高中物理竞赛数学基础(自用)

1、普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变 量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具 就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些 微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处 的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方 法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理 课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等 数学课程的学习去完成。§1.函数及其图形11函数自变

2、量和因变量 绝对常量和任意常量1. 2函数的图象1. 3物理学中函数的实例§2.导数21极限如果当自变量x无限趋近某一数值x° (记作x-x°)吋，函数f (x)的数 值无限趋近某一确定的数值a,则a叫做x->xo时函数f(x)的极限值，并记 作lim f (x) =a.(a. 17)lx。(a. 17)式中的“lim”是英语"limit (极限)” 一词的缩写，(a. 17) 式读作“当x趋近x°时，f (x)的极限值等于2” o极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题而很广。这里我们不 企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定

3、义，只通过一个特例来说明它 的意义。考虑下面这个函数：y = f (x)=3x2 - x - 2(a. 18)这里除x=1夕卜，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当£ = 0 时，f(0)=2；当 x = 2 时，f(2)=- = 8,等等。但是若问x=l时函較值f (1) =?我们就会发现，这时(a. 18)式的分子和分母都等于0,即f(l) =!用0去除0, 般地说是没有意义的。所以表达式(a18)没有直接给出f (1),但给出了 x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方 面趋于1时f (x)值的变化情况：表a-l x与f (x)的变化值x3

4、xj-x-2xl3x2 -x - 2f ( x )二0.9-0.47-0. 14.70. 99-0. 0497-0.014.970. 999-0.004997-0. 0014.9970. 9999-0.0004997-0. 00014. 99971. 10. 530. 15.31.010. 5030.015. 031.0010.0050030. 0015. 0031.00010.000500030. 00015. 0003从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个 确定的数值5,这便是x1时f (x)的极限值。其实计算f (x)值的极限无需这样麻烦，我们只要将(a. 18

5、)式的分子 作因式分解：3x'-x-2= (3x + 2)(x-1),并在xhl的情况下从分子和分母中将因式(x-1)消去：厂心+2.(尹)即可看出，x趋于；吋函数f (x)的数值趋于3x 1+2 = 5。所以根据函 数极限的定义， 求极限公式(1) lime =clim = 0(3) 2sx(4)lim心0sinx=1limtan xlim心0arc sinx=1=1arcsinxx;等价无穷小量代换sinxx; tanx; arctanxx;1 一 cos x 一；ln(l + x) x;22. 2极限的物理意义(1)瞬时速度v=1学=lun 啦学如.(a. 20)at-0 at

6、a0at对于匀变速直线运动来说，at-0v = lim at =辄(超° + 就0 + £也t) = vo +at0.这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式(a. 5)。(2) 瞬时加速度反映岀某一时刻速度变化的快慢，我们就需取労在zxl0时的极限，这就是物体在t = to时刻的瞬时加速度a：v(t0 + at)-v(t0)at(3) 水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水 流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这吋可以把x坐标轴取为逆水渠走 向的方向(见图a-5),于是各处渠底的高度h便是x的函数：h=h (x)知道了这个函数，我们就可以计算任意两点

7、之间的高度差。映岀来，我们应当取更小的长度间隔諏得愈小，云就愈能精确地反映出x二x。这一点的坡度。所以在x二x。这一点的坡度k应 是厶l0时的平均坡度匸的极限值，即k= hm 学=hm h伽 + 于 g) (a. 24)ax-0 zax ax-0zax2. 3函数的变化率导数前而我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t,第三个例子中自 变量是x这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除 了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化” 的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率” 概念。当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前

8、者，叫做这个变量的增 量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示。例如，当自变量x 的数值由x。变到xi时，其增量就是ax=xixo. (a. 25)与此对应。因变量y的数值将由y<)=f (x°)变到yh (x.),于是它的增 量为ay=yi-yo=f (xi) f (xo) =f (xo+ax) f (xo) .(a. 26)应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比(a. 27)y _f(® +zz)可以叫做函数在x = xo到x = xo+ax这一区间内的平均变化率，它在ax- 0吋的极限值叫做函数y = f (x)对x的导数或微商，记作y或

9、f (x),zy =lim -7 = 1灿zax(坯 + ax)-f(x0)除八 l (q夕卜，导数或微商还常常写作学、二 ：dx dx dxf(x)等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该 点的变化率。应当指出，函数f (x)的导数f (x)本身也是x的一个函数，因此我 们可以再取它对x的导数，这叫做函数y = f(x)的二阶导数，记作y、彷(x)、与等。dx令厂go(a. 29)据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。有了导数的概念，前面的儿个实例中的物理量就可表示为:(a. 30)(a. 31)竝.32)瞬时速率甘=半，dt瞬时加速度一營 鲁,水渠坡度k =牛dx2. 4

10、导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图a-6所示，为了确 定曲线在r点的切线，我们先在曲线上p。附近选另一点r,并设想r点沿着 曲线向p°点靠拢。pr的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐 标轴的夹角q来描述。从图上不难看出，pi点愈靠近p。点，q角就愈接近一个 确定的值a °,当r点完全和p。点重合的时候，割线ps变成切线p°t, a的极 限值-就是切线与横轴的夹角。s a-6在解析几何屮，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tana叫做这条直 线的斜率。斜率为正时表示a是锐角，从左到右直线是上坡的(见图a-7a)； 斜率为负时表

11、示a是钝角，从左到右直线是下坡的(见图a-7b)。现在我们 来研究图a-6中割线pp和切线p«t的斜率。设r和r的坐标分别为(xo, yo)和(xo+ax, yo+ay),以割线p(p为斜 边作一直角三角形它的水平边p涮的长度为ax,竖直边mpi的长度为 ay,因此这条割线的斜率为c 亟 aytan cl =p0m ax如果图a-6屮的曲线代表函数y=f (x),则割线p(p的斜率就等于函数在附近的増量比完.切线rt的斜率tanq o是r时割线pr斜率的极限值，即tancl = um tancl =u "2所以导数的几何意义是切线的斜率。§3导数的运算在上节里我们

12、只给出了导数的定义，木节将给出以下一些公式和定理，利 用它们可以把常见函数的导数求出来。31基本函数的导数公式(1) y = f (x) =c (常量)yy =fy (x)_f(x+ax)-(x) v c-c _alim 入=lim r0.心- o八乂心- o八乂(2) y=f (x)=xdf(x +ax)-(x).(x + zx) (x) v ax t =lim t= li m -r = 1.3 - ozax3 - o/ax(3) y = f (x) =x"limf(x + ax) -f(x)lim(x + ax)2 x2=limx 一 0(2x + ax) = 2x (4) y

13、= f (x) =x3limf(x + ax) f(x)=lim 仪 +今尸一，=lim3x2+3xax4- (ax) 2(ix-0lx=3x2.limf(x + ax) - f(x)lim2 _ 0x - (x + ax)(x + ax)xaxlimax-0lim x 一 0_1(x + x)x(6)y = f (x) =、&xjx + ax +. jx + ax - vx jx + ax + 丘r=hm ix /（jx + zx）2 - （7x）2=】g 1xqx + ax + 宓jx + zx + 丘 2a/x上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y二貳时,只=二严.g为任何数

14、)(a. 33)dx例如当门=1 时，y = f (x) =x, y y = = 1;dxdx2当n = 2时，y = f (x) = x2, y y = 2x；dx血3当 n = 3 时，y = f (x) =x3, y 7 =- = 3x2； dx当n=l时，y = f (x) =x_1 = -, yf =4(-)= ("d x"2=4；xdx xx当时,y=f© =严dx等等。利用（a33）式我们还可以计算其它幕函数的导数（见表a-2） o 除了幕函数x"外，物理学中常见的基本函数述有三角函数、对数函数和 指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见

15、表a-2）而不推导，读者可以 直接引用。3. 2有关导数运算的几个定理定理一(a. 34)?u (x)dx 证：定理二y-u ) v (x) = v (x)字+ u go 二 dxdxdx表a-2基本导数公式函数y=f (x)导数 y =ff (x)c （任意常：ft）0x”（n为任惫常量）nxr_1n 二 1, x1n=2, x2xn=3, x33x21 1x(-1)/2 =1tx9 -2 1 n = -2, x 2x(-2)x t =-2x1 1/2 r n = , x = ajx2-x-1/2 =212丘1 -1/2 1 =-?x3-3/213 -5/2-3?x_ _x=22貯sinxc

16、osxlnxex定理三cosx-sinx1xexd 凹dx v(x)=dudvv(x) -u(x) v(x)2定理四(a. 37)d 厂、=dudvuv1=dxdvdx例题1求y=x2±a2 （a为常量）的导数。=2x±0=2x-例题2求y = ln a 解空=gmx例题3求y=axg为常量）的导数。din a 11=-0 =.dx dx x x (ei为常量)的导数。dy da 2dx八2、解：一=一 x2+ a= 0*x2 + a *2x = 2axdx dxdx例题4求y二x©的导数。解:)9"q q+"3琴 2 _ 1 例题5求的导数。

17、5x + 1d空二m)兰d辭 dy_ 血 ''dx解：丟(5th?6x(5x + 1) - (3, - 2) 515x2 +6x +10® + 1尸6+1）'例题6求y = tanx的导数。dsinx dcosx .解：dy_ d(沁冷_金£=-2飞厂3皿 dx dx cosxcos xcosx cosx - sinx(-sinx) 122 = sec x.cos xcos2 x例题7求y = cos (ax + b) (a、b为常量)的导数。 解：令 v = ax + b, y = u (v) =cosv,贝ijdy _ dudxdvdvdx(一

18、sinv)a= _ a sin (ax+ b) 例题球妒7的导数。ib=令v = x2 -1, y=u (v) =/v,则dydudv 1x= = 2z =dxdvdx2a/vj，-1例题9求y=x2e-ax2 (已为常量)的导数。 解：令 u = e，v=ax2,贝!j舟辛吨r+宀，gm=2x0)e§4.微分和函数的幕级数展开4. 1微分白变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量ax.用dx代表x的微分, 则dx=ax. (a. 38)一个函数y二f (x)的导数f (x)乘以自变量的微分dx,叫做这个函数 的微分，用dy或df (x)表示，即dy = df (x)三f (x) d

19、x,(a. 39)故厂(x)=空(丄40)dx在前面我们也曾把导数写成学的形式。然而是把它作为dx一个整体引入的。当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象 普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分。在引入微分的概念之后, 我们就可把导数看成微分dy与dx之商(所谓“微商”)，即一个真止的分数 to把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四(a. 37)式的左端二唤 3 简写成二 则该式化为dxdxdu dudv= , dx dvdx此公式从形式上看就和分数运算法则一致了，很便于记忆。下面看微分的几何意义。图a-8是任一函数y = f (x)的图形，p.)(xo, yo)

20、和r (xo+ax, yo+ay)是曲线上两个邻近的点，p°t是通过p。的切线。直 角三角形pjp的水平边m = ax,竖直边= ay (见图a-8)。设p°t与mr 的交点为n,则xq图a-8但tanznpom为切线p°t的斜率，它等于x=x°处的导数f'(x°),因此dy=f7 (x0) ax = tanznp0m ax = mr所以微分cly在几何图形上相当于线段mn的长度，它和增量y = mr相差一段长。从上一节计算导数时取极限的过程中可以看岀，dy是zy中正比于落的那一部分，而陌则是正比于(ax)彳以及ax更高幕次的各项之和例

21、如对于函数y二f (x) =x, ay=3x2ax+3x (ax) 2 4- (ax)'，而 dy=fz (x) ax=3x2ax.当 x很小时，(zx) ”、(ax) 比zx小得多，亟也就比dy小得多，所以我们可以把微分dy叫做増量zy中的线性主部。这就是说，如果函数在x二x。的地方彖线性函数那样增长, 则它的增量就是dy.§5.积分5.1几个物理中的实例(1)变速直线运动的路程我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。如果物体的速率是v,则它在4 到s段时间间隔内走过的路程是s = v (tbtj.(a. 45)对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数：v v (t),函数

22、的图形是一条曲线(见图a-10a),只有在匀速直线运动的特殊情况 下，它才是一条直线(参见图a-4b) o对于变速直线运动，(a. 45)式已不适用。 但是，我们可以把t = t倒t = u这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够 短吋，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在 每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小 段时间里走过的路程都加起来，就得到仁到匕这段时间里走过的总路程。v''v- 图 a-10设时间间隔(tb-ta)被tf (=仁)、匕、t,、tn、tb分割成fl小段，每小 段时间间隔都是则在匕、匕、t，、仁各时刻速

23、率分别是v®)、v(tj、 v(tj、v(t.) o如果我们把各小段时间的速率v看成是不变的，则按照匀 速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于v(t.)at. v(t,) at.、v(tn)at.于是，在整个(tb-tj这段吋间里的总路程是s =)zt + v(t2) at + v(t3)zt + + v(tn)ztn=»(t(a.46)i=i现在我们来看看上式的几何意义。在函数v = v(t)的图形中，通过t二匕、 匕、t：j、tn各点垂线的高度分别是v(tl)、v(t2)、v (t3) >、v (tn)(见图 a-10b),所以 v(ti ) at&

24、gt; v(t2)at v(ts) at> 、v(tjzt 就分别是图中那些狭长矩形的面积，而»(ti)zt则是所有i=这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。在上面的计算中，我们把各小段时间at里的速率v看做是不变的，实 际上在每小段时间里v多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确。要使计算精确，就需要把小段的数目n加人，同时所有小段的at缩短(见图 a-loc) o at愈短，在各小段里v就改变得愈少，把各小段里的运动看成匀速 运动也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程s,我们就 应对(a. 46)式取n->8、t-0的极限，即(a.47)

25、当n愈来愈大，at愈来愈小的时候，图a-10中的阶梯状图形的面积就愈来愈接近v(t)曲线下面的面积(图a-10d) o所以(a. 47)式中的极限值 等于(u-b.)区间内v(t)曲线下的面积。总z,在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(tb仁)里走过的路程 要用(a. 47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内v(t)曲线下的面积。(2)变力的功当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s = s«移到s = sb的过程中, 恒力f对它所作的功为a = f(slsja. 48)如果力f是随位置变化的，即f是s的函数：f = f(s)，则不能运用(a. 48) 式来计算力f的

26、功了。这时，我们也需要象计算变速运动的路程那样，把 sj这段距离分割成n个长度为as的小段(见图a-11)厂""i i fsa=sx s3sn=sb圏 a-12并把各小段内力f的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每 小段路程ast的功，然后加起来取n-a、$->()的极限值。具体地说，设 力f在各小段路程内的数值分别为f(sj、f(s2)、f)、f(sn)，则在各 小段路程上力f所作的功分别为f(s,)as. f(soas. f(s3)as.、f(sj as.在sj整段路程上力f的总功a就n近似地等于f(si)as.因为实际上在每小段路程上力fi=i都是变化

27、的，所以严格地计算，还应取n-8、$-()的极限值，即(a.49)同上例，这极限值应是(sbsj区间内f(s)下面的面积(见图a-12) o图 a-125 2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(a. 47)和(a. 49)式屮给出 的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x), 用x = x«二a)、x2、x3、xn、b把自变量x在(b a)区间内的数值分成ri小 段，设每小段的大小为zx,求n->8、0时nb2啥)的极限。通常扌聪类形式的极限用符住)dx来表 示，即(a. 50)bnf f(x) dx = lim v* f(xj ax

28、j>0 -iht8 "bf f(x) dx叫做z = aljx = t>区间内f(z)对z的定积分，f(z)叫做被积j a函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限。用定枳分的符号来表示，(a. 47)和(a. 49)式可分别写为v(t)dt(a. 51)a = b f(s)ds(a.5 2)在变速直线运动的路程公式(a. 51)里，自变量是t,被积函数是v(t),积 分的上、下限分别是匕和3在变力作功的公式(a. 52)里，自变量是s,被积 函数是f(s),积分的上、下限分别是s和乩求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理：如果被积函数f(x)是某个函数(x)的

29、导数，即f(x)二 a(x),则在x = a到x = b区间内f(x)对x的定积分等于(x)在这区间内的增量,.b(a 53)f f(x)dx = e(b)e)j a现在我们来证明上述定理。在awxwb区间内任选一点xi,首先考虑(x)在x二xi到x二xi+zx三xi+i 区间的增量(xj二(xm)-(x.):e図)=叫)当">0时，我们可用e的导数a仪)=学代替竽, 但按照定理的前提，'(x)二f(x),故(xi) '(x.) ax=f(x.) ax.式中表示“近似等于”，若取axfo的极限，上式就是严格的等式。b把awxwb区间分成n 1小段，每段长ax.上

30、式适用于每小段。根据积 分的定义和上式，我们有f(x) dx = lim f(xi) ax + f(x2) ax 4- 4-f(xn4)ax zbc->0ilt8=£ 酣仗 2)+zxe(.i)1w8limiw8e（乜）仗i）+e仪？）e（p）+e（g）q（n）>=e（xj e（xj,因xi = a, xr）= b,于是得（a. 53）式，至此定理证讫。下面看看函数（x）在f-x图（见图a-13）中所表现的几何意义。如前所述,（xj二（xw）-（xj二f （xj ax,正是宽为zx、高为f仗0 =西的一个矩形（即图a1沖的矩形”i+np】）的面积。它和曲线段rpm下面的梯

31、形x,x“np的面积只是相差一小三角形rnr 七的面积。当厶乂一。时，可认为（xj就是梯形x.x.hpp.的面积。既然当x由人变到xw时，（x）的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下 的面积，则（x）本身的几何意义就是从原点0到x区间f-x曲线下面的面积 加上一个常量c=® （0）.例如（xj的儿何意义是图形ox.p.po的面积加c, （xi+j的几何意义是图形oxmp.r的面积加c,等等。这样，ao （x,） = 0 （xhi）- （xi）就是：（oxiupiupo 的面积+c）-（oxipipo 的面积+c）二xixi+ipi+p 的面积，而0（b）-0（a）的几何意义是：（ob

32、p.po 的面积+c）-（oapapo 的面积+c）= abpbpa的面积。b它相当于定积分jaf（x）dx的值。5. 3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后，我们就可以着手解决积分的运算问 题了。根据上述定理，只要我们求得函数(x)的表达式，利用(a. 53)式立即 可以算出定积分b(谁)血来。那么，给岀了被积函数住)的表达式之后，怎样j a去求(x)的表达式呢？上述定理告诉我们，'(x)二f(x),所以这就相 当于问f(x)是什么函数的导数。由此可见，积分运算是求导的逆运算。如果 f(x)是(x)的导数，我们可以称(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的 定积分就

33、可以归结为求它的逆导数或原函数。在上节里我们讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数我们都可以按照 一定的法则把它们的导数求出來。然而求逆导数的问题却不像求导数那样容 易，而需要靠判断和试探。例如，我们知道了(x)=x的导数'(x)=3x, 也就知道了 f(x) =3/的逆导数是(x) =x3.这时,如果要问函数f(x)=疋的 逆导数是什么，那么我们就不难想到，它的逆导数应该是x73.这里要指出一 点，即对于一个给定的函数f(x)來说，它的逆导数并不是唯一的。x)=x73 是f(x)=x2的逆导数,2(x)=x73 + 1和5(x)=x735也都是它的逆导数, 因为(x)、2，(x)、j

34、 (x)都等于才一般说来，在函数f(x)的某个逆 导数(x)上加一任意常量c,仍旧是f(x)的逆导数。通常把一个函数f(x)的 逆导数的通式(x)+c叫做它的不定积分，并记作jf(x)dx,于是(a. 54)jfo)dx = e(x)+ c因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数。表a-4基本不定积分公式函数f(x不定积分jf(x)dxx' (n#-l)二+cn+ 1nfl 时，xl=xn二2 时，x24n二 3 时,xn = 2时，才2 = jlj1+ c = 一一 + c (t)xn = 一 + 时'xt'?=蕊2 + c 3(丘)+ c1 卄

35、-1/21"迈时用1 + c - 2丘 + c23 时-3/21汕 =w严21 + c - l + c4)丘sinx-cosx+ccosxsinx+c1xin x|+cx eex+c上面所给的例子太简单了，我们一眼就能猜到逆导数是什么。在一般的情 况下求逆导数，首先要求我们对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用 那一种形式的函数去试探。此外，掌握表a-4屮给出的基本不定积分公式和其 后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通过求导运 算倒过来验证，望读者自己去完成)下面是几个有关积分运算的定理。(a. 56)定理一 如果f(x)=au(x) (a是常量)，则jf

36、(x)dx = a j u(x) dx(a. 55)定理二 如果f (x)=u(>0±v(x),贝0jf(x)dx= ju(x)dx± jv(x)dx这两个定理的证明是显而易见的，下面我们利用这两个定理和表a-4中 的公式计算两个例题。例题10求卜解： j&2dx = 5jx2dx = |x3 + c.| 例题 11 求 j(3x3-x+4)dx.解：j(3x3-x + 4)dx = 3jx3dx -|xdx + 4jdx3 1=-x4 二f + 4x + c. i4 21定理三如果f (x)二u (v) v' (x),则jf(x)dx = ju(v)

37、v 7 (x)dx =|u(v)dv.(a. 57)此定理表明，当f(x)具有这种形式吋，我们就可以用v来代替x作自变 量，这叫做换元法。经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表a-4屮给出的 现成结果。下而看几个例题。例题 12求 jsin(ax + b) dx.解：令 u(v)=sinv, v(x)=ax + b,dv = v, (x)dx = adx,经换元得f sin(ax 4- b) dx =- fanv dv = cosv + c = cos(ax + b) + c.| ja. j巾3.例题13求 jskiz cosx dx.解：令 v(x)=sinx,则 dv = v(x)dx =

38、 cosx dx, 于是cosx dx = jv dv = - sin2x + c. |例题14求j書二j vx + a解：令u®) =j= , v(x) = x2 +a2,贝ljdv = v y (x)dx=2xdx, vv于是例题15 求竺j x - a解：令 u(x) = l, v(x) = x 乳贝 ljdv = vy (x)dx = dx,于是 v= f= ln i v i +c = ln i x -a i +c.|j x -a j v5. 4通过不定积分计算定积分当我们求得不定积分jy（x）dx = e（z）+ c之后，将上、下限的数值代入相减，就得到定积分的值:(a 58)_b壮）血=珈）一 e）. j a作定积分运算时，任意常量就被消掉了。"2例题16计算j。 sin27rx1 an27tx dx.0解:因为jsin27rx dx=-丄 cox2%x + c,2x1 1=(cosnr -coso) 02x1/2jsin2%x dx =