名优课堂之2014中考数学二轮复习导学案九年级 第23讲：动态几何之面积问题探讨

1、 【备战2014中考数学专题讲座】第23讲：动态几何之面积问题探讨来源&:中教#*网数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题

2、的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。来源:中&国教育出版网#1618讲，我们从运动形式的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 1921讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，2226讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。结合2013年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。一、静态面积问题： 来源:#*中教网%典型例题： 例1：（2013

3、年广西南宁3分）如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是【 】 A、150cm2 B、300cm2 C、600cm2 D、150cm2 解：根据圆锥的侧面积展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥地面园的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。然后根据扇形的面积公式计算即可。烟囱帽所需的铁皮面积=×2 ×15×20=100 （cm）2, 故选B。 例2：（2013年广西百色3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为【 】 A6cm2 B4cm2 C6cm2 D9cm2 解：主似图、左似图、俯似图是分

4、别从物体的正面、左面和上面看，所得得到的图形，由于俯似图为园形可得为球、圆柱、圆锥。主似图和左死图为矩形可得此几何体为圆柱。因为圆柱的侧面展开图为边长为2cm和3cm的矩形。所以圆柱的侧面展开图的面积为6cm2. 例3：（2013年湖北荆州3分）将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是【 】 A1 B C D 解：最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边都是2÷2=1，它的面积为S= ×1×1= 故三棱锥四个面中最小的面积是故选C 例4：（2013年四川自贡4分）如图，将一张边长为3的正方

5、形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为【 】 A B9 C D 解：将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个正三角形的底面边长为1，高为=，正三角形的棱柱的高为：h=32×=3 侧面积是长为3，高为3的长方形，面积为93 故选A 例5：（2013年内蒙古赤峰3分）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是【 】 AS四边形ABCD=S四边形ECDF BS四边形ABCDS四边形ECDF CS四边形ABCD=S四边形ECDF+1 DS四边形ABCD=S四边

6、形ECDF+2 解：S四边形ABCD=CDAC=1×4=4， S四边形ECDF=CDAC=1×4=4， S四边形ABCD=S四边形ECDF故选：A 例6：（2013年福建福州4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点。已知每个正六边形的边长为1，ABC的顶点都在格点上，则其面积是 。来源:#中教&%网 解：延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中国教&育出#*%版网中国教#育*&出版网小正六边形较短对角线的长是：，则BCE的边EC上的高是：，ACE边EC上的高是：

7、，则SABC=SAECSBEC=×4×（）=2故答案是：2 例7：（2013年山西省2分）如图，四边形ABCD是菱形，A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是【 】来源:*中#教&网中国教*育&%出版网 ABCD 解：连接BD，四边形ABCD是菱形，A=60°，ADC=120°，1=2=60°， DAB是等边三角形，AB=2，ABD的高为，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，4+5=60°，3+5=60°，3=4，在ABE和DBF中，A

8、BEDBF（ASA），四边形EBFD的面积等于ABD的面积，图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD=×2×= 故选：B 例8：（2013年宁夏区3分）如图，以等腰直角ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，A与B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为【 】 A B C D 解：A与B恰好外切， A与B是等圆， AC=2，ABC是等腰直角三角形， AB=2， 两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+=R2= 故选B 例9：（2013年广西桂林3分）如图，菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、，以B为圆心的弧与AD、DC相切，则阴影部分的面积是【 】ww

9、w.#zzst&*A B C D 解：连接AC、BD、BE，四边形ABCD是菱形， AC与BD互相垂直且平分，AO=，BO=1，tanBAO=，tanABO=，BAO=30°，ABO=60°，AB=2，BAE=60°，以B为圆心的弧与AD相切， AEB=90°，在RtABE中，AB=2，BAE=60°，BE=ABsin60°=，S菱形S扇形=×2×2=2 故选D 例10：（ 2013年广西贵港3分）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为，且sin=，则该圆锥的侧面积是【 】www.

10、%zzst&ep#.com*A. B C D 解：sin=，母线长为6，圆锥的底面半径=×6=2， 该圆锥的侧面积=×2×2×6=12 故选D 例11：（2013年四川自贡10分）如图，点B、C、D都在O上，过点C作ACBD交OB延长线于点A，连接CD，且CDB=OBD=30°，DB=cm （1）求证：AC是O的切线； （2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留） 解：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M （1）证明：根据圆周角定理得：COB=2CDB=2×30°=60°，

11、ACBD， A=OBD=30°， OCA=180°30°60°=90°， 即OCAC， OC为半径， AC是O的切线； （2）解：由（1）知，AC为O的切线， OCACACBD， OCBD 由垂径定理可知，MD=MB=BD=3 在RtOBM中，COB=60°，OB=6 在CDM与OBM中， CDMOBM SCDM=SOBM 阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC=6（cm2） 例12：（2013年四川雅安10分）如图，AB是O的直径，BC为O的切线，D为O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E （1）求证：CD为O的切线； （

12、2）若BD的弦心距OF=1，ABD=30°，求图中阴影部分的面积（结果保留） 解：（1）证明：连接OD，BC是O的切线，ABC=90°，CD=CB，CBD=CDB，OB=OD，OBD=ODB，ODC=OBC=90°，即ODCD，点D在O上，CD为O的切线； （2）解：在RtOBF中，ABD=30°，OF=1，BOF=60°，OB=2，BF=，OFBD，BD=2BF=2，BOD=2BOF=120°，S阴影=S扇形OBDSBOD=×2×1= 例13：（ 2013年广西钦州10分）如图，在RtABC中，A=90°

13、;，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tanBOD= （1）求O的半径OD； （2）求证：AE是O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和 解：（1）AB与圆O相切，ODAB， 在RtBDO中，BD=2，tanBOD=， OD=3； （2）连接OE， AE=OD=3，AEOD，四边形AEOD为平行四边形， ADEO， DAAE， OEAC， 又OE为圆的半径， AC为圆O的切线； （3）ODAC，=，即=， AC=7.5， EC=ACAE=7.53=4.5， S阴影=SBDO+SOECS扇形BODS扇形E

14、OG=×2×3+×3×4.5=3+ =中国教育&出*版网# 例14：（2013年贵州贵阳10分）已知：如图，AB是O的弦，O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交O于点D，且AE=BF，EOF=60° （1）求证：OEF是等边三角形；来#%&源*:中教网 （2）当AE=OE时，求阴影部分的面积（结果保留根号和） 解;（1）证明：作OCAB于点C， OCAB， AC=BC， AE=BF，EC=FC， OCEF， OE=OF， EOF=60°，OEF是等边三角形； （2）在等边OEF中，OEF=EOF

15、=60°，AE=OE， A=AOE=30°， AOF=90°， AO=10， OF=， SAOF=××10=，S扇形AOD=×102=25， S阴影=S扇形AODSAOF=25 例15：（2013年浙江宁波3分）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 解：弦AB=BC，弦CD=DE， 点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点， BOD=90°， 过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，FOG=45°， 在四边形OFC

16、G中，FCD=135°，过点C作CNOF，交OG于点N， 则FCN=90°，NCG=135°90°=45°，CNG为等腰三角形， CG=NG=2， 过点N作NMOF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，OG=ON+NG=6，在RtOGD中，OD=2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD=10 故答案为：10二、点动形成的动态面积问题：典型例题： 来源*:中国教&育出版网例1：（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中

17、，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】ABCD 解：作OCAP，如图，则AC= AP=x， 在RtAOC中，OA=1，OC=， 所以S=OC×AP=x（0 x 2）， 所以y与x的函数关系的图象为A 故选A例2：（2013年河北省3分）如图，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = SEPF，则y与t的函数图象大致是【 】 解：AD13，sinA，当P在AD上运动时，PEF的高ht， y = SEPF×5

18、5;t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系， 故选A。 例3：（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏3分）如图，O的圆心在定角（0°180°）的角平分线上运动，且O与的两边相切，图中阴影部分的面积S关于O的半径r（r0）变化的函数图象大致是【 】 A. B. C. D. 解：连接OB、OC、OA， 圆O切AM于B，切AN于C， OBA=OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC BOC=360°90°90°=（180）°， AO平分MAN，

19、BAO=CAO=， AB=AC=， 阴影部分的面积是：S四边形BACOS扇形OBC =2×××r=（）r2， r0， S与r之间是二次函数关系 故选C 例4：（2013年甘肃兰州4分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为【 】 A B C Dcom 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在AB段运动时，PB=1t，S=（1t）2（0t1）； （2）当点P在BA段运动时，PB=t1，S=（t1）2（

20、1t2） 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=（t1）2（0t2），来源:%中国教育#*出版网 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有B符合要求 故选B 例5：（2013年广西桂林3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PEAP交BCD的外角平分线于E设BP=x，PCE面积为y，则y与x的函数关系式是【 】Ay=2x+1 B C Dy=2x来&源:#中教*网解：过E作EHBC于H，四边形ABCD是正方形，DCH=90°，CE平分DCH，ECH=DCH=45°，H=90

21、6;，ECH=CEH=45°，EH=CH，四边形ABCD是正方形，APEP，B=H=APE=90°，BAP+APB=90°，APB+EPH=90°，BAP=EPH，B=H=90°，BAPHPE，=，=，EH=x， y=×CP×EH=（4x）xy=2xx2， 故选C例6：（ 2013年广西河池3分）如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿ABCM运动，则APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是【 】 A B C. D 解：连接AC，过点C作CEAD于点E

22、，过点M作MFAB于点F，易得CE=2，MF=5， 当点P于与点B重合，即x=2时，y=AP×MF=×2×5=5； 当点P于与点C重合，即x=6时，y=SACD =×AD×CE=××6×2=3； 结合函数图象可判断选项D正确 故选D例7：（2013年黑龙江龙东地区3分）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OABO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是【 】 A. B. C. D. 解：利用图象可得出： 当爸爸在半径AO上运动时，离出发

23、点距离越来越远； 在弧AB上运动时，距离不变； 在OB上运动时，越来越近 故选：C例8：（2013年四川自贡4分）如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BCx轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿OABC匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PMx轴于M，PNy轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是【 】 A. B. C. D, 解：点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D； 点P在BC上运动时，设路线OABC的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（lat），因为l，OC

24、，a均是常数， 所以S与t成一次函数关系故排除C 故选A 例9：（2013年浙江金华、丽水12分）如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点。将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点。连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t， （1）当t=2时，求CF的长； （2）当t为何值时，点C落在线段BD上； 设BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，当点C与点E重合时，将CDF沿x轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两

25、个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形。请直接写出符合上述条件的点坐标，解：（1）由题意，易证RtACFRtBAO， =AB=2AM=2AC， CF=OA=t当t=2时，CF=1（2）由（1）知，RtACFRtBAO，=，AF=OB=2，FD=AF=2，点C落在线段BD上，DCFDBO，=， 即=，解得t=2或t=22（小于0，舍去）当t=2时，点C落在线段BD上；当0t8时，S=BE×CE=（t+2）×（4t）=t2+t+4；当t8时，如答图1所示：S=BE×CE=（t+2）×（t4）=t2t4（3）符合条件的点C的坐标为：（12，4），（8，4）

26、或（2，4）理由如下：在CDF沿x轴左右平移的过程中，点C与点E重合时，OA=8，AF=2，符合条件的剪拼方法有三种：剪开方法一：如答图2所示，当FC=AF时，(此时F与点D重合）因为AD=2AF=4，而CF=4.此时OF=OA+AD=12.即F的坐标为（12，0），根据CDFAHF，BCH为拼成的三角形，此时C的坐标为（12，4）； 剪开方法二：如答图3所示，当点F与点A重合时，点F的坐标为（8，0），根据OCABAC，可知OCD为拼成的三角形，此时C的坐标为（8，4）； 剪开方法三：当BC=FD时，点F的坐标为（2，0），根据BCHDFH，可知AFC为拼成的三角形，此时C的坐标为（2，4）

27、 例10：（2013年广西百色10分）如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。 （1）如果CBDE，求证：BC是O的切线； （2）当点E运动到什么位置时，EDBABD，并给予证明.om （3）若tanE，BC，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1)来#源:%*中教网&(参考数值：3.14, 1.41，1.73). 解：（1）证明：AB为O的直径，ADB=90°，即ABD+BAD=90°又CBD=E，BAD=E，ABD+CBD=90°，即ADC=90°BCABBC是O

28、的切线 （2）当点E运动到DE经过点O位置时，EDBABD证明如下：当点E运动到DE经过点O位置时，EBD=ADB=90°， 在EDB与ABD中， ，EDBABD（AAS）（3）如图，连接OD，过点O作OFAD于点F，BAD=E，tanE=， tanBAD=又ADB=90°，BAD=30°ABC=90°，BC=，AB=4AO=2，OF=1，AF=AOcosBAD= AD=2AO=DO， AOD=120°S阴影=S扇形OADSAOD=×3=2×1=2.5 例11：（2013年黑龙江大庆9分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB

29、为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，ADE，AEB，BCE的面积分别为S1，S2，S3 （1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值； （2）设=t，试用t表示EF的长；来源:zzstep.c&%o#m （3）在（2）的条件下，当t为何值时，S22=4S1S3 解：（1）S1=AD×AF=x， S3=BC×BF=×2（3x）=3x， S1S3=x（3x）=（x2+3x）=-(x-)2+=(x-)2+.（0x3）， 当x=时，S1S3的最大值为； （2）

30、作DMBC，垂足为M，DM与EF交与点N， =t， AF=tFB， BM=MC=AD=1， =，NE = ， EF=FN+NE=1+ = ； （3）AB=AF+FB=（t+1）FB=3， FB=， AF=tFB=， S1=ADAF=×=， S3=BCFB=×2×=； S2=ABFE=×3×=， S1S3=，S22=， =4×，即4t24t+1=0，解得t= 例12：（2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=x2+bx+c点D为线段AB上一动点，过点D

31、作CDx轴于点C，交抛物线于点E （1）求抛物线的解析式 （2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积 （3）连接BE，是否存在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由中%国教育出&版*网 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=4， A（4，0），B（0，4） 点A（4，0），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上， ， 解得：b=3，c=4， 抛物线的解析式为：y=x23x+4 （2）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，AC=4+m OA=OB=4，BAC=45°， ACD为等腰直角三角形，CD=AC=

32、4+m， DE=4.(已知） CE=CD+DE=4+m+4=8+m， 点E坐标为（m，8+m） 点E在抛物线y=x23x+4上，8+m=m23m+4，解得m=2 C（2，0），AC=OC=2，CE=6， S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO=×2×6+（6+4）×2×2×4=12 （3）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则D（m，4+m） ACD为等腰直角三角形，DBE和DAC相似 DBE必为等腰直角三角形 i）若BED=90°，则BE=DE， BE=OC=m， DE=BE=

33、m， CE=4+mm=4， E（m，4） 点E在抛物线y=x23x+4上， 4=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=3， D（3，1）； ii）若EBD=90°，则BE=BD=m， 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=2m， CE=4+m2m=4m， E（m，4m） 点E在抛物线y=x23x+4上， 4m=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2， D（2，2） 综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（3，1）或（2，2） 例13：（2013年湖南郴州10分）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，

34、作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F （1）证明：PCE是等腰三角形；来源:zzs%t&# （2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；来源:%&中教网* （3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值来源:*&中教网 解：（1）证明：AB=BC，A=C， PEAB， CPE=A， CPE=C， PCE是等腰三角形； （2）解：PCE是等腰三角形，EMCP， CM=CP=，tanC=tanA=k， EM=CMtanC=k

35、=， 同理：FN=ANtanA=k=4k， 由于BH=AHtanA=×8k=4k， 而EM+FN=+4k=4k， EM+FN=BH； （3）解：当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16， 所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=×8×16=64， S=SPCESAPF =64x2（8x）2=2x2+16x， 配方得，S=2（x4）2+32， 所以，当x=4时，S有最大值32 例14：（2013年四川乐山13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。 （1）求抛物

36、线C的解析式； （2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，点B为抛物线上横坐标为2的点。若P为线段AB上一动点，PDy轴于点D，求APD面积的最大值；过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线OBA于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边EE1E2、等边FF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当EE1E2有一边与FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。 解：（1）对称轴MN的解析式为x =-3, ON=3,tanMON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），令抛

37、物线C的解析式为y=a(x+3)2-9，它经过原点，则0=a(0+3)2-9, a=1,y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以抛物线C的解析式为y=x2+6x； （2）抛物线C的解析式为 y=- x2+6x，当y=0时，x=0或6，点A的坐标为（6，0）， 点B在抛物线C上，且其横坐标为2，所以y=8,因此B（2，8），直线AB的解析式为y=-2x +12 ,点P在线段AB上，令点P的坐标为（P，-2P+12)，= p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,当p=3（2<3<8）时，最大值为9； 据（2）知，直线OB解析式为y=4x, 直线AB解析式为y=-2x

38、 +12；如图15.3, EE1FF1,EE1E2与FF1F2 是等边三角形，E1E2FF2，EE2F1F2，直线EE1的解析式为x=t,直线FF1的解析式为x=6-t,令E1 (t,y)则有E（t,0）、 E2(t+ ,)，则直线EE2的解析式为y=x + a,直线F1F2的解析式为y= x + b,直线E1E2的解析式为y=- x + c,直线FF2的解析式为y=- x + d，Error! No bookmark name given. 、当EE1与FF1在同一直线上时，x=t=6-t，t=3 ； 、当0t2时，点E1在直线OB上，点F1在直线AB上,则有E（t,0）、E1(t,4t)、

39、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0 = t + a，a=- t, 2t= (6-t) + b, b= (2+ )t-2, a=b, - t=(2+ )t-2,即：t= ；(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有4t=- t + c，c=(4+ )t, 0=- (6-t) + d, d=2- t, c=d, (4+ )t = 2 - t,即：t= ；通过作图观察可知，当2<t6时，EE1与FF2不可能在同一直线上，E1E2与FF2也不可能在同一直线上。综上所述，当 EE1E2有一边与FF1E2的某一边在同一直线上时，t的值为3，或 .下

40、面的讨论旨在说明2< t6时，EE1与FF1、E1E2与FF2的位置关系，答题时可以省去。 、当2 <t4时，点E1在直线AB上，点F1在直线AB上，有E（t,0）、E1 (t,-2t+12)、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0 = t + a，a=- t, 2t= (6-t) + b, b= (2+ )t-2, a=b, - t=(2+ )t-2,t= （< 2，舍去）；(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有-2t+12=- t + c，c=(-2)t+12, 0=- (6-t) + d, d=2- t, c=d, (

41、-2)t+12 = 2 - t,t= (>4,舍去)； 、当4<t6时，点E1在直线AB上，点F1在直线OB上，有E（t,0）、E1 (t,-2t+12)、F (6-t,0)、F1（6-t,24-4t），(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0= t + a, a=- t, 24-4t= (6-t) + b, b=24-2+ t-4t,a=b, - t=24-2+ t-4t, t= (>6,舍去)；(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有-2t+12=- t + c, c=12+ t-2t, 0=- (6-t) + d , d=2- t , c = d, 12+ t-

42、2t=2- t ,t= ，(>6,舍去)；综上所述，当EE1E2有一边与FF1F2的某一边在同一直线上时，t的值为3，或 . 例15：（2013年山东枣庄14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点 （1）求二次函数解析式；中国#教*育%出版网 （2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；ABO·Pyx第15题图2(备用)ABO·Pyx第15题图1 （3）当点P运动到

43、什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 解：（1）将B、C两点的坐标代入，得 解之，得所以二次函数的解析式为. ACBOPyxPE第15题图1 （2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点E四边形为菱形，来源:学。PC=PO，且PECOOE=EC=，即P点的纵坐标为.由=，得（不合题意，舍去）所以存在这样的点，此时P点的坐标为（，）. （3）如图2，连接PO，作PMx于M，PNy于N设P点坐标为（x，），由=0，得点A坐标为（1，0）.AO=1，OC=3， OB=3，P=，PNxS四边形ABPC=+=AO·OC+OB

44、·PM+OC·PNABO·Pyx第15题图2(备用)CNM =×1×3+×3×()+×3×x = =. 易知，当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点坐标为（，），四边形ABPC的最大面积为. 三、线动形成的动态面积问题：典型例题： 例1：（2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】 A2 B4 C8 D16 解：过点C作CAy，抛物线y=x2-2x=（x24x）=（x24x+4）2=（x2）22，来&源:中教

45、网% 顶点坐标为C（2，2）， 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4， 故选：B 例2：（2013年河南省4分）如图，抛物线的顶点为P（2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 . 解：连接AP，AP，过点A作ADPP于点D， 由题意可得出：APAP，AP=AP， 四边形APPA是平行四边形， 抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，2）， PO=2，P、P关于原点对称，AOP=45°，在等腰RtADO中，

46、由勾股定理得：AD=DO=×3=， PP=2×2=4， 抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12 故答案为：12 例3：（2013年河北省11分）如图，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP. 求证：AP = BP； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数. ww#w%.zzstep.c*om 解：

47、证明：如图2，AOP=AOB+BOP=80º+BOP.BOP=POP+BOP=80º+BOP AOP=BOP 又OA=OB，OP=OP AOPBOP AP=BP （2）解：连接OT，过T作THOA于点H AT与相切，ATO=90º AT=8 ×OA×TH=×AT×OT,即×10×TH=×8×6 TH=，即为所求的距离 （3）10º，170º【注：当OQOA时，AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】 例4：（2013年广东佛山10分）如图，已知抛物线经过点A（0

48、，3），B（3，0），C（4，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分） 解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）， ，解得， 所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3； （2）y=x24x+3=（x2）21， 抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2； （3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），PP=1，阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积，平行四边形AAPP的面积=1×2=2， 阴影部分

49、的面积=2 例5：（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点 （1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？ （3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由中国&教育#*出版网 解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90°OBA+OAB=90°，OAB+CAD=90°，OAB=ACD，OBA

50、=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=×9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2 （2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，EF边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EF×h=SABC，（x）（3x）=×，整理得：（3x）2=3，解得x=3