空气动力学基础

1、我把 Introductiontoflight的第四章 Basicaerodynamics 略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们， 希望对大家空气动力学的学习有所帮助。这个文档内容涉及的气 流都是无黏的(书134228页)，没有包含黏性研究的局部。因 为领域导论书对黏性没怎么研究，根本都是只给结论，所以就不 总结了。本文档包括两局部，一是一些根本方程，二是这些方程 的一些应用。我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有错误；写的 只是大致的推导过程，难免有不细致严谨之处；对一些英文的翻 译可能不标准，同时可能输入有误。希望大家批评指正、私下交 流。真心希望我们共同为之润

2、色添彩，使其更加准确无误。同时， 大家有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再看书就比拟 简单了。看书最好也看看例题，例题不仅是对公式的简单应用， 而且有些还包含新的知识，能增进我们对公式的理解。这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问题，大家不要 有压力。不过有几条考前须知：1、注意公式的限定条件，防止错误地加以应用。2、大物书上的理想气体方程是 PvIrT,其中的R是普适气体常量(universalgasconstant ),领域导论书上的P=p RT是 经过变换的等价形式，其中的 R是个别气体常量 (specificgasconstant)，

3、等于普适气体常量 R普适/M,大家变下马上就懂了2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好似不太强调质量和体 积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。在一、 根本方程 7、能量方程的推导中，v=1/ p，这里的1应理解为单位质量，后面的能量方程中的然与h的量纲就不统一了；在二、公式应用一一3、空速测定 C高速亚声速流中，我们可以看出在本书中，Pv=RT同样把大物书上的状态方程 Pv之R普适T中的m当成单位质量1， 并利用普适气体常量和个别气体常量的关系 R个别=R普适/M，即可 推出Pv=RT3、本书中涉及到比热(specificheat )，用6 (对于等体过程) 和Cp (对于等压过程)

4、在表示。我们在大物中也学有 Cv和Cp， 不过它们不一样，不要混淆。大物中那两个是摩尔热容(molarheatcapacity )，分别为定体摩尔热容(molarheatcapacityatc on sta ntvolume)和定压摩尔热容(molarheatcapacityatconstantpressure)。比照起来有(下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由 度，丫指热容比)：比热摩尔热容普R-i -2I一-VC个R个R-i 1 2 一RCp-C v=R 个 Cp-Cv=R 普蔣昌冃 Y =词=f I 丫 #1= i I4、小写V代表体积，大写V代表速度，注意区分，其

5、他字母 符号的意义大家应该都能弄懂。一、根本方程1、连续方程dm= p idvi= p iAiVidt= p 2AVdt=dm2那么p iAVi= p 2AV?即p AV=const对于不可压缩流，P i= p 2,那么AVi=AM2、欧拉方程忽略了黏性和重力在一个边长分别为dxdydz的长方体流体元的x方向进行研究, 忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为Pdydz压强的变化率为那么朝向x负方向的力为(P+L_dx)dydz那么合力F=Pdydz-(P+丄 dx)dydz=-dP©J(dxdydz)m=p dv= p (dxdydz),F=ma化简得dP=- p VdV3、 伯努利方程

6、忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流对于不可压缩流，p不变，对欧拉方程进行积分，易得1Pl宓 p V2=p+ p V221p+1 p V等于总压，我们在方程的即P+ p V在一条流线上是常量，其中H p V就是传说中的动压,用q表示，对于不可压缩流， 应用中会再提及。4、关于热力学第一定律系统的内能增量=外界传热+外界做功，即de=8 q+ 8 w其中8 w=-Pdv压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号8 q=de+Pdv定义焓h=e+Pv做微分得dh=de+vdP+Pdv与上式一起消去de得8 q=dh-vdP5、内能与焓定义比热(specificheat )I & qcn，即系统

7、增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作Cv，等压过程的比热写作Cp对于等体过程dv=0代入8 q=de+Pdv可得de= 8 q=CvdT从e=0和T=0积分得e=CvT我们在大物中学的是e电lR普T，m还是要当做单位质量1，推出e=R个T=gT。因此，它们是等价的。对于等压过程dP=0代入8 q=dh-vdP那么dh=8 q=CpdT从h=0和T=0积分得h=CpTde=CvdT, e=CvT, dh=CpdT, h=CpT四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但 对于理想气体是 普遍适用的。6、等熵过程适用于等熵过程对于等熵流绝热可逆8 q=0代入8 q=de+Pdv和 8 q=dh-

8、vdP那么-Pdv=de=CvdT, vdP=dh=GdT两式相除得其中定义了热容比Y =Cp/C v 对于空气，丫 =1.4，应该是因为空气的绝大局部是氮气和氧气， 都是双原子分子，分子自由度i=5，根据大物中学的热容比丫E3=_，可得 Y =1.4。再积分vl v把体积换成密度得同时借助状态方程p =P/(RT)在有P的那个式子中消去P或借助我们熟悉的形式大物书上的PvIrT在有v的那个式子中消去v可得P2 冋=()Y /( Y -1)总结:P2已=创Y =T2(五)Y/(Y-1)，即 Pp -Y =常量，PT-1TY=常量把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完全一样了7、能量方程适

9、用于无黏对于绝热过程8 q=dh-vdP=O代入欧拉方程dP=- p VdV得dh+v p VdV=0v=1/ p 这里的v应理解为单位质量的体积那么做积分得代入dh+VdV=0i=h2+3 V2,即h+_V"=常量h=CpT对于非绝热过程8 q=dh+VdV可得做积分得h11+Q2 = h2+ZV2也可写为c8、一个重要结论对于等熵流，总温To，总压P)，总密度p 0是定值总温(totaltemperature )，总压(totalpressure )，总密度(totaldensity) 定义:Totaltemperature/pressure/de nsityatagive np

10、oi nti naflowi sthetemperature/pressure/de nsitythatwouldexistiftheflo wweresloweddownisentropically等熵地tozerovelocity公式应用1、声速公式的推导由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价，因此可用后者来研究在声波两侧，设气流压强分别为P和P+dP密度P和P +dp温度T和T+dT速度a和a+da应用连续方程有P Aia=(p +d p) A( a+da)A=A，贝Up a= (p +d p) (a+da)展开，再忽略无穷小量d p da,可得da a=- p 匠代入欧拉方程dp d

11、P=- p ada,即 da=-Ei可得通过声波的气流是等熵流，那么P/ p Y =const=c因此V=17cY=CYY -1代入C=P/ p Y,得对于理想气体，可以再代入状态方程 P=p RT最终得出可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关2、低速亚声速风洞设 Settlingchamber( reservoir )禾口 Testsection 的气流速度分别为Vi, V2压强分别为Pi，P2面积分别为Ai, A通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩流，由连续方 程和伯努利方程可得P1+12 _ p W =F2+p V22联立两式消去Vi, 可得A/Ai对于给定风洞是定值，要想调节 Te

12、stsecti on的速度大 小，可以调节R-P2。以前人们用U型管分别连接 Settlingchamber ( reservoir ) 和Testsection 来测P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传 感器实现3、空速测定A 设备:总压管(Pitottube ),空速管(Pitot-statictube )B、对于低速亚声速流Mv0.3在上图中空速管上的A点压强为静压P,速度为Vi压强为总压P0，速度为0应用伯努利方程得1 2r=p+ p Vi可得忆(PO- P)Vi =定义动压q=_ p V2 此定义式对所有气流都成立可得P0=P+q注意此式和R=p+ p V2只对不可压缩流成立可见

13、:只要设法获得Po-P和p的值，就能求出速度，Po-P的测定通 过空速管或总压管可以实现。对于P,假设使用真值truevalue，即设法测的飞机周围的p，那么获得真实空速trueairspeed 2 cpo-Vrue = 但是测定飞机周围的p比拟难，所以低速飞机计算时都是用的标准海平面密度p s，获得当量空速equivalentairspeed U 7po- p)1iP S其实当量空速有更深层次的意义:Con sidera nairpla neflyi ngatsometrueairspeedatsomealti tude .I tsequivale ntairspeedatthisc on

14、diti oni sdefi nedas thevelocityatwhichitwouldhavetoflyatsta ndardsealevel toexperie ncethesamed yn amicpressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。C、对于高速亚声速流0.3VMV1由h=e+Pv=e+RT即卩 CpT=aT+RT可得cp-c v=R根据Y =Cp/C v可得Y RCp=L气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点(stag nati on poi nt)处从最开始温度T1和速度V1的状态等熵静止,速度变为0,因此温度为总

15、温(totaltemperature)To,压强为总压(totalpressure )Po，在此过程应用能量方程得1CpTi+Vi =CpTo变换等式可得To VI2Tl = l+ZcpTl代入可得TOnY -1 VI2 =1+2 7rti又声速结合等熵过程方程roPO pO可=巨丫 =冈丫/丫-1P0Y - 1P1=(1 +2M2)Y /( Y -1)，甑=可得由上式可得M2 1/ Y -1要求是等熵过程2M2=(丫 丫-1因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入M=V/a i那么pal卩u2n|同y -i/ y -i也可写为沁P0 - P111=+1 Y-1/ Y-1因为实践中一般

16、获得P0-P1,所以上式用得较多而且，由于T难以测量，即a难以获得，静压R也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和压强as和Ps代入上式。airspeedindicator 会感应P0-P1的值。从而获得校正空速(calibratedairspeed )2笳|P0 - PlVCa|2=( Z + 1)( Y -1)/ Y-1D 对于超声速流在超声速流中，物体前会产生激波(shockwave),在一个流 体元穿越激波前后：马赫数减小静压增加静温增加速度减小总压减小 总温不变由于激波的产生(产生的大致原理在P206)，穿越激波的气流 不是等熵流。空速测定的理论非常复杂，书上只给了最后结果

17、，称为 RayleighPitottubeformula:(y + l)2MlZIY /(Y -1)1 y +1yTi其中，P02为激波后的总压，P1为自由流静压,由飞机外表的静压孔(staticpressureorifice )测量，由此推出马赫数。假设想推出空速，还需要其他信息4、超声速风洞和火箭发动机由连续方程知取对数再做微分，得p AV=const由欧拉方程dP=-p VdV得P代入上式，可得由于气流是等熵流7V=0,所以代入上式，可得-1)R=mM称为 area-velocityrelation由此关系式可知:对于亚声速流M<1,要使速度增加，面积必须减小对于超声速流M>

18、1，要使速度增加，面积必须增大假设M=1dV 1 州 fdA|咋一看二无限大了，不过显然二是有限大的，因此:司的值为有MA需使bd=o,构成0/0型不定型极限，以此来使得限大反过来可以看出：当dA/A=0时，M=1即streamtube有最小面积时，M=1称此处为throatTherefore,toexpa ndagastosupers oni cspeeds,starti ngwithastag nan tgasi nareservoir,theprecedi ngdiscussi on thataductofsufficie ntlyc on vergin g-diverg in gshapemustbeused 。Forrocketengine ,theflowqualityattheexitis no tquiteasimporta ntbuttheweightofthe no zzleisamajorc on cern.Fortheweighttobeminimized , theengine ' slengthisminimized,whichgiverisetoarapidlydiverg ing ,bell-likeshapeforthesupers oni csecti on流过超声速风洞或火箭发动机的气流可近