高三数学(理)四大题训练之五

1、高三数学(理)四大题训练之五姓名座号16(本小题满分13分)已知a、b分别在射线cm、cw (不含端点c)上运动，zmcn= 兀,3在aabc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c(i )若g、b、c依次成等差数列，且公差为2.求c的值;(ii)若c =相,zabc = 0，试用b表示abc的周长, 并求周长的最大值.17.(本小题满分13分)甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为/(cm),相关 行业质检部门规定：若te (2.9,3.1,则该零件为优等品；若re(2.8,2.9u(3.1,3.2,则该零 件为中等品；其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件屮各随机抽取5

2、0件，经质量检测 得到下表数据：尺寸2.7,2.8(2.8,2.9(2.9,3.01(3.0,3.1(3.1,3.2(3.2,3.3甲机床零件频数23202041乙机床零件频数35171384(i )设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元.若将频率视为 概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；(ii)对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的 思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由.参考公式：k2n(ad-bc)2(° + b)(c + d)(a + c)(b + d

3、)参考数据:p(k2>k0)0. 250. 150. 100. 050. 0250.010%1. 3232. 0722. 7063. 8415. 0246.63518.（本小题满分13分）如图1,在等腰梯形abcd中，ad/bc , ad = , bc = 3, e为bc上一点，be = 2ec ,且de二巧.将梯形abcd沿de折成直二面角b de c,如 图2所示.（i ）求证：平面aec丄平面abed；（ii）设点a关于点d的对称点为g ,点m在&bce所在平面内,且直线gm与平面ace 所成的角为60。，试求出点m到点b的最短距离.dbe c图1dbc图221. （1）（

4、本小题满分7分）选修42:矩阵与变换在平面直角坐标系兀o.y中，把矩阵3= 2 0 1丿<0 一 1）确定的压缩变换（t与矩阵/=确定的旋转变换凡（尸进行复合，得到复合变换,1 °丿凡（尸ct. （ i ）求复合变换他尸cf的坐标变换公式；（ii）求圆c：x2 + /= 1在复合变换鷹q的作用下所得曲线c的方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，直线/的参数方程为x = 2-ty = y/3t（f为参数）,p、q分别为直线/与兀轴、y轴的交点，线段p0的屮点为m . （ 1 ）求直线/的直角坐标方程;（ii）以坐标原点o为极点，x轴

5、的正半轴为极轴建立极坐标系，求点m的极坐标和 直线om的极坐标方程.高三数学（理）四大题训练之五参考解答16.本小题主要考查三角函数的性质、两角和与差的三角函数公式、解三角形以及数列等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.满分13分.解：(i) *. a > b、c成等差，且公差为2,. a = c-4、b = c 2.1 分又v zmcn = cosc = 一丄，32a2 + /?2 - c21a 八:.=，4 分2ab2.(c-4)2+(c-2)2-c2 _ 12(c-4)(c-2)_丁恒等变形得 ?-9c + 14 = 0,解得c = 7或c = 2又 c

6、4, c = 7.ac _ bc _ ab sin zabc sin abac sin zacb 斗'.2兀sin 3(n acsin6bc.(n )sin 8u )ac = 2sin0, bc = 2sin -0 .(3丿 aabc的周长/(0) = ac bc absin0 +cos0+ a/3 =2 sin'/i2 2i 3丿2sin6 + 2sin2+ a/3 , 11分oe又.当 e- = - 即 e=- 时，/(e) 取得最大值 326、)2 + v3 .13 分17本小题主要考查概率统计的基础知识和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思 想方法，考查数据处

7、理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或 然思想满分13分.解：(i )设甲机床生产一件零件获得的利润为x元，它的分布列为x31-1p0.80. 140. 063分则有 e(x)=3x0. 8+1x0. 14+ (-1) x0. 06=2. 48 (元).所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元.6分(ii)由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等 品20个.制作2x2列联表如下：甲机床乙机床合计优等品403070非优等品102030合计50501009分 计算 100(40x20-30x10)- = 100 =仍？&qu

8、ot;分50x50x70x3021考察参考数据并注意到3.841 <4.762<5.024,可知：対于这两台机床生产的零 件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握 认为“零件优等与否和所用机床有 关”.13分18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平而与平面的位置关系、空间向量、函数等基础知识，考查空问想彖能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识.满分13分.解：(i )在图1中，由平几知识易得qe丄bc ,1分在图2中，v de丄be,de丄ce,乙bec是二面角b de c的平面角, de0

9、be = e , de,be u 平面 abed , :.ce 丄平面 abed ,4分又ce u平面aec ,平面aec丄平面abed .5分图1（ii）由（i ）知de,be,ce两两互相垂直,以e为原点，分别以eb,ec,ed为x9y9z轴，建立空问直角坐标系e-xyz,如图所示.6 分则 £(0,0,0), 4(1,0"), b(2,0,0), c(o,1,o), d(0,0,v3), g(-1,0“), ea = (1,0,a/3), ec = (0,1,0)设平面ace的一个法向量为n = (x, y, z),则巴( = °,即jx+z = o.取x

10、= vl 得n = (v3,0,-l).eec-n = o y = 0设mg,0),则gm=(x + l,y,-v3).直线gm与平面ace所成的角为60°,10分11分=sin 60°,|v3(x + l) + v3| _ v32-7(x+1)2 + /+32从而有 i mb |= 7u-2)2 + y2 = j(x-2)2+2x=vx2 2x + 4 = j（兀_i）? +3 , 12分所以，当x = l时，|mb|取得最小值jl即点m到点b的最短距离为能.13分本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想满分7分.0ri 0)0 -1、<

11、1 0丿21<0 1丿-0k 2丿解)所以，ab =x =-yx 1y =x2合变换心。q 对应的矩阵为复合变换心尸9的坐标变换公式为x - 2#y = -x(ii)设圆c上任意一点p(x, y)在变换 际(7的作用下所得的点为px y),1，即y =x2代入圆c:x2 + y2=l,得(2/)2 + (")2 = 1, 所以，曲线c'的方程是x2+4/=1.(2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化 思想.满分7分.x_2；,得 vir+)-2 希=0,y =3t直线/的平面直角坐标方程为/3x+y-2v3=0.(ii)当y