、祖母的相似程度为05、0.6o 第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 、模糊逻辑及其基本运算 模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模