乘法公式培优辅导讲义_5312

1、名师推荐精心整理学习必备乘法公式培优训练题型一： a±型1已知 x2 3x+1=0，则=2若 a2+=14，则 a+5 的值为3已知 a+=7，则 a3 +的值是4已知=3，则=5（1）猜想：试猜想 a2+b2 与 2ab 的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知 x，求 x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值题型二：换元，整体思想1已知 a+b=4，则=2已知（ 2017a）2+（2016a）2 =1，则（ 2017a）（2016a）=22223已知（2017A）（2015A）=2016，则（2017A）+（2015A）

2、 的值为4计算（ 1 ）（ +）（1）（+）的结果是5计算（ a1+a2 +,+an 1）（a2+a3+,+an1 +an）（ a2+a3+,+an 1）（a1+a2+,+an ）= 题型三、添与凑1对于算式 2（ 3+1）（ 32 +1）（34+1）（38+1）（ 316+1）（332+1）+1（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2化简： 6（7+1）（72+1）（74+1）（ 78+1）（716+1） +1=名师推荐精心整理学习必备3计算下列各式：（1）1 =；（2）（1 ）（1）=；（3）（1）（1）（1）=；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1 ）（1 ）（

3、1 ）, （ 1 ）（1）,（ 1 ）4（1）计算：（a1）（a+1）=；（a1）（a2+a+1） =；（a1）（a3+a2+a+1）=；（ 2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1）（a2017+a2016+a2015+a2014+,+a2+a+1）=；（ 3）利用上面的结论，求下列各式的值22017+22016+22015+22014+,+22+2+152017+52016+52015+52014+, +52+5+1题型四、化简求值1已知代数式（ x2y） 2（ x y）（x+y） 2y2 （1）当 x=1， y=3 时，求代数式的值；（2）当 4x=3y，求代数式的值3已知 a2+2a

4、 2=0，求代数式（ 3a+2）（3a 2） 2a（4a1）的值名师推荐精心整理学习必备3（1）已知 a2 +b2=3，ab=1，求（ 2a）（ 2b）的值（2）设 b=ma（a0），是否存在实数m，使得（ 2a b） 2（ a 2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为 12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由4计算：（ 1）（ 48a6b5 c）÷（ 24ab4）（?a5b2 ）；（ 2）已知 xm=3，xn=2，求 x2m3n 的值；（ 3）已知 6x=5y，求代数式（ x 3y）2 （ xy）（x+y） 5y2 的值题型五、综合运用221如果等式 x+3x+2

5、=（ x 1）+B（x1）+C恒成立，其中 B，C为常数，B+C=2已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（ xy）2 2x+2y+1=0，求其面积3两个不相等的实数a，b 满足 a2+b2=5（ 1）若 ab=2，求 a+b 的值；（ 2）若 a2 2a=m，b2 2b=m，求 a+b 和 m的值4已知 |x y+1| 与 x2 +8x+16 互为相反数，求x2+2xy+y2 的值名师推荐精心整理学习必备5将 4 个数 a b c d 排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad bc上述记号叫做 2 阶行列式，若=8求 x 的值6把几个图形拼成一个新的图形

6、，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（ 1）图 1 是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积， 你发现了什么结论？请写出来（ 2）图 2 是将两个边长分别为 a 和 b 的正方形拼在一起， B、C、G 三点在同一直线上，连结 BD、BF，若两正方形的边长满足 a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积7图 1 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形纸片（其中m n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2 所示的大正方形（ 1）请用两种不同方法表示图2 中阴影部分的面积：；（ 2）写出关

7、于（ m+n）2，（ m n） 2，mn的一个等式（ 3）若 m+n=10，mn=20，求图 2 中阴影部分的面积8从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分名师推荐精心整理学习必备拼成一个长方形（如图2）（ 1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）Aa22ab+b2 =（ a b） 2Ba2b2=（a+b）（ab）Ca2+ab=a（a+b）（ 2）若 x2 9y2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（3）计算：（1）（1）（1）, （ 1）（1）9有一系列等式：2221× 2× 3× 4+1=5=（1 +3×

8、 1+1）2222× 3× 4× 5+1=11=（ 2 +3×2+1）2223× 4× 5× 6+1=19=（ 3 +3×3+1）2224× 5× 6× 7+1=29=（ 4 +3×4+1）,（ 1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8×9×10×11+1 的结果（ 2）试猜想 n（ n+1）（ n+2）（ n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明10（ 1）已知 a+b=3，ab=2，求代数式（ ab） 2 的值（ 2）已知 a、b 满足

9、（ 2a+2b+3）（2a+2b 3） =55，求 a+b 的值11如图，长方形的两边长分别为m+1， m+7；如图，长方形的两边长分别名师推荐精心整理学习必备为 m+2，m+4（其中 m为正整数）（ 1）图中长方形的面积S1 =；图中长方形的面积比较： S1S2（填“”、“=”或“”）S2=（ 2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含 m的代数式表示）；试探究： 该正方形面积 S 与图中长方形面积 S1 的差（即 SS1）是一个常数，求出这个常数（ 3）在（ 1）的条件下，若某个图形的面积介于 S1、S2 之间（不包括 S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有

10、且只有 10 个，求 m的值12先阅读下面的内容，再解决问题，22例题：若 m+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值22解： m+2mn+2n6n+9=0222 m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n） +（n3） =0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3问题（ 1）若 x2 +2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC的三边长，满足 a2+b2=10a+8b41，且 c 是 ABC中最长的边，求 c 的取值范围26已知 x、y 互为相反数，且（ x+3） 2（ y+3） 2=6，求 x、y 的值名师推荐精心整理学习必备名师推荐精心整理学习

11、必备20XX年 12 月 02 乘法公式培优训练参考答案与试题解析一选择题（共11 小题）1已知 x2 3x+1=0，则= 7 【解答】解： x2 3x+1=0， x+ =3，（ x+ ） 2=x2+2=9， x2+ =7故答案为： 72化简： 6（7+1）（72+1）（74+1）（ 78+1）（716+1） +1=732【解答】解：原式 =（ 7 1）（7+1）（72+1）（ 74 +1）（78+1）（716+1）+1 =（721）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+144816=（7 1）（7 +1）（7 +1）（ 7 +1） +1=（7161）（ 716+1）+1=732

12、 1+1=732故答案为： 732223已知（ 2017a） +（2016a） =1，则（ 2017a）（2016a）=022【解答】解：（ 2017 a） +（2016a） =1， （ 2017 a）（ 2016a） 2+2（ 2017 a）（2016a）=1，即 1+2（2017a）（ 2016 a） =1， 2（ 2017 a）（2016a）=0，（ 2017a）（ 2016a）=0，名师推荐精心整理学习必备故答案为： 04若 a2+=14，则 a+5 的值为1 或 9【解答】解： a2+=14， a2+2+ =14+2，即=16， a+ =±4， a+ 5=1 或 9，故答案

13、为： 1 或 95已知 a+b=4，则= 8 【解答】解：= （a2+2ab+b2）= （a+b） 2= ×42=8故答案是： 86已知=3，则=119【解答】解：，=119，故答案为： 1197已知（ 2017A）2（ 2015A）2 =2016，则（ 2017 A）2+（2015A）2 的值为4+24名师推荐精心整理学习必备【解答】解：设x=2017A，y=2015A， x2y2 =2016， xy=±12， x y=2 x2+y2=（xy）2+2xy=4±24 x2+y2 0， x2+y2=4+2422（ 2017A） +（2015A） =4+248已知 a

14、+=7，则 a3 +的值是322【解答】解： a+ =7，（ a+ ） 2=49， a2+ +2=49， a2+ =47， a3+ =（a+ ）（a2 1+ ）=7×46=322故答案为： 3229如果等式 x2+3x+2=（x1）2+B（x1）+C恒成立，其中 B， C 为常数， B+C=11 【解答】解：222x +3x+2=（ x 1） +B（ x 1） +C=x+（B2）x+1+C恒成立， B 2=3，1+C=2， B=5，C=6，故 B+C=11名师推荐精心整理学习必备故答案为： 1110计算（ 1）（+）（ 1）（+）的结果是【解答】解：（1）（+）（ 1）（+）=（1）

15、×（+）+（1）×（1）×（+）（）×（+）=（1）×+×（+）=（1+）×= 故答案为： 11计算（ a1 +a2+,+an 1）（a2+a3+,+an 1+an）（a2+a3+,+an 1）（ a1+a2+,+an ）=a1an【解答】解：设x=a1+a2+,+an， y=a2+a3 +,+an 1，则原式 =（xan）（y+an） yx2=xy+xananyan xy=an（xy） an 2=an （a1+a2+,+an）（ a2+a3 +,+an 1） an2=an（a1+an） an 2=a1an，故答案为： a1

16、an 二选择题（共16 小题）12已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（ xy）2 2x+2y+1=0，求其面积【解答】解：由题意得： 2（ x+y）=16，解得： x+y=8；名师推荐精心整理学习必备（ xy）22x+2y+1=（xy）2 2（ x y） +1=（x y 1） 2=0， x y=1联立成方程组，解得：，2长方形面积 S=xy=×=cm2答：长方形的面积为cm13两个不相等的实数a， b 满足 a2 +b2=5（ 1）若 ab=2，求 a+b 的值；（ 2）若 a2 2a=m，b2 2b=m，求 a+b 和 m的值【解答】解：（1） a2

17、+b2 =5，ab=2，（ a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9， a+b=± 3；（ 2） a22a=m，b22b=m， a22a=b22b，a22a+b22b=2m， a2b22（ab）=0，（ ab）（ a+b2） =0， a b， a+b2=0， a+b=2， a22a+b22b=2m， a2+b2 2（ a+b）=2m，2 2 a +b =5， 5 2× 2=2m，解得： m= ，名师推荐精心整理学习必备即 a+b=2， m= 14已知 |x y+1| 与 x2+8x+16 互为相反数，求x2+2xy+y2 的值【解答】解： |x y+1| 与

18、 x2+8x+16 互为相反数， |x y+1| 与（ x+4） 2 互为相反数，即 |x y+1|+ （x+4）2=0， x y+1=0，x+4=0，解得 x=4，y=3当 x= 4， y=3 时，原式 =（ 4 3） 2=4915将 4 个数 a b c d 排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad bc上述记号叫做 2 阶行列式，若=8求 x 的值【解答】解：根据题意化简=8，得：（ x+1）2（ 1 x） 2=8，整理得： x2+2x+1（ 12x+x2） 8=0，即 4x=8，解得： x=216把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算， 常常可以得到一些有用的式子（

19、 1）图 1 是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（ 2）图 2 是将两个边长分别为 a 和 b 的正方形拼在一起， B、C、G 三点在同一直线上，连结 BD、BF，若两正方形的边长满足 a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积名师推荐精心整理学习必备【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（ 2） a+b=10，ab=20，22（a+b）?b22222 S 阴影 =a +b a =a + bab= （a+b） ab= ×10 ×20=

20、5030=2017图 1 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形纸片（其中mn），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2 所示的大正方形（ 1）请用两种不同方法表示图 2 中阴影部分的面积：2 （ m n） ； （m+n）24mn （ 2）写出关于（ m+n）2 ，（mn）2 ，mn的一个等式（m+n）2=（mn）2+4mn （ 3）若 m+n=10，mn=20，求图 2 中阴影部分的面积【解答】解：（1）图 2 中阴影部分的面积：（ mn） 2；（ m+n）2 4mn；故答案为：（ m n）2；（ m+n）2 4mn；（ 2）关于（ m+n）2，（mn）2， mn的一

21、个等式：（ m+n）2=（mn）2+4mn；故答案为：（ m+n）2=（mn）2+4mn；（ 3） m+n=10，mn=20，名师推荐精心整理学习必备22图 2 中阴影部分的面积为：（m+n） 4mn=10 4×20=2018对于算式 2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1（ 1）计算出算式的结果；（ 2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式 =（ 3 1）×（ 3+1）×（ 32+1）×（ 34+1）×（ 38+1）×（ 316+1）×（ 332+1）+122481632=（

22、3 1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）+14481632=（3 1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）×（ 3 +1）+13232=（3 1）×（ 3 +1）+164=3 ； 31=3， 32 =9，33=27，34=8135=243，36=729，,每 3 个数一循环， 64÷3=21, 1， 364 的个位数字是 319计算下列各式：（1）1=；（2）（1）（1）=；（3）（1）（1）（1）=；（ 4）请你根据上面算式

23、所得的简便方法计算下式：（ 1 ）（1 ）（1 ）, （ 1 ）（1）, （ 1 ）【解答】解：（1）1=；（2）（1）（1）= ；名师推荐精心整理学习必备（ 3）原式 = ；故答案为；（4）原式=?,?=20从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（ 1）上述操作能验证的等式是B（请选择正确的一个）Aa2 2ab+b2=（ab）2Ba2 b2 =（ a+b）（ab）Ca2+ab=a（a+b）（ 2）若 x2 9y2=12，x+3y=4，求 x3y 的值；（3）计算：（1）（1）（1）, （ 1）（1）2 2 【解答】解：（1）根据阴影

24、部分面积相等可得： a b =（a+b）（ab），上述操作能验证的等式是 B，（ 2） x29y2 =12， x29y2 =（ x+3y）（x3y） =12， x+3y=4， x 3y=3；（3）原式名师推荐精心整理学习必备= 21有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（ 12 +3×1+1） 22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×

25、4+1）2,（ 1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8×9×10×11+1 的结果 892（ 2）试猜想 n（ n+1）（ n+2）（ n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10× 11+1=（82+3× 8+1）2=892 ；故答案为： 892；（ 2）依此类推： n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（ n2+3n+1）2，理 由 如 下 ： 等 式 左 边 = （ n2 +3n ） （ n2+3n+2 ） +1=n4+6n3 +9n2+2n2+6n+1

26、=n4+6n3+11n2+6n+1，等 式 右 边 = （ n2+3n+1 ） 2= （ n2+1 ） 2+2 ? 3n ? （ n2+1 ）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边 =右边22（ 1）已知 a+b=3，ab=2，求代数式（ ab） 2 的值（ 2）已知 a、b 满足（ 2a+2b+3）（2a+2b 3） =55，求 a+b 的值【解答】解：（1） a+b=3， ab=2，（ ab）2=（a+b）2 4ab=324×（ 2） =17；名师推荐精心整理学习必备（ 2）（2a+2b+3）（2a+2b3）=55，4（a+b）

27、29=55，（ a+b）2=16，a+b=±423如图，长方形的两边长分别为m+1， m+7；如图，长方形的两边长分别为 m+2，m+4（其中 m为正整数）（ 1）图中长方形的面积12；图中长方形的面积22S =m+8m+7S =m+6m+8比较： S1 S2（填“”、“=”或“”）（ 2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含 m的代数式表示）；试探究： 该正方形面积 S 与图中长方形面积 S1 的差（即 SS1）是一个常数，求出这个常数（ 3）在（ 1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2 之间（不包括 S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且

28、只有10 个，求 m的值【解答】解：（1）图中长方形的面积2S1=（m+7）（m+1）=m+8m+7，22图中长方形的面积S =（m+4）（m+2） =m+6m+8，比较： S1S2 =2m1，m为正整数， m最小为 1， 2m110，S1S2；（ 2） 2（m+7+m+1）÷ 4=m+4；2 2 S S1=（ m+4） （ m+8m+7）=9 定值；（ 3）由（ 1）得， S1S2=2m1，当 102m111 时，名师推荐精心整理学习必备 m 6， m为正整数， 2m1=11，m=622故答案为： m+8m+7，m+6m+8，24（ 1）计算：（ a 1）（a+1） = a2 1

29、；（ a 1）（a2+a+1）= a31 ；（ a 1）（a3+a2 +a+1） = a41 ；（ 2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（ a 1）（a2017+a2016+a2015+a2014+, +a2+a+1） = a2018 1 ；（ 3）利用上面的结论，求下列各式的值 22017+22016+22015+22014+, +22+2+1 52017+52016+52015+52014+, +52+5+1【解答】解：（1）（a1）（a+1）=a21；（ a 1）（a2+a+1）=a3 1；（ a 1）（a3+a2 +a+1） =a4 1；故答案为： a21；a31；a4 1；（ 2）由

30、上面的规律我们可以猜想，得到：（ a 1）（a2017+a2016+a2015+a2014+, +a2+a+1） =a20181；故答案为： a20181；（ 3）理利用上面的结论，求下列各式的值 22017+22016+22015+22014+, +22+2+1=（21）×（22017+22016+22015+22014+, +22+2+1）=22018 1； 52017+52016+52015+52014+, +52+5+1= （51）×（ 52017+52016+52015+52014+, +52+5+1）=×（ 520181）25先阅读下面的内容，再解决问

31、题，名师推荐精心整理学习必备22例题：若 m+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值22解： m+2mn+2n6n+9=0222 m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n） +（n3） =0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3问题（ 1）若 x2 +2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC的三边长，满足 a2+b2=10a+8b41，且 c 是 ABC中最长的边，求 c 的取值范围【解答】解：（1）x2+2y22xy+4y+4=x22xy+y2+y2+4y+4=（xy）2+（y+2） 2=0， x y=0，y+2=0，解得 x=2，y=2，

32、xy=（ 2）2 = ；（ 2） a2+b2 =10a+8b41， a210a+25+b2 8b+16=0，即（ a5）2+（b4）2=0，a5=0， b 4=0，解得 a=5， b=4， c 是 ABC中最长的边， 5 c 92226已知 x、y 互为相反数，且（ x+3） （ y+3） =6，求 x、y 的值 y=x，（ x+3）2（ y+3）2 ，名师推荐精心整理学习必备22=（x+3） （ x+3） ，22=x +6x+9 x +6x9，=6，即 12x=6，解得 x= ， y=x= 故答案为： x、y 的值分别是，27（ 1）猜想：试猜想（ 2）应用：已知 xa2 +b2 与2ab 的大小关系，并说明理由；2，求 x +的值；（ 3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值【解答】解：（1）猜想 a2 +b2 2ab