第5讲构造平行四边形巧解几何问题

1、精锐"1对第五讲.构造平行四边形巧解几何问题【教学目标】1. 稳固平行四边形的相关知识；2. 学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3. 掌握构造平行四边形的解题技巧。【知识、方法梳理】1. 平行四边形边的性质：1对边平行；2对边相等。?作用：用在与线段有关的题目中。2. 平行四边形角的性质：2对角互补；邻角互补。?作用：用在与角度有关的题目中。3. 平行四边形对角线的性质：互相平分。?作用：用在与线段有关的题目中。【典例精讲】一、构造平行四边形证两线段平行例1如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC和BD交于0 , E、F分别为OB、OD 的中点，过0任作一直线分别交 AB、CD于G

2、、G。求证：GF / EH。【证明】：连结GE、FH寫四边形ABCD是平行四边形 OA =0C , BAODCO，又： AOG = COH AOG COH:.OG =OH又 OE =OF 四边形EHFG是平行四边形 GF / EH二、构造平行四边形证两线段相等例2如图， ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD-CE连结DE，交BC于 F , BAC外角的平分线交 BC的延长线于G，且AG/ DE。求证：BF二CF。GG【分析】：过点C作CM / AB交DE于点M，可以证明BD =CM，然后再利用平行四边 形的性质得到BF二CF。【证明】：过点C作CM / AB交DE于点M，连接BM、C

3、D，那么.CME二.ADE AG/ DE 且.12 . ADE " , . E "2 . CME E CM 二CE 二 BD四边形BMCD为平行四边形 故BF二CF三. 构造平行四边形证线段的不等关系例3如图，AD是 ABC的边BC上的中线,求证:AD : -(AB AC)。21【分析】：欲证AD (AB AC)，即要证2AD : AB AC，设法将2AD、AB、AC 2归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为 ABC的中线，故可考虑延长 AD到E,使DE =AD，那么四边形 ABEC为平行四边形。从而问题得 证。【证明】：延长AD到E ,使

4、DE二AD，连结BE、EC-AD二DE,BD二DC 四边形 ABEC是平行四边形 BE 二 AC在 ABE 中，AE ： AB BE 即 2AD ： AB AC1AD (AB AC)2【点评】：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形 中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。n精锐I对i四、构造平行四边形证线段的倍分关系例4.如图，分别以 是BC的中点，求证:ABC中的AB、 FH =2AM。AC为边向外作正方形 ABEF和正方形 ACGH , M【证明】：延长 AM到D，使MD = AM，连结BD、CD , 寫M是BC的中点四边

5、形ABDC为平行四边形 . BAC . ABD 180而.FAB =/HAC =90： . FAH . BAC =180* . FAH ABD又 AF 二 BA, AH 二 AC 二 BD FAH 也 ABD FH 二 AD故 FH =2AM五、构造平行四边形证两线段互相平分例5.平面上三个等边三角形- ACE、 ABD、 证：CD与EF互相平分。BCF两两共有一个顶点，如下图，求ABCFAD.【分析】：要证CD与EF互相平分，须证四边形 DFCE是平行四边形【证明】：连结DE、DF、AF易知AD=AB = BD/ BF 二 BC, DBF =60 -/FBA 二"ABC ABC D

6、BF DF =AC =EC又 AE 二 AC , AD 二 AB , - DAE =60 - EAB 二 BAC ADE ABC DE 二 BC 二 FC四边形DFCE是平行四边形 故CD与EF互相平分六、构造平行四边形证角的不等关系例6如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC，对角线AC>BD 。求证：.DBC>. ACB 。【证明】：过点 D作DE/ AC交BC的延长线于点 E，那么四边形 ACED是平行四边形 ACB E , AC = DE又 AC> BD , DE> BD在 BDE 中，DBC> E DBC> ACB七、构造平行四边形证线段的和差关系例

7、 7.如图，. ABC 中，点 E、F 在边 AB 上，AE 二 BF , ED / AC / FG。 求证：ED+FG=AC。ABGDABGD【证明】：过E作EH / BC交AC于H EH / BC , ED / AC四边形CHED为平行四边形/ EH / BC , FG / AC AEH B, - A BFG 又 AE =BF AEH也 FBC AH 二 FG/ HC 二 ED ED FG 二 AH HC 二 AC【双基训练】1.如图，在梯形 BCED中，DE/ BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF = AD。过F 作 FG / BC 交 EC 于 G，求证：DE FG = BC。2

8、如图，AABC中，AB二AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点， BE二CF，EF 交 BC 于 D。求证：DE = DF。AECD3.如图，平行四边形 ABCD中，BG = DH，求证：EF与GH互相平分。分别是四条边上的点,AE =CF，【纵向应用】4.如图， AB=AC , B是AD的中点，E是AB的中点，求证 CD =2CE。5.：如图，在四边形 ABCD中，AB二DC , AD二BC，点E在BC上，点F在AD 上，AF =CE , EF与对角线BD相交于点0，求证：0是BD的中点。【横向拓展】6.如图， ABC中，.ABC =90，E为AC的中点。操作：过点 C做BE的垂线，过点

9、 A 作BE的平行线，两直线相交于点 D，在AD的延长线上截取 DF BE，联结EF、BD .(1) 试判断EF与BD之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；(2) 如果 AF =13, CD =6，求 AC 的长。n精锐【对i【练习题答案】1. 过点F作FM / AC交BC于点M，那么有平行四边形 FMCG。2. 过点E作EG/ AC交BC于G，连结CE、GF。3. 连结 FH、HE、EG、GF。4. 延长CE至F，使EF -CE，连结AF、BF。5. 连结 BF、DE AB 二 DC , AD 二 BC四边形 ABCD是平行四边形:.FD/ BE又 AD 二 BC, AF =CE FD 二 BE四边形BEDF是平行四边形 O是BD的中点。6.【解答】：1如图，EF与BD互相垂直平分。 证明如下：连结DE、BF ,/ BE / DF ,四边厂BEDF是平行四边形.CD 丄 BE , CD 丄 AD ,/ ABC =90o, E 为 AC 的中点，1 BE 二 DE AC ,2四边形B