第35全国中学生物理竞赛决赛试题

1、第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2021)一、(35分)如图,半径为?质量为？勺半 球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上 有一质量为？?、半径为？的匀质小球.某时 刻，小球受到微小的扰动后有静止开始沿 半球外表运动.在运动过程中，小球相对 于半球的位置由角位置 ？?苗述,?为两球 心的连线于竖直方向之间的夹角.小 球绕其对称轴的转动惯量为2?小球与半球间的动摩擦因数为？?假定最大静摩5擦力等于滑动摩擦力.重力加速度大小为？(1) 小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为?时,半球运动的速度大小?(?)和加速度大小？?(？?);(2) 当小球纯滚动到角位置？

2、?时开始相对于半球滑动，求?满足的方程(用半球速 度大小?(?)和加速度大小？?(?)以及题给条件表示)；当小球刚好运动到角位置？时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度 的大小?(?).二、(35分)平行板电容器极板1和2的面积均为 ?冰平固定放置，它们之间的距离为？?接入如图 所示的电路中，电源的电动势记为？?不带电的导 体薄平板3(厚度忽略不计)的质量为？?、尺寸与 电容器极板相同.平板3平放在极板2的正上方, 且与极板2有良好的电接触.整个系统置于真空 室内，真空介电常量为？?.闭合电键？?后，平板3与1和2相继碰撞,上下往复运动.假 设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电

3、源内阻足够小，充放电时间可 忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内到达静电平衡；所有碰撞 都是完全非弹性的.重力加速度大小为？(1) 电源电动势？至少为多大？(2) 求平板3运动的周期(用?和题给条件表示).积分公式d?1/“?=用n(2?+ ?打 2V?V?) ?其中？?> 0,?为积分常数.、(35分)如图,质量线密度为？不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮，定滑轮的半径为？?轴离地面高度为？;系统原处于静止状态在 ? 0时，滑轮开始以恒定角速度？?逆时针转动，绳子在 滑轮带动下开始运动，绳子与滑轮间的动摩擦因数为 ?骨轮两侧的绳子在运动过程中始终可视为沿竖直方 向，绳的两端

4、在运动过程中均没有离开地面，地面上的绳子可视为集中在一点重力加速度为？?绳子在 与滑轮左、右侧相切处的张力分别记为？?、？2(均非已 知量).(1) 分别列出在绳子速度到达最大值之前，滑轮两侧绳 子的竖直局部及滑轮上任意一小段绳子的运动所满 足的动力学方程； 求绳子可到达的最大速度的大小:d?+ ? e-?dQ'd?d?/e?Cos?P?= 1+?7?:os?F sin?+ ?,e?四、(35分)如图,一张紧的弦沿？轴水平放 置，长度为？玄的左端位于坐标原点.弦可 通过其左、右与振源连接，使弦产生沿？方 向的横向受迫振动，振动传播的速度为？ (1)固定弦的右端？?,将其左端与？?与振源

5、 连接,稳定时,左端？?的振动表达式为？?= 圆频率.(i)弦上横波的振幅在传播方向上有衰减PlP2X0,?= ? cos?其中?为振幅,?为，衰减常量为？?> 0),求弦上各处振/e?Sin?i?= ?sin?2 cos?+ ?,?与？?为积分常数动的振幅；(:在无限长弦上沿？轴正方向传播的振幅逐渐衰减的横波表达式为?)?= ?-?Cos (? ? + ?),其中？和？分别为？?= 0处振动的振幅和初相位) (ii)忽略波的振幅在传播方向上的衰减，求弦上驻波的表达式，并确定波腹和波节 处的？坐标.将？?、？?都与振源连接，？?、？?处的振动表达式分别为？?= 0,?= ?cos? ?=

6、 ?)?= ? cos(? ?),其中?为常量.忽略波的振幅在传播方向上的衰减， 分别计算？ = 0和？ = ?情形下线上各处振动的表达式以及共振时的圆频率？?应满足的条件.五、35分质量为？勺绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空可视为真空中.在 某惯性系中观察，该容器的初始速度为零容器的容积为？?容器中充有某种单原子 分子理想气体，气体的初始分子数、分子质量分别为？、？?,气体的初始温度为?.?= 0时容器壁上出现面积为？的一个小孔，由于小孔漏气导致容器开始运动.假 设小孔较小，容器中的气体在泄露过程中始终处于平衡态.气体分子速度沿？?飞厂 ？?2?方向的分量？的麦克斯韦分布函数为？?？=七齐

7、?F?为玻尔兹曼常量.在 泄露过程中，求：1当气体的分子数密度为？温度为？?寸在单位时间内从小孔单位面积泄出的气 体分子数；2当容器中气体温度为？时，从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能；?时刻容器中气体的温度；?时刻容器运动速度的大小假设? ?.积分公式：f ?貂恋?= g？?e-?S?= 1 境 J ?e-?S?=黑.六、35分介质的折射率？可以大于0,也可 以小于0.?小于0的介质称为负折射介质.光 在负折射介质内传播，其光程为负值相位随 传播距离的变化规律于在折射率为正的介图a图b质中的相反.如果定义折射角于入射角在界 面法线同侧时折射角为负，可以证明折射定 律在界面两边有负折射介

8、质时仍然成立，即 ?sin?= ?sin?,其中的?和?均可以大 于0或小于0,?为折射角.1设想一束平行光入射到界面上，根据惠更 斯原理，画出图？和图？所示情况下进入介质 2的光线及对应的子波的示意图，并依此证明 折射定律成立；2如图?所示，半径为？的球面将空间隔开为两 个区域，其折射率分别记为? > 0、？?？< 0,?点是球面的球心，取某一光轴与球面的交 点？釣原点.图中已画出此情形下一段入射光线 和折射光线,?和？分别为入射光线、折射光线与序号n2d11.50.35R21.50.85R3-1.50.35R4-1.50.85R参数表光轴的交点坐标.记物距为?像距为？?在傍轴近

9、似下导出球面的成像公式和横向 放大率公式.请明确指出最后结果中各个量的正负号约定；3介质1为空气，即?= 1,?可大于0也可小于0.在球面参考图？前放置一普通 薄凸透镜，透镜的光轴通过球心？?焦点位于负折射介质区域内，透镜的焦距？?= 1.5?透镜中心？?点与？?点的距离为？?一束沿光轴传播的平行光入射到薄透镜 .分别就表中四组参数计算入射光在光轴上会聚点离？点的距离，并画出序号4情形的光路示意图.七、(35分)在固体材料中，考虑相互作用后，可以利用“准粒子的概念研究材料 的物理性质.准粒子的动量与能量之间的关系可能与真实粒子的不同.当外加电场或磁场时，准粒子的运动往往可以用经典力学的方法来处

10、理.在某种二维界面结构中，存在电量为？有效质量为？勺准粒子，它只能在？ ？平面内运动，其动能?与 动量大小？之间的关系可表示为？?=+ ?其中？为正的常量.?对于真实的自由粒子，动能？?=厉,其中？?为该粒子质量，试从动能定理出发，推 导该粒子速度？与动量？之间的关系式；(2) 仿照的方法，推导准粒子运动的速度？与动量？之间的关系式；(3) 用动能表示准粒子运动速度的大小(4) 将该二维界面结构置于匀强磁场中，磁场沿？轴正方向，磁感应强度大小为？?求动能为？?的准粒子做匀速率圆周运动的半径、周期和角动量的大小；(5) 将该二维界面结构放置在匀强电场中，准粒子可能在垂直于电场的方向上产生 加速度

11、.如果电场沿？?由正方向，电场强度大小为？?当准粒子的速度大小为？?治?、方向与？轴正方向成？角时，求其运动的加速度分量？?和?八、(35分)热辐射入射到反射镜，反射镜可利用热辐射的辐射压力对外做功，这一 过程可以用动力学或热学来研究.为简化起见,将热辐射视为一维黑体辐射，正入 射到平面理想反射(完全反射)镜上.反射镜所受辐射压力与外界阻力相互平衡，以 速度？做匀速运动，运动方向与入射辐射的方向相同.在实验室参考系中温度 为？的一维黑体辐射谱(单位时间内在频率？附近单位频率间隔内辐射出的辐射能) 为？?？= e?2?1,式中？为普朗克常量，?为玻尔兹曼常量.真空中的光速为？(1) 从一维黑体辐射光子与运动理想反射镜碰撞的动力学观点出发，计算在实验室参考系中镜子利用光子克服阻力做功的