高中数学经典错因正解汇总第十一章数系的扩大与双数

1、第十一章数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1.复数：形如bia的数（ba,r） ，复数通常有小写字母z表示，即biaz, 其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位 . 2.分类：复数bia(ba,r) 中，当0b时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0时，bia叫做虚数；当0a,b0时，叫做纯虚数. 3.复数集：全体复数所构成的集合. 4.复 数 相 等 ： 如 果 两 个 复 数bia与dic的 实 部 与 虚 部 分 别 相 等 ， 记 作 ：bia=dic. 5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面. 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫

2、做虚轴 . 6.复数的模：设oz=bia, 则向量oz的长度叫做复数bia的模（或绝对值） ，记作bia. (1)22babiaz；(2)21zz=12zz；(3)2121zzzz；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数 . 二、疑难知识1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2,rz则02z，而cz，则02z不一定成立，如iz时012i；322,zzrz，而cz则22zz不一定成立；4若,321czzz0)()(232221zzzz不一定能推出321zzz；5若rzz21,，则21zz=212214)(zzzz，但若,21czz则上式

3、不一定成立 . 三、经典例题 例 1 两个共扼复数的差是（）a. 实数b. 纯虚数c. 零d. 零或纯虚数错解 : 当得到bizz2时就错误的选b，忽略了b 可以为零的条件. 正解： 设互为共扼的两复数分别为biaz及),(rbabiaz则bizz2或bizz2当0b时，zz，zz为纯虚数当0b时，0zz，0zz，因此应选d. 注： 要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质. 例 2 判断下列命题是否正确 (1)若cz, 则02z (2)若,21czz且021zz，则21zz (3)若ba，则ibia错解： (1) 认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数

4、中，从而(1) 是正确的(2) 认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来 . 认为两复数差为实数则这两个复数也为实数. 而认为命题 (2) 是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件 . 正解： (1) 错，反例设iz则0122iz(2) 错，反例设iz21，iz12，满足0121zz，但1z2z不能比较大小. (3)错，ba，rba,，故ia，ib都是虚数，不能比较大小. 例 3实数a分别取什么值时，复数iaaaaaz)152(3622是(1)实数；(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 . 解：实部3)3)(2(362aaaaaa，

5、虚部)5)(3(1522aaaa. （1）当时，z是实数；（2）当，且时，z是虚数；（3） 当或时是纯虚数 例 4设izrmimmmmz35),()34()32(2221，当m取何值时， (1) 21zz; (2)01z. 分析 ：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法， 这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数的方程，求出的值解： (1) 由可得：33453222mmmm解之得4m，即：当时(2) 当可得：或，即时01z. 例 521,zz是两个不为零的复数， 它们在复平面上分别对应点p和q， 且024222121zzzz，证明 opq

6、为直角三角形（o是坐标原点），并求两锐角的度数分析本题起步的关键在于对条件024222121zzzz的处理等式左边是关于21,zz的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由024222121zzzz（，不为零），得3s i n3c o s21431832221221izzziziz即向量op与向量oq的夹角为3，在图中，3poq，又|21|21zz，设rzrz2| ,|21，在 opq 中，由余弦定理opq 为直角三角形，四、典型习题1. 设复数z满足关系izz2|，那么z等于（）a b c d2.复数系方程062)1()1(2ixixi有实数根，则这个实数是_. 3.实数m取何值时，

7、 复数是(1) 纯虚数； (2) 在复平面上的对应点位于第二象限4. 已知zzzf1)(且,310)(izf求复数z5. 设复数z满足5z且zi)43(在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252rmmz求mz和的值11.2 复数的运算一、知识导学1. 复数加、减法的几何意义(1) 加法的几何意义复数21zz是以1oz、2oz为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数 . (2) 复数减法的几何意义复数21zz是连接向量1oz、2oz的终点，并指向被减数的向量21zz所对应的复数. 2. 重要结论（1）对复数 z 、1z、2z和自然数m 、n，有nmnmzzz，mnnmzz

8、)(，nnnzzzz2121)(2) ii1，12i，ii3，14i；114ni，124ni，iin 34，14ni. (3) ii2)1 (2，iii11，iii11. (4)设231i，2，2，012，nn33，021nnn二、疑难知识1. 对于22zzzz，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会. 2. 在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论 . 当cz时，不总是成立的. (1),()(为分数时不成立nmzzmnnm；(2)1(时不成立znmzznm；(3),(0021212221是虚

9、数时不成立zzzzzz；(4)(22为虚数时不成立zzz；(5)( 为虚数时不成立zazaaz三、经典例题 例 1满足条件512ziz的点的轨迹是（）a.椭圆 b.直线 c.线段 d.圆错解 ：选 a或 b. 错因 ：如果把iz2看作动点z 到定点（ 0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（ -1 ，0）的距离之和为常数5动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解 ：点（ 0，2）与（ -1，0）间的距离为5，动点在两定点（0，-2 ）与（ -1 ，0）之间，选c 评注 ：加强对概念的理解加深，认真审题. 例 2求值：.)1 ()1 (6 nni

10、i错解： 原式 =1368)2()11()1 (nnniiiiii82时，原式当n83时，原式当n错因 ： 上面的解答错在没有真正理解zn的含义， 只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误. 另外还可以看出对虚数单位i的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性. 正解： 原式 =niii)11()1 (6=138)2(nniii=).4(8,348)(),24(8),14(8kniknkknikn）（为非负整数评注：虚数单位i整数幂的值具有以4 为周期的特点，根据时，求nin必须按被4 整除余数为 0、1、2、3 四种情况进行分类讨论. 例 3 已知i

11、z312，求200021zzz的值 . 分析 ：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qqasnn1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. iiiz23214)31(2312原式 =01111111667*32001zz评注： 由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. 例 4 已知复数w满足i (i )23(4ww为虚数单位） ，|2|5wwz，求一个以z为根的实系数一元二次方程. 解法一：i2i 21i34, i 34) i21(ww，i3| i|i25z. 若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共轭虚根i3z. 10,6zzzz，所求的一个一元二次方程可以是01062xx. 解法二：设ibawr)(ba、baba2i2i34i，得,23,24abba, 1,2bai2w，以下解法同解法一. 例 5.211是实数，且是虚数，设zzz.的实部的取值范围的值及求zz解析是虚数zyixyixzz1)(1可设iyxyyyxxxyxyixyix)()(222222,0y是实数，且1,0112222yxyx即, 1zx2此时22121x得由)1 ,21(, 121的实部的范围是即zx四、典型习题1非空集合g关于运算满足： （1）对任意,a