[高三数学]文科立体几何知识点方法总结高三复习

1、mll立体几何知识点整理（文科）一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交al符号表示：3. 线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量 ，ln且l, 则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平

2、行实现。/,/且相交mlml三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。labacaabacablacl,方法二：用面面垂直实现。mlnlmllmmlabcllmllmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。poloalpal方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2

3、cos222(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：acabacabcos(二 )线面角(1)定义：直线l 上任取一点p（交点除外） ，作po于 o,连结 ao ， 则 ao 为斜线 pa 在面内的射影，pao(图中)为直线 l 与面所成的角。aop(2)范围：90,0当0时，l或/l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三 )二面角及其平面角(1)定义： 在棱 l 上取一点 p，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、 n，则射线m 和 n 的夹角为二面角 l的平面角。lmlmlcb

4、aabcnaoplaopnmlp(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1： 作出二面角的平面角(三垂线定理 )， 并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1： 如图，若平面 poa 同时垂直于平面和，则交线 (射线 )ap 和 ao 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。aop方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。oap步骤 1： 过点 p 作 po于 o， 线段 po 即为所求。步骤 2：计算

5、线段po 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbamdcbamn如图， ad 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm，则异面直线m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacd高考题典例考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱111abcab c的所有棱长都为2，d为1cc中点（）求证：1ab 平面1a bd； （

6、）求二面角1aadb的大小；a b c d 1a1c1b（）求点c到平面1abd的距离解答过程 （）取bc中点o，连结aoabc为正三角形，aobc正三棱柱111abca bc中，平面abc 平面11bccb，ao平面11bcc b连结1bo，在正方形11bb c c中，od，分别 为1b cc c，的中点，1bobd，1abbd在正方形11abb a中，11abab，1ab 平面1a bd（）设1ab与1ab交于点g，在平面1abd中，作1gfad于f， 连 结af，由（）得1ab 平面1abd1afa d，afg为二面角1aadb的平面角在1aad中，由等面积法可求得4 55af，又112

7、2agab，210sin44 55agafgaf所以二面角1aadb的大小为10arcsin4（）1abd中，11152 26a bdbdadabs，1bcds在正三棱柱中，1a到平面11bccb的距离为3设点c到平面1abd的距离为d由11abcdca bdvv，得111333bcda bdssd，1322bcda bdsds点c到平面1abd的距离为22考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥abcs，底面是边长为24的正三角形，棱sc的长为 2，且垂直于底面.de、分别为abbc、的中点，求cd 与 se 间的距离 . 解答过程 ： 如图所示，取bd 的中点 f，连结 ef，sf，cf

8、 ，ef为bcd的中位线，efcdcd,面sef,cda b c d 1a1c1bo f 到平面sef的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线cd上一点 c 到平面sef的距离，设其为h，由题意知，24bc,d、e、f 分别是 ab、bc 、bd 的中点，2,2,621,62scdfcdefcd33222621312131scdfefvcefs在 rtsce中，3222cescse在 rtscf中，30224422cfscsf又3,6sefsef由于hsvvsefcefssefc31，即332331h，解得332h故 cd 与 se 间的距离为332. 考点 3 直线到平面的距

9、离例 3 如图，在棱长为2 的正方体1ac中， g 是1aa的中点，求bd 到平面11dgb的距离 . 思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程 ：解析一bd平面11dgb，bd上任意一点到平面11dgb的距离皆为所求，以下求点 o 平面11dgb的距离 , 1111cadb，aadb111，11db平面11acca, 又11db平面11dgb平面1111dgbacca，两个平面的交线是go1, 作gooh1于 h，则有oh平面11dgb，即 oh 是 o 点到平面11dgb的距离 . 在ogo1中，222212111aooosogo. 又362,23212

10、111ohohgoohsogo. 即 bd 到平面11dgb的距离等于362. b a c d o g h 1a1c1d1b1o解析二bd平面11dgb，bd上任意一点到平面11dgb的距离皆为所求，以下求点b 平面11dgb的距离 . 设点 b 到平面11dgb的距离为h，将它视为三棱锥11dgbb的高，则，由于632221,111111dgbgbbddgbbsvv34222213111gbbdv, ,36264h即 bd 到平面11dgb的距离等于362. 小结 ：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解

11、析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在rtaob中，6oab，斜边4abrtaoc可以通过rtaob以直线ao为轴旋转得到，且二面角baoc的直二面角d是ab的中点（i）求证：平面cod平面aob；（ii）求异面直线ao与cd所成角的大小解答过程 ： （i）由题意，coao，boao，boc是二面角baoc是直二面角，cobo，又aoboo，co平面aob，又co平面cod平面cod平面aob（ii）作deob，垂足为e，连结ce（如图），则deao，cde是异面直线ao与cd所成的角在rtcoe中，2cobo，112oebo

12、，225cecooe又132deao在rtcde中，515tan33cecdede异面直线ao与cd所成角的大小为15arctan3小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间ocadbeocadbxyz图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三 .一般来说， 平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0. 考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 sabcd 中，底面a

13、bcd为平行四边形， 侧面sbc底面abcd 已知45abc，2ab，2 2bc，3sasb（）证明sabc； （）求直线sd与平面sab所成角的大小解答过程：（） 作sobc，垂足为o，连结ao，由侧面sbc底面ab，得so底面abcd因为sasb，所以aobo，又45abc， 故a o b为 等 腰 直 角 三 角 形 ，aobo，由三垂线定理，得sabc（）由（）知sabc，依题设adbc，故saad， 由2 2adbc，3sa，2ao，得1so，11sdsab的面积22111222sabsaab连结db，得dab的面积21sin13522sab ad设d到平面sab的距离为h，由于ds

14、absabdvv，得121133h sso s，解得2h设sd与平面sab所成角为，则222sin1111hsd所以，直线sd与平面sbc所成的我为22arcsin11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角例 6如图， 已知直二面角pq，apq，b，c，cacb，45bap，直线ca和平面所成的角为30 （i）证明bcpq（ii）求二面角bacp的大小a b c q p dbcas

15、odbcas过程指引 ： （i）在平面内过点c作copq于点o，连结ob因为，pq，所以co，又因为cacb，所以oaob而45bao，所以45abo，90aob，从而bopq，又copq，所以pq 平面obc因为bc平面obc，故pqbc（ii）由（ i）知，bopq，又，pq，bo，所以bo 过点o作ohac于点h，连结bh，由三垂线定理知，bhac故bho是二面角bacp的平面角由（ i）知，co，所以cao是ca和平面所成的角，则30cao，不妨设2ac，则3ao，3sin 302ohao在rtoab中 ，45abobao， 所 以3b oa o， 于 是 在rtboh中 ，3t a

16、n232bobhooh故二面角bacp的大小为arctan2小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图，已知1111abcdabc d是棱长为3的正方体，点e在1aa上，点f在1cc上，且11aefc（1）求证：1ebfd， ， ，四点共面；（2）若点g在bc上，23bg，点m在1bb上，gmbf，垂 足 为a b c q p o h cbaghmdef1b1a1d1ch，求证：em 平面11bcc b；（3）用表示截面1ebfd和侧面11bcc b所成的锐二面角的大小，求tan过程指引 ： （1）如图，在1dd上取点n，使1dn，连结en，cn，则1aedn，12cfnd因为aedn，1ndcf，所以四边形adne，1cfd n都为平行四边形从而enad，1fdcn又因为adbc，所以enbc，故四边形bcne是平行四边形，由此推知cnbe，从而1fdbe因