中考数学试题分类汇编：等腰三角形(含答案解析)

1、等腰三角形一.选择题1,（2015 威海 ,第 9 题 4 分）【答案】：b【解析】根据等腰三角形两底角相等求出abc=acb ，再求出cbd ，然后根据abd =abc cbd 计算即可得解【备考指导】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键2. （2015 山东潍坊第11 题 3 分）如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）acm2bcm2ccm2dcm2考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质. 分析：如图，由等

2、边三角形的性质可以得出a=b=c=60 ，由三个筝形全等就可以得出 ad=be=bf=cg=ch=ak，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出do=pe=pf=qg=qh=ok， 四边形 odep、 四边形 pfgq、 四边形 qhko 为矩形，且全等 连结 ao 证明 aod aok 就可以得出 oad=oak =30 ，设 od=x，则 ao=2x，由勾股定理就可以求出ad=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论解答：解： abc 为等边三角形， a=b= c=60 ，ab=bc=ac筝形 adok 筝形 bepf筝形 agqh，ad=be=bf=cg=ch=

3、ak折叠后是一个三棱柱，do=pe=pf=qg=qh=ok，四边形odep、四边形pfgq、四边形qhko 都为矩形 ado=ako=90 连结 ao，在 rtaod 和 rtaok 中，rt aodrtaok （hl） oad=oak=30 设 od=x，则 ao=2x，由勾股定理就可以求出ad=x，de=62x，纸盒侧面积 =3x（62x）=6x2+18x，=6（x）2+，当 x=时，纸盒侧面积最大为故选 c点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用， 矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键3(2015?江苏苏州

4、 ,第 7 题 3 分)如图，在 abc 中， ab=ac，d 为 bc 中点， bad=35 ，则 c 的度数为a35 b45 c55 d60【难度】 【考点分析】 考察等腰三角形三线合一，往年选择填空也常考察三角形基础题目，难度很小。【解析】ab=ac，d 为 bc 中点ad 平分 bac，adbc dac=bad=35 ，adc =90 c=adcdac=55 故选 c此题方法不唯一4(2015?江苏无锡 ,第 10 题 2 分)如图， rtabc，acb=90 ，ac=3，bc=4，将边 ac 沿ce 翻折，使点a 落在 ab 上的点 d 处；再将边bc 沿 cf 翻折，使点b 落在

5、cd 的延长线上的点 b处，两条折痕与斜边ab 分别交于点e、f，则线段b f 的长为（）abcd考点：翻折变换（折叠问题） 分析：首先根据折叠可得cd=ac=3，bc=bc=4， ace=dce，bcf=b cf，ceab， 然后求得 ecf 是等腰直角三角形， 进而求得 bfd=90 ， ce=ef=， ed=ae，从而求得 bd=1，df =，在 rtbdf ，由勾股定理即可求得bf 的长解答：解：根据折叠的性质可知cd=ac=3，bc=bc=4，ace=dce，bcf=b cf，ceab，bd=43=1， dce+b cf=ace+bcf， acb=90 ， ecf=45 ， ecf

6、是等腰直角三角形，dcba（第 7 题）ef=ce，efc=45 ， bfc= b fc=135 ， b fd=90 ，sabc=ac?bc=ab?ce，ac? bc=ab?ce，根据勾股定理求得ab=5，ce=，ef=，ed=ae=，df =efed=，bf=故选 b点评：此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键5. （2015?浙江衢州,第9题3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，则“ 人字梯 ” 的顶端离地面的高度是【】a. b. c.

7、d. 【答案】 b【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理【分析】 “ 人字梯 ” 的 5 个踩档把梯子等分成6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，. ，. ，解得. ，即. 故选 b6. （2015?四川泸州 ,第 11 题 3 分）如图，在 abc 中， ab=ac，bc=24，tanc=2，如果将abc 沿直线l翻折后，点b 落在边ac 的中点 e 处，直线l与边 bc 交于点 d，那么 bd的长为a.13 b.152c.272d.12 第11题图ldcabe考点：翻折变换（折叠问题）. 专题：计算题分析：利用三线合一得到g 为 bc 的中点

8、，求出gc 的长，过点a 作 agbc 于点 g，在直角三角形agc 中，利用锐角三角函数定义求出ag 的长， 再由 e 为 ac 中点， 求出 ec 的长，进而求出fc 的长，利用勾股定理求出ef 的长，在直角三角形def 中，利用勾股定理求出 x 的值，即可确定出bd 的长解答：解：过点a 作 agbc 于点 g，ab=ac，bc=24， tanc=2，=2，gc=bg=12，ag=24，将 abc 沿直线 l 翻折后，点b 落在边 ac 的中点处，过 e 点作 efbc 于点 f，ef=ag=12，=2，fc =6，设 bd=x，则 de=x，df =24x 6=18x，x2=（18x）

9、2+122，解得： x=13，则 bd=13故选 a点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出de 的长是解题关键7. （2015?四川泸州 ,第 12 题 3 分）在平面直角坐标系中，点a( 2,2)，b(3 2,3 2)，动点 c 在x轴上，若以a、b、c 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点c 的个数为a.2 b.3 c.4 d.5 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质. 分析：首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出ab 的中垂线与x轴的交点，即可求出点c1的坐标； 然后再求出ab 的长，以点 a 为圆心， 以 ab 的长为半径画弧

10、，与 x 轴的交点为点c2、c3；最后判断出以点b 为圆心，以ab 的长为半径画弧，与x 轴没有交点，据此判断出点c 的个数为多少即可解答：解：如图，ab 所在的直线是y=x，设 ab 的中垂线所在的直线是y=x+b，点 a（，） ，b（3，3） ，ab 的中点坐标是（2， 2） ，把 x=2，y=2代入 y= x+b，解得 b=4，ab 的中垂线所在的直线是y=x+4，；以点 a 为圆心，以ab 的长为半径画弧，与x 轴的交点为点c2、c3；ab=4，34，以点 b 为圆心，以ab 的长为半径画弧，与x 轴没有交点综上，可得若以 a、b、 c 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点c 的个数为

11、 3故选： b点评： （1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号8(2015 南宁，第7 题 3 分)如图 4，在 abc 中， ab=ad=dc，b=70 ，则c 的度数为（）. （a）35（b）40（c）45（ d）50考点：等腰三角形

12、的性质. 分析：先根据等腰三角形的性质求出adb 的度数，再由平角的定义得出adc 的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论解答：解： abd 中， ab=ad，b=70 ， b=adb=70 ， adc=180 adb=110 ，ad=cd， c=（180 adc） 2=（180 110 ） 2=35 ，故选： a点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 来 1.（2015?江苏泰州 ,第 6 题 3 分）如图， 中， ab=ac，d 是 bc 的中点， ac的垂直平分线分别交ac、ad、ab 于点 e、 o、 f，则图中全等的三角形的对数是a.1 对b

13、.2 对c.3 对d.4 对【答案】d【解析】试题分析：根据已知条件“ ab=ac，d 为 bc 中点 ” ，得出 abd acd，然后再由ac 的垂直平分线分别交ac、 ad、 ab 于点 e、 o、 f， 推出 aoe eoc， 从而根据 “ sss ” 或“ sas”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏试题解析： ab=ac， d 为 bc 中点， cd=bd， bdo=cdo=90 ， 在 abd 和acd中，图 4 ， abd acd；考点：1.全等三角形的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.等腰三角形的性质. 9. （2015?四川广安，第8 题 3 分）一个等腰三角形的两条

14、边长分别是方程x27x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）a 12 b9c13 d12 或 9 考点：解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质. 分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可解答：解： x27x+10=0，（x2） （x5）=0，x2=0，x 5=0，x1=2，x2=5，等腰三角形的三边是2，2， 5 2+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是2， 5， 5， 此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12 ；即等腰三角形的周长是12故选： a点评：本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、 三角形三边

15、关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长10 . （2015?四川省内江市，第8 题， 3 分）如图，在 abc 中， ab=ac，bd 平分 abc交 ac 于点 d，ae bd 交 cb 的延长线于点e若 e=35 ，则 bac 的度数为（）a40 b45 c60 d 70考点：等腰三角形的性质；平行线的性质. 分析：根据平行线的性质可得 cbd 的度数，根据角平分线的性质可得cba 的度数，根据等腰三角形的性质可得c 的度数，根据三角形内角和定理可得bac 的度数解答：解： aebd， cbd=e=35 ，bd 平分 abc， cba=70 ，ab=ac， c=cba=70 ， b

16、ac=180 70 2=40 故选： a点评：考查了平行线的性质， 角平分线的性质， 等腰三角形的性质和三角形内角和定理关键是得到 c=cba=70 二.填空题1(2015?江苏苏州 ,第 17 题 3 分)如图，在 abc 中，cd 是高， ce 是中线， ce=cb，点 a、d 关于点 f 对称，过点f 作 fgcd，交 ac 边于点 g，连接 ge若 ac=18，bc=12，则ceg 的周长为 【难度】 【考点分析】考查三角形中边长计算，主要涉及垂直平分线、中位线，以往中考三角形题目涉及全等或相似的题型比较常见，所以此题涉及的考点比较新颖。【解析】由题意可直接得到：ce=cb=12， 因

17、为点 f 是 ad 中点、 fgcd，所以 fg 是adc 的中位线，因为点e 是 ab 的中点，所以eg 是 abc 的中位线，所以，所以 ceg 的周长为： cegecg=12 69=27. 【提示】此题关键在于发现中点及中位线。2.（2015 湖北荆州第13 题 3 分）如图， abc 中，ab=ac，ab 的垂直平分线交边ab 于 d点，交边 ac 于 e 点，若 abc 与ebc 的周长分别是40cm，24cm，则 ab=16cm考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质分析：首先根据de是 ab 的垂直平分线，可得ae=be；然后根据abc 的周长=ab+ac+bc， ebc 的

18、周长 =be+ec+bc=ae+ec+bc=ac+bc， 可得 abc 的周长 ebc的周长 =ab，据此求出ab 的长度是多少即可解答：解： de 是 ab 的垂直平分线，ae=be； abc 的周长 =ab+ac+bc，ebc 的周长 =be+ec+bc=ae+ec+bc=ac+bc，（第 17 题）gfedcba abc 的周长 ebc 的周长 =ab，ab=4024=16（cm） 故答案为： 16点评：（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握， 解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练

19、掌握3.（2015?福建泉州第11 题 4 分）如图，在正三角形abc 中， adbc 于点 d，则 bad=30 解： abc 是等边三角形， bac=60 ，ab=ac，adbc， bad=bac=30 ，故答案为： 30 4. （2015?浙江省绍兴市，第13 题， 5 分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图 1，衣架杆 oa=ob=18cm，若衣架收拢时，aob=60 ，如图 2，则此时a， b 两点之间的距离是 cm 考点：等边三角形的判定与性质. 专题：应用题分析：根据有一个角是60 的等腰三角

20、形的等边三角形进行解答即可解答：解： oa=ob，aob=60 ， aob 是等边三角形，ab=oa=ob=18cm，故答案为： 18 点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60 的等腰三角形的等边三角形进行分析5. （2015?浙江嘉兴，第14 题 5分）如图，一张三角形纸片abc，ab=ac=5.折叠该纸片使点 a 落在边 bc 的中点上，折痕经过ac 上的点 e，则线段ae 的长为 _.考点：翻折变换（折叠问题）. 分析：如图， d 为 bc 的中点， adbc，因为折叠该纸片使点a 落在 bc 的中点 d 上，所以折痕 ef 垂直平分ad，根据平行线等分线段定理，易知e 是

21、 ac 的中点，故ae=2.5解答：解：如图所示，d 为 bc 的中点， ab=ac，adbc，折叠该纸片使点a 落在 bc 的中点 d 上，折痕 ef 垂直平分ad，e 是 ac 的中点，ac=5 ae=2.5故答案为： 2.5点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕ef 垂直平分ad，是解决问题的关键6. （ 2015?四川成都,第12 题 4 分）如图，直线nm /，abc为等腰直角三角形，90bac，则1_度. 【答案】：45【解析】：本题考查了三线八角，因为abc为等腰直角三角形，所以45abc，又nm /，145abc7. （ 2015?四川眉

22、山， 第 18 题 3 分）如图，以 abc 的三边为边分别作等边 acd、abe、bcf ，则下列结论： ebf dfc ；四边形aefd 为平行四边形；当 ab=ac，bac=120 时，四边形aefd 是正方形其中正确的结论是 （请写出正确结论的番号） 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质； 平行四边形的判定； 正方形的判定 . 专题：计算题分析：由三角形 abe 与三角形bcf 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等， abe=cbf=60 ，利用等式的性质得到夹角相等，利用sas得到三角形ebf 与三角形 dfc 全等，利用全等三角形对应边相等得到ef=ac，再

23、由三角形adc 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到ef=ad，ae=df ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到aefd 为平行四边形，若ab=ac， bac=120 ，只能得到aefd 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项解答：解： abe、bcf 为等边三角形，ab=be=ae，bc=cf=fb，abe=cbf=60 ， abeabf=fbcabf，即 cba=fbe，在 abc 和ebf 中， abc ebf（sas ） ，选项 正确；mn1bacef=ac，又 adc 为等边三角形，cd=ad=ac，ef=ad ，同理可得 ae=df ，四边形 aefd 是平行四边形，选项正确

24、；若 ab=ac， bac=120 ，则有 ae=ad，ead=120 ，此时 aefd 为菱形，选项错误，故答案为： 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键8. （2015?四川乐山 ,第 14 题 3分）如图， 在等腰三角形abc 中，ab=ac，de 垂直平分ab，已知 ade=40 ，则 dbc= _ 【答案】 15考点： 1线段垂直平分线的性质；2等腰三角形的性质9. （2015 四川甘孜、阿坝，第13 题 4 分）边长为2 的正三角形的面积是考点：等 边三角形的性质. 专题：计 算题

25、分析：求 出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积解答：解 ：过 a 作 adbc， ab=ab=bc=2， bd=cd=bc=1，在 rtabd 中，根据勾股定理得：ad=，则 sabc=bc?ad=，故答案为：点评：此 题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键10.（2015?江苏徐州 ,第 16 题 3 分）如图，在 abc 中， c=31 ，abc 的平分线bd 交ac 于点 d，如果 de 垂直平分bc，那么 a=87 考点：线段垂直平分线的性质. 分析：根据 de 垂直平分bc，求证 dbe=c，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得 a的度数

26、解答：解： 在 abc 中， c=31 ，abc 的平分线bd 交 ac 于点 d， dbe=abc=（180 31 a）=（149 a） ，de 垂直平分bc，bd=dc， dbe=c， dbe=abc=（149 a） =c=31 ， a=87 故答案为： 87点评：此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析11 （ （2015?山东日照，第 14 题 3 分） ）边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则 abc 的面积为考点：正方形的性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形. 分析：过点 c 作 cd 和 ce

27、 垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出 ce 的长，进而得出abc 的面积即可解答：解 ： 过 点c作cd和ce垂 直 正 方 形 的 两 个 边 长 ， 如 图 ，一个正方形和一个等边三角形的摆放，四边形 dbec 是矩形，ce=db=， abc 的面积 =ab?ce= 1 =，故答案为：点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出be 和 ce 的长12 （2015 山东潍坊第17 题 3 分）如图，正 abc 的边长为 2，以 bc 边上的高ab1为边作正 ab1c1， abc 与ab1c1公共部分的面积记为s1； 再以正 ab1c1边 b1c1

28、上的高 ab2为边作正 ab2c2，ab1c1与ab2c2公共部分的面积记为s2；，以此类推， 则 sn=（）n （用含 n 的式子表示）考点：等边三角形的性质. 专题：规律型分析：由 ab1为边长为2 的等边三角形abc 的高，利用三线合一得到b1为 bc 的中点，求出 bb1的长，利用勾股定理求出ab1的长，进而求出s1，同理求出s2，依此类推，得到sn解答：解： 等边三角形abc 的边长为2，ab1bc，bb1=1，ab=2，根据勾股定理得：ab1=，s1= （）2=（）1；等边三角形ab1c1的边长为，ab2b1c1，b1b2=，ab1=，根据勾股定理得：ab2=，s2= （）2=（）

29、2；依此类推， sn=（）n故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题， 熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键三.解答题1.（2015 湖南邵阳第21 题 8 分）如图，等边 abc 的边长是2，d、e 分别为 ab、ac 的中点，延长 bc 至点 f，使 cf=bc，连接 cd 和 ef（1）求证： de=cf；（2）求 ef 的长考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质. 分析：（1）直接利用三角形中位线定理得出debc，进而得出de=fc；（2）利用平行四边形的判定与性质得出dc=ef，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出 ef 的长解

30、答：（1）证明： d、e 分别为 ab、 ac 的中点，debc，延长 bc 至点 f，使 cf=bc，defc，即 de=cf；（2）解： defc，四边形defc是平行四边形，dc=ef，d 为 ab 的中点，等边 abc 的边长是2，ad=bd=1， cdab，bc=2，dc=ef=点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出debc 是解题关键2. （2015 山东菏泽， 20， 8 分）如图，已知 abc=90 ，d 是直线 ab 上的点， ad=bc（1）如图 1，过点 a 作 afab，并截取 af=bd，连接 dc、df 、cf，

31、判断 cdf 的形状并证明；（2）如图 2，e 是直线 bc 上一点，且ce=bd，直线 ae、cd 相交于点p， apd 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【答案】（1）cdf 是等腰三角形； （2）apd=45 考点：全等三角形的判定与性质3. （2015 山东济宁， 21， 9 分） (本题满分9 分) 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下题目.如：在中，若，求. 解：在中，问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里 . （1）判断的形状，并给出证明. （2）乙船每小时航行多少海里？【答案】（1）是等边三角形.（2）海里【解析】试题分析： （ 1）根据