【教育资料】2017-2018学年高中创新设计物理教科版必修2学案：第3章第3节万有引力定律的应用学习精品

1、教育资源教育资源第 3 节万有引力定律的应用学习目标核心提炼1.了解万有引力定律在天文学上的应用，预言未知星体。2 个应用 预言未知天体，测天体质量1 个基本思路 万有引力提供向心力2 个重要关系gmmr2mggmmr2mv2rm 2rm42t2r2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。一、预言彗星回归和未知星体阅读教材第49 页内容，知道预言彗星回归和未知星体所用到的理论依据。1预言彗星回归：哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论，预言彗星回归的时间，并得到证实。2海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据

2、天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 海王星。2其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。思考判断1天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。() 2海王星的发现确立了万有引力定律的地位。( ) 3牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。() 二、计算天体质量阅读教材第50 页内容，知道计算天体质量的方法。1地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。(2)关系式： mggmmr

3、2。(3)结果： mgr2g，只要知道g、r、g 的值，就可计算出地球的质量。教育资源教育资源2太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式： gmmr2m42t2r。(3)结论：m42r3gt2，只要知道行星绕太阳运动的周期t 和半径 r 就可以计算出太阳的质量。(4)推广： 若已知卫星绕行星运动的周期t 和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量 m，公式是m42r3gt2。思维拓展如图 1 所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量g 的值，从而 “称量 ”出了地球的质

4、量。图 1 (1)卡文迪许测出g 后，他是怎样“称量 ”地球的质量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径r6.4 106m，引力常量g6.67 1011 n m2/kg2，试估算地球的质量。答案(1)在地球表面， 物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即 mggmmr2，解得地球的质量mgr2g，只要测出g、g、r 来，便可“称量”地球的质量。(2)mgr2g9.8 6.4106 26.671011kg 6.01024 kg。预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中问题 1 问题 2 问题 3 天体质量和密度的计算要点归纳 1天体质量的计算“自力更生法”“

5、借助外援法”教育资源教育资源情景已知天体 (如地球 )的半径 r 和天体 (如地球 )表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球 )与物体间的万有引力：mggmmr2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：gmmr2mv2r或 gmmr2m2r或 gmmr2m2t2r结果天体 (如地球 )质量： mgr2g中心天体质量：mrv2g或 mr32g或 m42r3gt22天体密度的计算(1)一般思路：若天体半径为r，则天体的密度 m43 r3，将质量代入可求得密度。(2)特殊情况卫星绕天体做半径为r 的圆周运动，若天体的半径为r，则天体的密度 m43 r3，

6、将m42r3gt2代入得： 3 r3gt2r3。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径r，则 3gt2。已知天体表面的重力加速度为g，则 m43 r3gr2g43 r33g4 rg。精典示例 例 1 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球， 测得小球做平抛运动的水平距离为l，已知该星球的半径为r，引力常量为g。求：(1)该星球表面的重力加速度。(2)该星球的平均密度。教育资源教育资源思路探究(1)能否利用小球的运动情况求出该星球表面的重力加速度？(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关

7、系式为gm_。提示(1)小球做平抛运动，由lvt 及 h12gt2可以求得该星球表面的重力加速度g2hv2l2。(2)gr2解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有lvt，h12gt2，解得 g2hv2l2。(2)在星球表面满足gmmr2mg又 m 43 r3，解得 3hv22 grl2。答案(1)2hv2l2(2)3hv22 grl2【误区警示】求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法：mgr2g和 m42r3gt2。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。(2)注意 r、r 的区分。 r 指中心天体的球体半径，r 指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，

8、则有rr。针对训练1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“ 51 peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“ 51 peg b” 绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120。该中心恒星与太阳的质量比约为() a110b1 c5 d10 解析根据 gmmr2m42t2r 得 mr3t2，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.04，所以 b项正确。教育资源教育资源答案b 天体运动的分析与计算要点归纳 1解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体

9、时可建立基本关系式：gmmr2ma，式中 a 是向心加速度。2常用的关系式(1)gmmr2mv2rm 2rm42t2r。(2)mggmmr2即 gr2gm，该公式通常被称为黄金代换式。3四个重要结论 ：设质量为m 的天体绕另一质量为m 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动。(1)由 gmmr2mv2r得 vgmr， r 越大， v 越小。(2)由 gmmr2m 2r 得 gmr3，r 越大， 越小。(3)由 gmmr2m2t2r 得 t2r3gm，r 越大， t 越大。(4)由 gmmr2man得 angmr2， r 越大， an越小。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。精典示例 例 2

10、国务院批复，自2019 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年 4 月 24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，距轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为2 060 km。1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则 a1、a2、a3的大小关系为 () 图 2 aa2 a1a3ba3a2a1ca3 a1a2da1a2a3解析东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速

11、度相同，东方红二号的轨道半教育资源教育资源径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径，由a2r 得 a2a3，东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：gmmr2 ma，结合二者离地面的高度可得a1a2，选d。答案d 针对训练2 ( 多选 )如图 3 所示，a、 b、 c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和 b 质量相等，且小于c 的质量，则 () 图 3 ab 所需向心力最小bb、c 的周期相同且大于a 的周期cb、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度db、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度解析因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而 b 所受的引力最小

12、，故 a正确；由gmmr2 man得， angmr2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度， c 错误；由gmmr242mrt2得，t 2r3gm，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c 的周期相等且大于a 的周期， b 正确；由gmmr2mv2r得， vgmr，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度， d 正确。答案abd 1(万有引力提供向心力)(2019 郑州高一检测)若太阳质量为m，某行星绕太阳公转周期为 t，轨道可视为半径为r 的圆。已知万有引力常量

13、为g，则描述该行星运动的上述物理量满足 () agm42r3t2bgm42r2t2cgm42r2t3dgm4 r3t2解析行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有gmmr2m42t2r，所以 gm42r3t2，选项 a 正确。教育资源教育资源答案a 2(重力加速度的估算)(2019 宁波高一检测)若某黑洞的半径r 约 45 km，质量 m 和半径 r 的关系满足mrc22g(其中 c 为光速， g 为引力常量 )，则该黑洞表面重力加速度的数量级为() a108 m/s2b1010 m/s2c1012 m/s2d1014 m/s2解析黑洞实际为一天体， 天体表面的物体受到的重力近

14、似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m 的物体有： f万gmmr2mg，又有mrc22g，联立解得gc22r，代入数据得重力加速度g1012 m/s2，c 项正确。答案c 3(星球表面重力加速度的计算)(2019 济宁高一检测)火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为() a0.2gb0.4gc2.5gd5g解析由星球表面的物体所受的重力近似等于万有引力知，对火星上的物体，m1g火gm火m1r2火对地球上的物体，m2ggmm2r2联立式得g火gm火r2mr2火1221010.4，则 g火0.4 g。答案b 4(天体密度

15、的计算)(2019 石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为t，引力常量为 g。地球的密度为() a3g0ggt2g0b3 g0gt2g0gc3gt2d3 g0gt2g教育资源教育资源解析在地球两极处，gmmr2mg0；在赤道处， gmmr2mgm42t2r，故 rg0g t242，则 m43 r3r2g0g43 r33g04 rg3 g0gt2g0g，b 正确。答案b 5(天体质量和密度的计算)假设在半径为r 的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为t1，已知万有引力常量为

16、g。求：(1)该天体的密度；(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为t2，该天体密度的另一表达式。解析(1)设卫星的质量为m， 天体的质量为m， 卫星贴近天体表面运动时有gmmr2m42t21r，m42r3gt21，根据数学知识可知天体的体积为v43 r3故该天体的密度为 mv42r3gt2143 r33gt21(2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有gmmr h2m42t22(rh) m42rh3gt22 mv42rh3gt2243 r33rh3gt22r3答案(1)3gt21(2)3rh3gt22r3基础过关1有两个行星a、b，在这两个行星表面附近各有一颗卫

17、星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星a、b 的密度之比 () a11 b2 1 教育资源教育资源c12 d无法计算答案a 2(2019 衡水高一检测)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 分钟。已知引力常量g 6.671011n m2/kg2，月球半径约为1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为() a8.11010 kg b7.41013 kg c5.41019 kg d7.41022 kg 解析“嫦娥一号 ”围绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：gmmhr2m42t2(hr)，则 m42gt2(hr

18、)3，代入数据解得m7.4 1022 kg，d 对。答案d 3若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为t 和 r，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t 和 r，则太阳质量与地球质量之比m日m地为 () ar3t2r3t2br3t2r3t2cr3t2r2t3dr2t3r2t3解析无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为gmmr2m42t2r，即 mr3t2，所以m日m地r3t2r3t2，选项 a 正确。答案a 4人造卫星离地球表面距离等于地球半径r，卫星以速度v 沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则 () av4grbv2grcvgrdvgr2解析人造卫星的轨道半径为2r，所以

19、gmm2r2mv22r，又因为mggmmr2，联立可得：vgr2，选项 d 正确。答案d 教育资源教育资源5一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力， 物体静止时， 弹簧测力计的示数为n。已知引力常量为g，则这颗行星的质量为() amv2gnbmv4gncnv2gmdnv4gm解析由 nmg 得 gnm。在行星表面gmmr2mg，卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则gmmr2mv2r，联立以上各式得mmv4gn，故选 b。答案b 6所有绕太阳运转的行星，其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即r3t2k

20、，那么k 的大小决定于 () a只与行星质量有关b只与恒星质量有关c与行星及恒星的质量都有关d与恒星质量及行星的速率有关解析由gmmr2mr2t2得 kr3t2gm42，所以 k 的大小只与恒星质量有关，b 正确。答案b 能力提升7(2019 洛阳高一检测)(多选 )设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 () a地球与月球间的万有引力将变小b地球与月球间的万有引力将变大c月球绕地球运动的周期将变长d月球绕地球运动的周期将变短解析设地、月间的距离为r，它们的质量分别为m、m，则它们之间的引力

21、大小fgmmr2，随着矿藏的开发，m 变大， m 变小， m m 变小，地、月间的万有引力变小，故a 正教育资源教育资源确， b 错误；由gmmr2m42t2r 得周期 t2r3gm，由于 m 变大，故月球绕地球运动的周期变小， c 错误， d 正确。答案ad 8(多选 )宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为 t，两星到某一共同圆心的距离分别为r1和 r2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是 () a这两颗恒星的质量必定相等b这两颗恒星的质量之和为42r1r23gt2c这两颗恒

22、星的质量之比为m1m2r2r1d其中必有一颗恒星的质量为42r1r1 r22gt2解析两星有共同的周期t，由牛顿第二定律得gm1m2r1r22m142t2r1m242t2r2，所以两星的质量之比m1 m2 r2 r1， c 正确； 由上式可得m142r2r1r22gt2， m242r1r1r22gt2，d 正确， a 错误； m1m242r1r23gt2，b 正确。答案bcd9如图1 所示，两个星球a、b 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知a、b 星球质量分别为ma、 mb，万有引力常量为 g。求l3t2(其中 l 为两星球中心间的距离，t 为两星球的运动周期)。图 1 教育资源教育资源解析设 a、b 两个星球做圆周运动的半径分别为ra、rb。则 rarbl，对星球 a：gmambl2mara42t2对星球 b：gmambl2mbrb42t2联立以上三式求得l3t2g mamb42答案g mamb4210某人在某一星球上以速度v 竖直上抛一物体，经时间t 落回抛出点，已知该星球的半径为 r，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？解析星球表面的重力加速度：gvt22vt人造星体靠近该星球表面运转